1 в III веке до нашей эры на смену сакским племенам пришли усуни. Они поселились на территории

Тема лекции №1: Матрицы и операции над ними

жүктеу/скачать 150,93 Kb.

бет	2/5
Дата	17.12.2021
өлшемі	150,93 Kb.
	#102084

1 2 3 4 5

Байланысты:
Лекция 1

Тема лекции №1: Матрицы и операции над ними

Основные сведения о матрицах. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Матрицей размера m⋅n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =

или сокращенно в виде A = (a_{i j}) (i = ; j = ). Числа a_{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй – на номер столбца. Две матрицы A = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_{i j} = b_{i j}.
Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В

Виды матриц.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m⋅n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0.

Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n.

Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

A^T= ,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Действие над матрицами.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число λ: λ A = (λ a_{i j}).

Т.е. для того чтобы умножить матрицу A на число λ нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число.
Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

Т.е. чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Или:

=

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c_{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c_{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +… + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}.

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Т.е. перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.

Тема лекции № 2 Определители и его свойства.

Определители квадратных матриц. Определители 2 порядка и 3 порядков. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы.

Экономический смысл операции над матрицами. Операция над матрицами в ЕХСЕЛ.
Определение: Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом (1)
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.
Пример:

Определение: Определитель третьего порядка есть число, полученное по определенному правилу
(2)

Запомнить эту формулу трудно, однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают члены определителя.

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель третьего порядка, применив новую систему обозначений элементов с помощью двойных индексов. Первый индекс в обозначении элемента условимся считать номером строки, а второй – номером столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения элемента определителя.
Определение: Минором элемента определителя 3-его порядка называется определитель 2-го порядка, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Так, например, минором элемента определителя 3-его порядка будет определитель 2-го порядка.

;

Обозначается

Определение: Алгебраическим дополнением элемента называется минор, взятый со знаком «+», если сумма номеров вычеркиваемых строк и столбцов есть четное число и со знаком «-», если эта сумма – нечетное число.

жүктеу/скачать 150,93 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5