Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары
жүктеу/скачать 386,11 Kb.
|
2 ЛЕК
- Бұл бет үшін навигация:
- Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер
- Анықтама 5.
- Мысал-3.
|
Лекция №2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер Лекция жоспары: Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер. Біртекті теңдеулер. Сызықтық және оларға келтіретін бірінші ретті теңдеулер. Риккатидың арнайы теңдеуі. Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдаушы көбейткіш. Туындысы арқылы шешілмеген теңдеулер. Изогоналды траектория туралы есеп. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер (1.11) теңдеуін әрқашан M(x,y)dx+N(x,y)dy (1.12) түріне келтіруге болады және керісінше. Мысалға (1.11) теңдеуді (1.12) теңдеуге келтіру үшін оның екі жағын N(x,y)dx көбейтсек болғаны. Сонда (1.12) түрге келтіреміз. Бұл жағдайда M(x,y)=-f(x,y)N(x,y). Анықтама 5. Мына түрдегі (1.11/) және M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0 (1.12/) теңдеулерді айнымалысы ажыратылатын теңдеу деп атаймыз. (1.12/) теңдеуіне тән қасиет dx пен dy шамаларының коэффицеттері екі функцияның көбейтіндісінен тұрады. Олардың әрқайсысы бір ғана айнымалыға тәуелді болады. Егер болса, онда (1.12/) теңдеуді түріне келтіреміз. Соңғы теңдеуді мына түрде жазуға болады: Осыдан . Мұнда C еркін тұрақты. Алынған теңдеудің сол жағын F(x,y) белгілесек F(x,y)=C теңдігін аламыз. Ол берілген теңдеудің жалпы интегралы болып табылатыны белгілі. Ал егер , онда y=y0 функциясы (1.12/) теңдеуінің шешімі болады. Өйткені (1.12/) теңдеуінің dy=dy0=0 болғандықтан екінші қосылғышы да нольге айналады. Сондай-ақ N1,(x0)=0, онда x=x0 де (1.12/) теңдеуінің шешімі болады. Дәлелдеу жоғарғыдай. Бұл шешімдер дербес немесе ерекше шешімде бола алады. Егер көрсетілген шешімдер параметр C–ның белгілі бір мәндерінде жалпы шешімінен алынса, онда олар дербес шешімдер болады, ал қарама-қарсы жағдайда ерекше шешімге жатады. Мысал-3.. . Бұл теңдеудің айнымалысы ажыратылған. Сондықтан интегралдау арқылы аламыз. Осыдан немесе , , мұнда немесе . Мысал-4. Теңдеудің дербес шешімдерін тап немесе Коши есебін шеш. Алдымен жалпы шешімді іздейміз . Берілген теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеу. Онда интегралдасақ . Потенциалдағаннан кейін , немесе болады. Сонымен жалпы шешім табылды. Жалпы шешімнен дербес шешімді бөліп алу үшін , деп алып, демек ,e=ec c=1 Cонда іздеп отырған дербес шешім функциясы болады. теңдеуі айнымалысы ажыратылатын теңдеуге келтіріледі. Ол үшін ax+by+c=z деп аламыз. . ax+by+c және ауыстыру арқылы теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу-айнымалысы ажыратылатын теңдеу. Оны интегралдау арқылы Ф(х,z,c1)=0 теңдігіне келеміз. Енді z–ті ax+by+c өрнегімен ауыстырып Ф(х,ах+ву+с,c1)=0 немесе F(x,y,c1)=0 жалпы шешімі (жалпы интегралы) табылады. жүктеу/скачать 386,11 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|