§10. 12 Бағыт бойынша туынды
жүктеу/скачать 150,5 Kb.
|
446-450 kz
- Бұл бет үшін навигация:
- Туындының анықтамасы бойынша
- §10.13 Скалярлық өрістің градиенті
- §10.14 Векторлық өріс
§10.12 Бағыт бойынша туындыСкалярлық өріс үзіліссізu=u(x,y,z) функциясымен берілсін, мұның үзіліссіз дербес туындылары бар. бар делік. Oxyz декарт координаталар жүйесіндегі P(x,y,z) және l сәулесін қарастырамыз. z l P1 P 0 y x x,y,z айнымалылары х;y;z өсімшелерін алсын, онда l сәулесінің Р нүктесі Р1 нүктесіне көшеді: , сәуленің бағыты бірлік орт-вектормен анықталады, мұндағы , , - мен x; y; z координаталар осьтері арасындағы бұрыштар. , онда . Бұл өрнек u функциясының l сәулесі бағытындағы өсімшесі деп аталады. Анықтама. Егер l0-ғы ақырлы шегі бар болса, онда ол шек скалярлық өрістің l бағыты бойынша туындысы деп аталады. Толық өсімше формуласымен табылады, мұндағы - l-ге қарағанда жоғарғы ретті ақырсыз аз шама, яғни және . Егер u-дың l бағыты бойынша өсімшесін қарастырсақ, онда . Толық өсімшенің теңдеуінен: . Туындының анықтамасы бойынша:. Сонымен, скалярлық өрістің бағыты бойынша туындысы (18) формуласымен анықталады. Мысал. функциясынан Р1(1;2;-1) нүктесінен Р2(2;4;-3) нүктесі бағытындағы туындысын табалық. ; ; - орт-вектор, ; ; ; , . §10.13 Скалярлық өрістің градиентіӨзінің дербес туындыларымен қоса үзіліссіз скалярлық U(x,y,z) функциясымен сипатталатын скалярлық өріс берілсін: . Анықтама. (19) векторы скалярлық өрістің градиенті деп аталады және былай белгіленеді: gradu. Туынды алынатын бағыттың бірлік векторын қарастырамыз. . Бұдан, l бағытындағы туынды скалярлық өрістің бірлік векторына скалярлық көбейтіндісіне тең болатыны көрініп тұр: , мұндағы , . Бағыт бойынша скалярлық өрістің туындысы gradu-дың модулі мен осы бағыттың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең. Егер бұрыш =0, онда . (20) Сонымен, егер скалярлық өрістің градиенті туындының бағытымен дәл келсе, онда туынды ең үлкен болады және (20) формуламен анықталады. Гамильтон операторын енгіземіз, мұндағы -набла, онда . u-дың скалярлық өрісі градиенттің векторлық өрісін тудырады: . Мысал. скалярлық өрісінің А(2;1;1) нүктесіндегі градиентін табалық. ; ; . Сонда . 10.13.1 Градиенттің қасиеттері. Скалярлық өрістің градиенті скалярлық функцияның дербес туындыларымен сипаттала-тындықтан туындының барлық қасиеттері градиент үшінде орындалады.1. Екі функцияның қосындысының (айырмасының) градиенті ол функциялардың градиенттерінің қосындысына (айырмасына) тең: . Дәлелдеу. Анықтама бойынша . 2. Тұрақты көбейткішті градиент таңбасының алдына шығаруға болады: . 3. Екі функцияның көбейтіндісінің градиенті мына формуламен табылады. . 4. Екі функцияның қатынасының градиенті мына формуламен табылады: . §10.14 Векторлық өрісАнықтама. Егер кеңістіктік облыстың бөлігінің (бұл облыс бүкіл кеңістікті түгел қамтуы мүмкін) әрбір нүктесіне вектор сәйкес келсе, онда оны векторлық өріс деп атайды. Векторлық өріс векторымен сипатталады. , . Егер X,Y,Z функциялары t-дан тәуелді болса, онда өріс стационар емес векторлық өріс деп аталады. Егер X,Y,Z функциялары t-дан тәуелді болмаса, онда өріс стационар деп аталады. Векторлық өріс жазық деп аталады, егер олардың координаталары х,у екі айнымалыларына тәуелді болса, яғни . Анықтама. Егер жазықтықтағы сызықтың әр нүктесіндегі вектор жанамамен беттесетін болса, онда ол жазықтықтағы векторлық сызықтар деп аталады. Fi Fn Жанаманың теңдеуі жүктеу/скачать 150,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|