10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

46
Сондықтанsinx = a теңдеуiнiң|а|
m
1 шарты орындалғандағана
шешiмi болады.Ал, егерa саны модулi бойыншабiрденүлкен, яғни
|a| > 1 болса,ондаsinx = a теңдеуiнiңшешiмi болмайды.
Ендi sinx = a, мұндағы |a|
m
1, теңдеуiнiңшешуiн қарастырамыз.
sinx = a теңдеуiншешу үшiн у = sinx жәнеу = а функцияларының
графиктерiнбiр координаталықжазықтықтасалайық(41-сурет).
Абсциссаосiнепараллельу = а түзуi синусоидақисығымен шексiз
көп нүктелердеқиылысады. Қиылысу нүктелерiнiң абсциссалары
sinx = а теңдеуiнiңшешiмдерiболыптабылады.у = sinx функциясы
периодтыфункция болғандықтан,sinx = a теңдеуiнiң бiр период
iшiндегi барлық шешiмдерiнтапсақ жеткiлiктi. Қалған шешiмдер
функцияныңпериодтылыққасиетiменанықталады.Аргумент[0; 2
π
]
кесiндiсiндеөзгергенде,sinx = a теңдеуiнiңу = а түзуiменқиылысу
нүктелерiнiңабсциссаларыx
1
=
α
, x
2
=
π
–
α
болады.
Ендisinx функциясыныңпериоды2
π
-гетеңекенiнескерiп,теңдеудiң
барлықшешiмдерiнжазу үшiн мынадайформулаларшығарыпаламыз:
x =
α
+ 2
π
k, k
∈
Z.
(2)
x =
π
–
α
+ 2
π
k, k
∈
Z.
(3)
Осы шешiмдердiбiр формуламенберугеболады:
x = (–1)
n
α
+
π
n; n
∈
Z.
(4)
(4)-формуладан(2) және(3) формулаларменжазылғаншешiмдердi
алуғаболатынынакөз жеткiзейiк.
Егерn = 2k болса,онда(4)-формуладан
x = (–1)
2k
·
α
+ 2
π
k =
α
+ 2
π
k, k
∈
Z.
Бұл (2)-формуланыбередi.
Ендi n = 2k + 1 болса, онда(4) формуладан
x = (–1)
2k + 1
·
α
+
π
(2k + 1) = –
α
+ 2
π
k +
π
=
π
–
α
+ 2
π
k, k
∈
Z.
Бұл (3)-формуланыбередi.
sin
α
= a болса, онда
α
= arcsina екенiн ескерiп, (4)-формуланы
былайжазамыз:
x = (–1)
n
· arcsina +
π
n, n
∈
Z.
(5)
(5)-формулаsinх = a теңдеуiшешiмiнiңжалпытүрi болыптабы-
лады.
sinx =а теңдеуiнiңдербесшешiмдерiтөмендегi7-кестедекөрсетiлген.
41-сурет

47
7-кесте
sinx = 1
sinx = –1
sinx = 0
x =
+ 2
π
n, n
∈
Z
x = –
+ 2
π
n, n
∈
Z
x =
π
n, n
∈
Z
Тригонометриялықтеңдеулердiңшешiмiнрадиандықнемесеградус-
тық түрдекөрсетугеболады.Алдағыуақытташешiмдiбiр ғанатүрмен
беремiз.
II. cosx = a теңдеуiнiңшешiмдерiнанықтайық.
у = cosx функциясыныңанықталуоблысыбарлық нақты сандар
жиыны (x
∈
R), функцияның мәндержиыны [–1; 1] кесiндiсi, яғни
|cosx|
m
1 функцияшектелген.Егертеңдiктiңоң жағындағысан|а| > 1
болса,ондаcosx = a теңдеуiнiңшешiмi жоқ. Сондықтантеңдiктiңоң
жағындағыa саны |а|
m
1 шартынқанағаттандыруыкерек.
Ендi cosx = a (мұндағы|а|
m
1) теңдеуiнiңшешiмiн табу үшiн ко-
синусоидақисығын және ординатаосiне параллельу = а түзуiнiң
графиктерiнбiр координаталықжазықтықтасалайық(42-сурет).
МЫСАЛ
1. 2 sinx =
теңдеуіншешейік.
Шешуi.sinx =
; x = (–1)
n
· arcsin
+
π
n, n
∈
Z.
Ендi arcsin
=
екенiнескерсек,ондах = (–1)
n
+
π
n, n
∈
Z. Бұл теңдеудiң
радиандықшешiмдерi,градустықшешiмдерiх = (–1)
n
· 60°+ 180°· n, n
∈
Z.
Жауабы: (–1)
n
+
π
n немесе(–1)
n
· 60°+ 180°· n, n
∈
Z.
42-сурет
ТҮСІНДІРІҢДЕР
2sin(2х – 1) = 1 теңдеуiніңшығарылуынтүсіндіріңдер.
Шешуi.sin(2x – 1) = ;
2х – 1 = (–1)
n
arcsin +
π
n; n
∈
Z;
2х = 1 + (–1)
n
· +
π
· n; n
∈
Z;
х = + (–1)
n
·
+ n, n
∈
Z.
Жауабы:
+ (–1)
n
·
+ n, n
∈
Z.

48
Косинусоидамен y = а түзуi шексiз көп нүктелердеқиылысады.
Қиылысу нүктелерiнiңабсциссаларыcosx = a теңдеуiнiңшешiмдерi
болады.
y = cosx периодты функция, оның ең кiшi оң периоды2
π
. Сон-
дықтан cosx = а теңдеуiнiңбiр периодiшiндегi барлық шешiмдерiн
тапсақ жеткiлiктi. Қалғаншешiмдерфункцияныңпериодтылығымен
анықталады. Соныменқатар, функция жұп болғандықтан,[–
π
;
π
]
кесiндiсiндеy = cosx функциясыменy =а (0 < а < 1) түзуiнiңқиылысу
нүктелерiнiңабсциссаларысимметриялысандарболады.Демек,
α
саны
cosx = а теңдеуiнiңбiр шешiмi болса,ондаекiншi шешiмi (–
α
).
Ендi cosx функциясыныңпериоды2
π
-ге тең екенiнескерiп,
x =
α
+ 2
π
n; n
∈
Z.
(6)
x = –
α
+ 2
π
n; n
∈
Z.
(7)
Осы формулалардыбiрiктiрiпжазуғаболады,яғни
x = ±
α
+ 2
π
n; n
∈
Z.
(8)
Ендicos
α
= a болса,онда
α
= arccosa екенiнескерсек,(8)-формуланы
мына түрдежазуғаболады:
x = ± arccosa + 2
π
n; n
∈
Z.
(9)
(9)-формулаcosx = а теңдеуішешімініңжалпытүрі.
cos
x
=
а
теңдеуiнiңдербесшешiмдерi8-кестедекөрсетiлген.
8-кесте
cosx = 1
cosx = –1
cosx = 0
x = 2
π
n, n
∈
Z
x =
π
+ 2
π
n, n
∈
Z
x =
+
π
n, n
∈
Z
ТҮСІНДІРІҢДЕР
Неліктен
3cosx = 4 теңдеуiніңшешімі болмайды?
III. tgx = a жәнесtgx = a теңдеулерiнiңшешiмiнтабайық.
Барлық нақты сандар жиыны y = tgx функциясының мәндер
жиыныекенiбелгiлi,яғниtgx
∈
R. Сондықтанtgx =a теңдеуiнiңа-ның
кез келгенмәнiндешешiмi бар.
МЫСАЛ
2. 2cosx = –1 теңдеуiнiңшешiмiнтабайық.
Шешуi. Берiлгентеңдеудi шешу үшiн екi жақ бөлiгiн де 2-ге
бөлемiз:cosx = – , ондаx = ± arccos(– ) + 2
π
n, n
∈
Z;
x = ± (
π
– arccos ) + 2
π
n, n
∈
Z;
x = ± (
π
–
) + 2
π
n, n
∈
Z;
x = ±
+ 2
π
n, n
∈
Z.
Жауабы: ±
+ 2
π
n, n
∈
Z.

49
y = tgx функциясыныңграфигiтангенсоидақисығыy = а түзуiмен,
кез келгенпериодiшiнде, бiр ғананүктедеқиылысады.Сол қиылысу
нүктесiнiңабсциссасыtgx = a теңдеуiнiңшешiмi (43-сурет).
Қалған шешiмдер функцияның периодтылық қасиетiменанық-
талады.
x
∈
интервалындаtgx = a теңдеуiнiңшешiмiн
α
депұйғарсақ,
онда теңдеудiңбарлық шешiмдерiх =
α
+
π
n, n
∈
Z формуласымен
анықталады.tg
α
= a, ал
α
= arctga болғандықтан, соңғы формула
мына түргекеледi:
x = arсtga +
π
n, n
∈
Z.
(10)
(10) формулаtgx = а теңдеуiшешiмiнiң жалпы түрi. Тура осылай
сtg x = a теңдеуiнiңшешiмдерiжалпы түрдеберiлген
x = arсctga +
π
n, n
∈
Z
(11)
формуласыменанықталады.
tgx = а жәнесtgx = а теңдеулерiнiңдербесшешiмдерi9-, 10-кес-
телердеберiлген:
9-кесте
tgx = 1
tgx = –1
tgx = 0
x =
+
π
n, n
∈
Z
x = –
+
π
n, n
∈
Z
x =
π
n, n
∈
Z
10-кесте
ctgx = 1
ctgx = –1
ctgx = 0
x =
+
π
n, n
∈
Z
x =
+
π
n, n
∈
Z
x =
+
π
n, n
∈
Z
МЫСАЛ
3. tgx =
теңдеуіншешейік.
Шешуі. x = arctg
+
π
n, n
∈
Z. Енді arctg
=
екенін
ескерсек,x = +
π
n, n
∈
Z.
Жауабы:
+
π
n, n
∈
Z.
43-сурет

50
МЫСАЛ
4. 2sinx =
теңдеуінің [–
π
;
π
] аралығынатиісті шешімдерін
табайық.
Шешуі: Алдыменберілгентеңдеудіңжалпышешімінанықтаймыз.
2sinx =
;
sinx =
;
x = (–1)
n
arcsin
+ 
π
n, n
∈
Z.
x = (–1)
n
·
+
π
n, n
∈
Z.
Енді n-нің орнына мән беру арқылы теңдеудің берілген аралыққа тиісті
шешімінтабамыз.
n = 0, х = (–1)
0
·
+
π ·
0 = ;
n = 1, х = (–1)
1
·
+
π ·
1 = – +
π
=
;
n = –1, х = (–1)
–1
+
π ·
(– 1) = – –
π
= –
жәнет.с.с.
Сонда
∈
[–
π
;
π
];
∈
[–
π
;
π
]; –
∉
[–
π
;
π
].
Жауабы:
;
.
Жаттығулар
А
Теңдеудiшешiңдер(7.1—7.4)
:
7.1.а) sinx =–
;
ә) sinx =
;
б) сosx = ;
в) cosx =–
.
7.2.а) tgx = 2;
ә) ctgx = –3;
б) tgx = –
;
в) сtgx =
.
7.3.а) sin = 0;
ә) cos2x = 0;
б) 5cos3x – 5 = 0;
в) 6sin5x + 6 = 0.
1. Тригонометриялықтеңдеулермен алгебралықтеңдеулердiңарасында
қандайайырмашылықбар?
2. Тригонометриялықтеңдеулершешiмiнiң шексiз көп болу себебiнеде?
Алгебралық теңдеулердеосындай жағдайлар кездесе ме? Жауабын
түсiндiрiңдер.
3. Тригонометриялықтеңдеудiң екi жақ бөлiгiндегi бiрдей көбейткiш
тригонометриялық функция болған жағдайда қандай түрлендiру
қолданылады?
4. 2sinx + cosx = 3 теңдеуiқарапайымтригонометриялық
теңдеугежатама?
ТҮСІНДІРІҢДЕР
сtg = 1 теңдеуіқалай шешілген?
Шешуі.
= arсctg1+ n
π
; = + n
π
, n
∈
Z;
x = + 2
π
n, n
∈
Z.
Жауабы: x = + 2
π
n, n
∈
Z.

51
7.4.а) tg(x – 2) = 0;
ә) ctg(x + 3)= 0;
б) 2 sin3x + 1 = 0;
в) cos – 0,5 = 0.
Берiлгенаралыққатиiстiтеңдеудiңшешiмдерiнтабыңдар(7.5-7.6)
:
7.5.а) sin
ϕ
= –1,
ϕ ∈
[0; 2
π
];
ә) ctg
ϕ
= 1,
ϕ ∈
[–
π
;
π
];
б) tg
ϕ
=
,
ϕ ∈
;
в) cos
ϕ
= –1,
ϕ ∈
[0; 2
π
].
7.6.а) sin
ϕ
= –
,
ϕ ∈
[–
π
;
π
]; ә) 2cos
ϕ
=
,
ϕ ∈
[–
π
;
π
];
б) tg
ϕ
= –
,
ϕ ∈
;
в) ctg
ϕ
=
,
ϕ ∈
(0;
π
).
В
Теңдеудiшешiңдер (7.7—7.12)
:
7.7.а) 3tg2x –
= 0;
ә) –
ctg4x + 3 = 0;
б) 2sin2x –
= 0;
в) –2cos2x +
= 0.
7.8.а) sin
+ 1 = 0;
ә) cos
– 1 = 0;
б) tg
– 1 = 0;
в) ctg
=
.
7.9.а) 3tg
= –4;
ә) 4ctg
– 3 = 0;
б) 2sin
=
;
в)
cos
+ 2 = 0.
7.10.а) sin3x · cos3x = – ;
ә) sin
2
2x – cos
2
2x =
;
б)
=
;
в) 2sin
2
4x – 1 =
.
7.11.а) sin6x – sin4x = 0;
ә) cos5x + cos3x = 0.
7.12.а) cos7x – cos5x = 0;
ә) sin9x – sin13x = 0.
Тригонометриялықтеңдеулер,теңдеулержүйесi,оларды шешу
әдiстерi,тригонометриялық
тепе-теңдiктер,
формулалар,теңдеудiң
түбiрлерi
.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

52

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: