Анықтама. Құрамында тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функциясы және оның туындылары болатын теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Есеп. ХОУжазықтығында О (0;0) нүктесі арқылы өтіп, кез келген нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті сол нүктенің екі еселенген абциссасына тең болатын қисықтың теңдеуін табу керек.
Шешуі: Ізделінді функция болсын. Есептің шарты бойынша нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті k=2х болады. Ал, туындының геометриялық мағынасынан екені белгілі. Сонда немесе
(1)
болады.
Бұл (1) теңдеу дифференциалдық теңдеу, өйткені оның құрамында ізделінді функцияның туындысы бар. Оны түрінде жазамыз. Бұдан ізделінді функция 2х-тің алғашқы функциясы болады.
, (2)
(2) теңдеуден (1) дифференциалдық теңдеудің шексіз көп шешімі бар екенін көреміз, яғни (1) теңдеуді шексіз көп қисық – парабола қанағаттандырады (1-сызба).
Осы қисықтардың ішінен өзімізге қажеттісін таңдап алу үшін есептің шартындағы ізделінді қисық О (0;0) нүктесі арқылы өтеді деген шартты пайдаланамыз. Осы нүктенің координаталары (2) теңдеуді қанағаттандыруы тиіс. Сонда 0 = 0 + c, яғни с = 0 болады. Сонымен, ізделінді қисықтың теңдеуі .
Егер ізділінді функция бір айнымалының функциясы болса, онда оны қарапайым дифференциалдық теңдеу деп атайды.
Оның жалпы түрі
(3)
болады.
Дифференциалдық теңдеуге енетін функцияның туындысының ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынандай:
(4)
Дербес жағдайда теңдеудің құрамына х,у және n-нен төменгі туындылар кірмеуі мүмкін. Мысалы, .
(4) теңдікті қанағаттандыратын функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады.
Мысалдар.
функциясы теңдеуінің шешімі болатынын көрсету керек.
Шешуі: -ті табайық:
.
мәндерін берілген теңдеуге қоямыз. Сонда , бұдан шықты. Демек, функциясы берілген дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырды, яғни оның шешімі болады.
функциясы дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын көрсету керек.
