3. Айнымалыларын бөлектеуге болатын дифференциалдық теңдеу.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазайық:
немесе .
Бұл теңдеуді жалпы түрде мынандай формада қарастыруға болады:
(6)
Мұндағы х, у айнымалыларының біреуін екіншісінің функциясы деп есептеуге болады.
және функциялары мынандай функциялардың көбейтіндісі болсын:
.
Бұл көбейткіштердің әрқайсысы бір ғана айнымалыға тәуелді. Сонда (6) теңдеу
(7)
түрінде жазылады. (7) теңдіктің екі жағын да көбейтіндісіне мүшелеп бөлеміз (бұл көбейтіндіні нольге тең емес деп ұйғарамыз). Сонда
(8)
(8) теңдеудегі dx-тің алдындағы көбейткіш тек қана xайнымалысының, ал dy-тің алдындағы көбейткіш тек қана у айнымалысының функциясы. Сондықтан (8) теңдеу айнымалылары бөлектенген, ал (7) теңдеу айнымалылары бөлектенетін дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Бұл теңдеудің жалпы шешімі мына түрде табылады:
(9)
Мысалдар.
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Берілген теңдеу айнымалылары бөлектенетін теңдеу. деп ұйғарып, теңдіктің екі жағын да у-ке бөліп, dx-ке көбейтейік. Сонда - айнымалылары бөлектенген теңдеу алынады. (9) формула бойынша теңдеудің екі жағын да интегралдасақ, . Бұдан
, , яғни .
теңдеуін интегралдау керек.
Шешуі: Дифференциалдық теңдеуді интегралдау – оның шешімін табу деген сөз.
Теңдеудің екі жағын да -ке көбейтіп, айнымалылары бөлектенген теңдеу аламыз:
немесе .
Осы теңдеуді интегралдау арқылы берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз:
,
.
Бұдан
.
теңдеуін шешу керек.
Шешуі: Бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Теңдеуді -қа бөліп ( деп есептейміз), мына теңдеуді аламыз;
Бұдан
;
немесе .
Бұл теңдеуді потенцирлеп, берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
, мұндағы .
