u=u(x,y,z) функциясымен берілсін, мұның үзіліссіз дербес туындылары бар.
бар делік. Oxyz декарт координаталар жүйесіндегі P(x,y,z) және l сәулесін қарастырамыз.
z l P1 P
0 y x
x,y,z айнымалылары х;y;z өсімшелерін алсын, онда l сәулесінің Р нүктесі Р1нүктесіне көшеді:
,
сәуленің бағыты бірлік
орт-вектормен анықталады, мұндағы , , - мен x; y; z координаталар осьтері арасындағы бұрыштар. ,
онда
.
Бұл өрнек u функциясының l сәулесі бағытындағы өсімшесі деп аталады.
Анықтама. Егер l0-ғы
формуласымен табылады, мұндағы - l-ге қарағанда жоғарғы ретті ақырсыз аз шама, яғни
және .
Егер u-дың l бағыты бойынша өсімшесін қарастырсақ, онда
.
Толық өсімшенің теңдеуінен:
.
Туындының анықтамасы бойынша:
.
Сонымен, скалярлық өрістің бағыты бойынша туындысы
(18)
формуласымен анықталады.
Мысал. функциясынан Р1(1;2;-1) нүктесінен Р2(2;4;-3) нүктесі бағытындағы туындысын табалық.
; ; - орт-вектор,
; ; ;
,
.
§10.13 Скалярлық өрістің градиенті
Өзінің дербес туындыларымен қоса үзіліссіз скалярлық U(x,y,z) функциясымен сипатталатын скалярлық өріс берілсін:
.
Анықтама. (19)
векторы скалярлық өрістің градиенті деп аталады және былай белгіленеді: gradu.
Туынды алынатын бағыттың
бірлік векторын қарастырамыз.
.
Бұдан, l бағытындағы туынды скалярлық өрістің бірлік векторына скалярлық көбейтіндісіне тең болатыны көрініп тұр: ,
мұндағы ,
.
Бағыт бойынша скалярлық өрістің туындысы gradu-дың модулі мен осы бағыттың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең.
Егер бұрыш =0, онда
. (20)
Сонымен, егер скалярлық өрістің градиенті туындының бағытымен дәл келсе, онда туынды ең үлкен болады және (20) формуламен анықталады.
Гамильтон операторын
10.13.1 Градиенттің қасиеттері. Скалярлық өрістің градиенті скалярлық функцияның дербес туындыларымен сипаттала-тындықтан туындының барлық қасиеттері градиент үшінде орындалады.
1. Екі функцияның қосындысының (айырмасының) градиенті ол функциялардың градиенттерінің қосындысына (айырмасына) тең:
.
Дәлелдеу. Анықтама бойынша
.
2. Тұрақты көбейткішті градиент таңбасының алдына шығаруға болады:
.
3. Екі функцияның көбейтіндісінің градиенті мына формуламен табылады.
.
4. Екі функцияның қатынасының градиенті мына формуламен табылады:
.
§10.14 Векторлық өріс
Анықтама. Егер кеңістіктік облыстың бөлігінің (бұл облыс бүкіл кеңістікті түгел қамтуы мүмкін) әрбір нүктесіне вектор сәйкес келсе, онда оны векторлық өріс деп атайды.
Векторлық өріс векторымен сипатталады.
,
.
Егер X,Y,Zфункциялары t-дан тәуелді болса, онда өріс стационар емес векторлық өріс деп аталады.
Егер X,Y,Z функциялары t-дан тәуелді болмаса, онда өріс стационар деп аталады.
Векторлық өріс жазық деп аталады, егер олардың координаталары х,у екі айнымалыларына тәуелді болса, яғни
.
Анықтама. Егер жазықтықтағы сызықтың әр нүктесіндегі вектор жанамамен беттесетін болса, онда ол жазықтықтағы векторлық сызықтар деп аталады.
Fi Fn
