Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасы. Егер саны үшін саны табылып, мына теңсіздікті қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны х-тің а-ға ұмтылғандағы функциясының шегі деп аталады және оны немесе , символдарымен белгілейді. Функцияның нүктесіндегі шегі х-тің а-ға қалай ұмтылатындығына тәуелсіз болады. а-шектік нүкте. Геометриялық мағынасы: аймағындағы барлық нүктелерге сәйкес келетін функциясының мәндері аймағында жатады. Яғни, барлық , үшін функциясының графигі параллель түзулердің аралығында жатады. (1-сурет).
Мысал. дәлелдеу керек. Дәлелдемесі. Анықталу облысы: . теңсіздігі орындалатындай әрбір саны үшін теңсіздігін қанағаттандыратын санының табылатынын көрсетейік:
немесе . Сондықтан, саны үшін -санынан аспайтын санды алуға болады. Демек, деп алсақ, онда функциясының 2-ден айырмашылығы санынан кем болады. х айнымалысы аймағына кірсе, функциясының мәні де интервалына кіреді және одан ешқайда шыға алмайды, яғни теңсіздігі орындалады.
саны үшін 
үшін 
теңсіздігі орындалса, онда А саны х-тің а-ға 
функциясының шегі деп аталады және оны 
немесе 
, 
символдарымен белгілейді. Функцияның нүктесіндегі шегі х-тің а-ға қалай ұмтылатындығына тәуелсіз болады. а-шектік нүкте. Геометриялық мағынасы: 
аймағындағы барлық нүктелерге 
аймағында жатады. Яғни, барлық 
, 
үшін 
параллель түзулердің аралығында жатады. 
(1-сурет).
дәлелдеу керек. Дәлелдемесі. Анықталу облысы: 
. 
теңсіздігі орындалатындай әрбір 
саны үшін 
санының табылатынын көрсетейік:
немесе 
. Сондықтан, 
-санынан аспайтын санды алуға болады. Демек, 
функциясының 2-ден айырмашылығы санынан кем болады. х айнымалысы 
интервалына кіреді 
теңсіздігі орындалады.