Анықтама. Егер теңдеу ізделінді функция мен оның туындысына қатысты бірінші дәрежелі болса, онда оны бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды. Анықтама бойынша бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу мына түрде болады:
(1)
мұндағы , .
(1) теңдеуді шешу үшін ауыстыруын қолданамыз, мұндағы , . Сонда, болады.
Бұдан ; ;
(2)
Еркімізше алынған v функциясы шартын қанағаттандырсын. Осы теңдеудің айнымалыларын бөлектеп шешсек,
, , бұдан (3)
Сонда (2) теңдеуге (3) өрнекті қойсақ,
; ; ;
бұдан (4)
болғандықтан (3) және (4) теңдіктердің пайдалансақ,
(5)
түрдегі жалпы шешімін аламыз.
Егер (1) теңдеудегі болса, онда оны бірінші ретті біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Мысалдар.
теңдеуін шешу керек.
Шешуі: , .
ауыстыуын жасап, теңдеуін шешсек,
, яғни
бұдан , , , , бұдан болады.
Сонда берілген теңдеу , яғни болады. Бұдан екенін ескерсек, , немесе ; ; .
болғандықтан, ізделінді функция немесе
.
теңдеуін шешу керек.
Шешуі: , .
ауыстыруын қолданып, және теңдеулерінен u, v мәндерін табамыз.
Бірінші теңдеуді шешейік.
,
бұдан , , .
v-ның табылған мәнін екінші теңдеуге қойсақ,
.
Бұдан ; ; ; ;
ауыстыруын жасасақ, .
Сонда . Сонымен .
, яғни теңдеудің жалпы шешімі
болды.
