10-аптаның лекциясы – БҰрыштық моменттің кванттық теориясы
жүктеу/скачать 430,98 Kb. Pdf көрінісі
|
10-ыншы апта лекциясы
10-ыншы апта лекциясы, проф стом 2, 21-40
- Бұл бет үшін навигация:
- 10.1 Бұрыштық момент
- 10.2 Бұрыштық момент проекциясы мен осы момент квадраты операторларының меншікті мәндері және меншікті функциялары
- 10.3 Бұрыштық моментті коммутациялық қатынастардың көмегімен
- 10-ыншы аптадағы лекцияның материалдарын пайдалана отырып, мына сұрақтарға жауап беріңіздер
| 10-аптаның лекциясы – БҰРЫШТЫҚ МОМЕНТТІҢ КВАНТТЫҚ ТЕОРИЯСЫ
Бұл дәрісте кванттық механикада маңызды роль атқаратын физикалық шама – бұрыштық моменттің кванттық теориясы таратылып баяндалады. Бұл баяндаулар Шредингердің толқындық және Гейзенбергтің матрицалық механикаларының негізінде жасалады. Шредингер механикасына сәйкес, бұрыштық моменттің меншікті мәндері мен меншікті функцияларына арналған теңдеу жазылып, сол теңдеуді шешу арқылы бұрыштық момент квадраты мен оның z осіне проекциясының квантталған мәндері және олардың меншікті функциялары болып табылатын сфералық функциялар анықталады. Бұдан әрі осы нәтижелерді жоғарыдағы меншікті мән және меншікті функцияларға арналған теңдеуді шешпей-ақ, Гейзенберг механикасының негізінде коммутациялық қатынастардан да шығарып алуға болатындығы көрсетіледі. Бұл жерде моменттің тек бүтін мәндерін ғана емес, сонымен қатар жартылай бүтін мәндерін де қарастырудың мүмкіндігі туады. Осымен байланысты бөлшектің спиндік функциясының ұғымы енгізіліп, бұрыштық момент операторларының матрицалары есептелінеді. Сонымен қатар, кванттық механиканың нақтылы қолданылулары үшін маңызды роль атқаратын, өзара мардымсыз әсерлесетін бірнеше бөліктен тұратын кванттық жүйелердің моменттерін векторлық қосу ережелері енгізіліп, қарапайым жағдай үшін Клебш-Гордан коэффициенттерінің мәндері есептелінеді.
Кванттық механикада аса маңызды роль атқаратын физикалық шамалардың бірі бұрыштық момент. Бұл шамаға декарттық координаттар жүйесінде мынадай кванттық операторлар сәйкес қойылады
y z z y i L x ˆ ,
x x z i L y ˆ ,
y y x i L z ˆ . (10.1)
Осы операторлардың координат операторларымен қалай
коммутацияланатындығын оңай анықтауға болады. Шындығында
. , ˆ , ˆ , 0 , ˆ , , ˆ , ˆ , 0 , ˆ , , ˆ , ˆ , 0 , ˆ x i y L y i x L z L z i x L x i z L y L y i z L z i y L x L z z z y y y x x x
(10.2) Бұл өрнектерді біріктіре отырып, бір ғана тензорлық теңдеу түрінде былайша жазудың мүмкіндігі бар
l ikl k i x e i x L , ˆ . (10.3)
Мұндағы ikl e - Леви-Чивитаның антисимметриялы, үшінші рангілі бірлік псевдотензоры. Осы (10.3) теңдеуіне ұқсас өрнектерді импульс пен бұрыштық момент операторларының коммутаторлары үшін де жазуға болады. Ол өрнек мынадай
l k i p i p L ˆ ˆ , ˆ . (10.4) Ал бұрыштық момент проекцияларының операторлары өзара былай коммутацияланады
y x z x z y z y x L i L L L i L L L i L L ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ . (10.5)
Немесе
l ikl k i L e i L L ˆ ˆ , ˆ . (10.6) Бұрыштық момент квадратының операторын мына түрде
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ z y x L L L L
(10.7) анықтайды. Ол бұрыштық момент проекцияларының операторларымен былайша коммутацияланады
0 ˆ , ˆ , 0 ˆ , ˆ , 0 ˆ , ˆ 2 2 2
y x L L L L L L
(10.8) Бұл өрнек, бұрыштық моменттің квадраты мен сол моменттің кез келген оське проекциясының бір мезетте анықтала алатындығын көрсетеді. Бірақ, егер осы 2
-пен бір мезетте анықталатын қандай да бір момент проекциясы таңдап алынған болса, онда одан әрі (10.5) өрнегінің салдарынан қалған проекциялардың ешқайсысы онымен бірмезетте анықтала алмайды. Әдетте 2
-пен бір мезетте анықталатын момент проекциясы ретінде z L -ті таңдап алады. Бұлай таңдап алу ыңғайлы, себебі
өрнегі қарапайым, осының салдарынан есепті математикалық тұрғыдан қарастыру жеңілдейді. Жоғарыда айтылғандай, егер 2
пен
z L бірмезетте анықталған болса, онда ол қалған
және
y L операторларымен бұлай, бірмезетте анықтала алмайды. Көптеген нақтылы есептеулерде
және
y Lˆ операторларының орнына осы операторлар арқылы былай
y x y x L i L L L i L L ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ
(10.9)
анықталған Lˆ және
Lˆ операторларын пайдалану ыңғайлы. Тікелей есептеулердің нәтижесінде мына теңдіктердің
L L L L L L L L z z z ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ 2 ˆ , ˆ
z z z z L L L L L L L L L L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 0 ˆ , ˆ , 0 ˆ , ˆ 2 2 2 2 2
орындалатындығына оңай көз жеткізуге болады. Кванттық механиканың көптеген есептерін сфералық координат жүйесінде қарастыру ыңғайлы. Ал бұлай жасау үшін бұрыштық момент операторларының осы жүйедегі өрнектерін білу қажет. Декарттық және сфералық координаттардың арасындағы мына
cos sin
r x , sin sin r y , cos
r z
байланысты ескере отырып, бұл операторлардың сфералық координат жүйесіндегі өрнектерінің мынадай
i L x cos
sin ˆ ,
ctg i L y sin
cos ˆ , (10.10)
i L z ˆ
екенін анықтаймыз. Сәйкес бұрыштық момент квадраты операторының өрнегі мынадай
2 2 2 2 2 sin 1 sin
sin 1 ˆ L . (10.11) Сол сияқты
ctg i e L i ˆ . (10.12) Осы табылған өрнектер алдағы нақтылы есептеулерде кеңінен қолданылатын болады.
10.2 Бұрыштық момент проекциясы мен осы момент квадраты операторларының меншікті мәндері және меншікті функциялары
Кез келген Fˆ операторының меншікті мәндері мен меншікті функцияларын сәйкес F Fˆ теңдеуін шешу арқылы анықтайтыны тәрізді, бұрыштық момент проекциясы операторы мен осы момент квадраты операторының меншікті мәндері мен меншікті функцияларын сәйкес мына теңдеулерді
z L Lˆ ,
2 2 ˆ L L
(10.13) шешу арқылы анықтайды. Бұл теңдеулерді сфералық координаталар жүйесінде шешу ыңғайлы. Алдымен
операторының меншікті мәндері мен меншікті функцияларын табалық. Ол үшін (10.13)-тегі алғашқы теңдеуге
тің сфералық координаталар жүйесіндегі (10.10) өрнегін қойып, мына теңдеуді
, , , , r L r i z
(10.14)
алады. Оператор тек айнымалысына ғана әсер ететін болғандықтан, бұл теңдеудің шешімін
мынадай , , , r r
айнымалылары шатыспаған түрде іздестірудің мүмкіндігі бар. Осы шешімді (10.14) теңдеуіне қойып, белгісіз
функциясы үшін мына теңдеуді
z L i
(10.15) алады. Бұл теңдеудің айнымалылары оңай ажыратылады. Одан әрі оны интегралдай отырып, шешімін мына түрде жазады
z L i e C
(10.16)
Бұл шешім толқындық функциялардан талап етілетін стандартты шарттарды, яғни үздіксіздік, шектілік және бірмәнділік шарттарын қанағаттандыруы тиіс. Алғашқы екі шарттың орындалатыны белгілі. Ал толқындық функцияның
2 -дің арасында өзгеретін болғандықтан ол функцияның бірмәнділік шарты мына түрде жазылады
2 немесе
2
z L i L i e e
Бұл шарт орындалу үшін m L z болып, мұндағы m мынадай 0, ±1, ±2, …мәндерді қабылдауы тиіс. z L -тің осы мәндері берілген z Lˆ
операторының меншікті мәндері болып табылады. Мұндағы m шамасы магниттік кванттық сан деп аталады. Бұл жерден қозғалыс мөлшері моментінің z осіне проекциясының дискретті мәндер қабылдайтыны көрініп тұр. Басында таңдап алынған z осі басқа осьтерден қандай да бір физикалық шартпен ерекшеленбейтін болғандықтан, бұл алынған нәтижелер моменттердің x және y остеріне проекциялары үшін де орынды болады. Жоғарыдағы (10.16) шешімі мына шартпен
m m m m d 2 0 *
(10.17)
нормаланған. Бұл шарт өрнектегі С нормалаушы көбейткішін анықтауға мүмкіндік береді. Онда осы шарттан бұл көбейткішті анықтай отырып нормаланған шешімді мына түрде жазуға болады
im m e 2 1 (10.18)
Сонымен, бұрыштық момент проекциясы операторының меншікті мәндері
-ға (мұндағы m = 0, ±1, ±2, …) тең болып, меншікті функциялары (10.18) өрнегімен анықталады екен. Енді бұрыштық момент квадраты операторының меншікті мәндері мен меншікті функцияларын анықталық. Жоғарыдағы (10.11) өрнегіне сәйкес 2 ˆL операторы радиалдық айнымалыға әсер етпейтін болғандықтан қарастырып отырған теңдеудің шешімін мынадай, , , , r R r бұрыштық айнымалылары ажыратылған функция түрінде іздестірудің мүмкіндігі бар. Онда меншікті мән мен меншікті функцияға арналған теңдеу жоғарыдағы (10.11) және (10.13) өрнектерінің негізінде мына түрде жазылады
0 , , sin
1 , sin sin 1 2 2 2 2 2
(10.19)
Бұл теңдеу өзінің түрі жағынан математикадан жақсы белгілі мына теңдеуге
0 , 1 , sin 1 , sin sin 1 2 2 2 lm lm Y l l Y Y
(10.20) ұқсас. Ал бұл (10.20) теңдеуінің шешімдері
, lm Y сфералық функциялары болатындығы белгілі (7-Қосымшаны қараңыз). Бұл сфералық функциялар математикада жан-жақты зерттелген, l мен т –нің берілген мәнінде олар былай анықталған
lm lm Y , (10.21)
мұндағы
cos
! ! 2 1 2 1 m l m l P m l m l l . Ал Лежандрдың ассоцияцияланған полиномы
m l m l l m m l x dx d l x x P 1 ! 2 1 1 2 2 / 2 .
Мұндағы l = 0, 1, 2, … , ал l –дің берілген мәнінде т мынадай т = 0, ±1, ±2, ... , ±l мәндерді қабылдайды. Жоғарыдағы (10.19) және (10.20) теңдеулерін салыстыра отырып
1 2 2
l L
(10.22)
болғандағ олардың бір-біріне дәл келетінін байқауға болады. Олай болса бұрыштық момент квадраты операторының меншікті мәндері (10.22) өрнегіне сәйкес анықталып, меншікті функциялары сфералық функциялар болып табылады екен. Бұл сфералық функциялар (10.21)-ге сәйкес өз кезегінде бұрыштық моменттің z осіне проекция операторының
меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті функциялары болып та табылады. Сонымен
, lm Y функциялары z Lˆ және
2 ˆL операторларының ортақ меншікті функциялары екен.
кванттау Жоғарыда 2 ˆL және z Lˆ операторларының дискретті меншікті мәндері мен оларға сәйкес келетін ортақ меншікті функцияларының жиыны анықталды. Ол мәндер мен функциялар осы операторлар үшін жазылған (6.23) теңдеулерін шешудің нәтижесінде табылды. Осылай жасау жалпы бұл шамаларды анықтаудың дәстүрлі жолы. Бұған дейінгі басқа операторлардың да меншікті мәндері мен меншікті функциялары осы жолмен анықталған болатын. Бірақ берілген шамаларды анықтаудағы бұл мүмкін болатын бірден-бір жол емес. Осы 2
және
z L моменттерінің дискретті мәндерді қабылдайтыны туралы нәтижені жоғарыдағы теңдеулерді шешпей-ақ, тек осы моменттерге арналған
l ikl k i L e i L L ˆ ˆ , ˆ
(10.23) коммутациялық қатынастардың негізінде де алуға болады. Мұндай мүмкіндікті алғаш рет В.Гейзенберг өзінің матрицалық механикасында көрсеткен болатын. Төменде осы нәтижелерді қайталаймыз. Ол үшін алдымен мынадай
i i L J ˆ 1 ˆ және i i J J 2 2 ˆ ˆ
(10.24)
өлшемсіз момент операторлары енгізіледі. Бұл операторлар мынадай
ikl r i J ie J J ˆ ˆ , ˆ және 0 ˆ , ˆ 2 k J J
(10.25) коммутациялық қатынастарды қанағаттандырады делік. Одан әрі бұл операторлардың көмегімен мынадай
x J i J J ˆ ˆ 2 1 ˆ және y x J i J J ˆ 2 1 ˆ
(10.26)
жаңа екі эрмиттік емес операторлар енгізіледі. Олар мынадай қатынастарды қанағаттандырады
J J ˆ ˆ (10.27)
z z J J J J J ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 2 және z z J J J J J ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ 2 2 (10.28)
0 ˆ , ˆ 2 J J ,
J J J z ˆ ˆ , ˆ ,
J J J ˆ ˆ , ˆ . (10.29)
Бізге өзара коммутацияланатын 2 ˆJ және
операторларының ортақ меншікті функциялары белгілі болсын делік. Оны
2 деп белгілелік. Осы функцияның көрінісінде
2 2 2 2 2 2 , ˆ ˆ , m J m J J J m J z
(10.30) теңдігі орындалады. Екінші жағынан
, ˆ ˆ , , ˆ ˆ , 2 2 2 2 2 2 2 2
J J J m J m J J J m J y x z
(10.31) Онда
0 2 2 m J немесе 2 2
m . (10.32)
Олай болса 2 J -тың берілген мәнінде m төменгі және жоғарғы жағынан шектелген, яғни
max min
m m m . (10.33)
Енді
m J , 2 функциясы мынадай қатынасты
1 , , ˆ 2 2
J A m J J
(10.34) қанағаттандыратына оңай көз жеткізуге болады. Мұндағы А тұрақты шама. Оны дәлелдеп көрсету үшін
2 функциясына J J z ˆ , ˆ операторымен әсер етелік және жоғарыдағы (10.29) өрнегін ескерелік. Онда
m J J m J J J J J z z , ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 . (10.35) Бұдан
j J m m J J J z , ˆ 1 , ˆ ˆ 2 2 . (10.36) Яғни
m J J , ˆ 2 функциясы z Jˆ операторының 1
m J z меншікті мәндеріне тиесілі меншікті функциялары болып табылады. Яғни
2 функциясы (10.34) өрнегін қанағаттандырады. Жоғарыдағы (6.34) өрнегінен көрініп тұрғанындай
операторының m J , 2 толқындық функциясына әсер етуі момент проекциясы m -нің мәнінің 1-ге артуына, ал
операторының әсері
-нің мәнінің 1-ге кемуіне алып келеді екен. Сондықтан
«жоғарылатқыш», ал
«төмендеткіш» операторлар деп аталады. Ал max
m және
min m шамаларының анықтамаларына сәйкес max
және min m m мәндеріне сәйкес келетін күйлер болмайды да
0 , ˆ max 2 m J J және 0 ,
min 2 m J J
(10.37) болады. Бұдан
0
ˆ ˆ max 2 m J J J және 0 ,
ˆ min
2 m J J J
теңдіктерін аламыз. Бұдан әрі (10.28) өрнектерін ескере отырып бұл теңдікті мына түрде жазамыз
0 , ˆ ˆ ˆ max 2 2 2 m J J J J z z және
, ˆ ˆ ˆ min
2 2 2 m J J J J z z
немесе 0 , max 2 max
2 max
2 m J m m J және
, min
2 min
2 min
2 m J m m J .
Олай болса,
0 max 2 max 2 m m J және 0 min
2 min
2 m m J . (10.38) Бұл екі теңдеу min max
m m шарты орындалғанда тек 0 min m және min max
m m
болғанда ғана үйлесімді болады. Бұдан әрі j m max деп белгілей отырып, жоғарыдағы өрнектен j m min , (мұндағы 0
) екенін аламыз. Ал (10.38) өрнегінен
1 2
j J
(10.39) екенін аламыз. Сонымен, берілген 0
дің мәнінде момент квадраты операторының меншікті мәндері (10.39) өрнегімен анықталады, ал моменттің z осіне проекциясы мына аралықтағы
j m j
(10.40) мәндерді қабылдайды. Ал j қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? Жоғарыда m J , 2 функциясы 2 ˆJ және
операторларының
2 j j J және
m J z
меншікті мәндеріне тиесілі меншікті функциясы екені көрсетілді, онда m J J , ˆ 2 функциясы осы операторлардың 1 2 j j J және
1 m J z меншікті мәндеріне тиесілі меншікті функциясы болып табылады. Сондықтан
-дің
берілген мәнінде моменттің проекциясы мынадай мәндер қабылдайды
j j j j m ..., , 2 , 1 ,
(10.41)
Өз кезегінде бұлай болу үшін j мынадай
...
, 3 , 2 / 5 , 2 , 2 / 3 , 1 , 2 / 1 , 0 j
(10.42) бүтін және жартылай бүтін мәндерді қабылдауы тиіс. Ал j -дің берілген мәнінде
(10.41) өрнегіне сәйкес әртүрлі, бірақ жалпы саны
2
-ға тең болатын мәндерді қабылдайды. Мұндағы j -ді әдетте бөлшектің қозғалыс мөлшері моментінің кванттық саны деп атайды. Сонымен, (10.23) коммутациялық қатынастардың негізінде 2 ˆJ және z Jˆ
операторларының спектрін анықтадық. Мұндағы бұрыштық момент квадратының операторының спектрінің ерекшелігі – ол бүтін мәндермен қатар жартылай бүтін мәндерді де қабылдайтыны. Бүтін мәндерді біз бұрын 2 ˆL операторының меншікті мәндерін анықтауға арналған есепті шешкен кезде((10.22)-ні қараңыз) алған болатынбыз. Бұл есепті коммутациялық қатынастар арқылы шешкен кезде спектр одан да мазмұндырақ болып шықты. Яғни j кванттық саны бүтін мәндермен қатар жартылай бүтін мәндерді де қабылдайтыны белгілі болды. Тәжірибе шындығында табиғатта моменттердің бүтін мәндерімен қатар жартылай бүтін мәндердің де жүзеге асатынын көрсетеді. Оның бір жарқын мысалы – бөлшектің спині. Мәселен электрондар, протондар, нейтрондар, гиперондар, -мезондардың және тағы басқа да көптеген бөлшектердің спиндері 1/2. Ал -мезонның, К-мезонның спиндері 0-ге тең. Әдетте спиндік кванттық санды S әріпімен белгілейді. Онда олар үшін мына теңдік орынды
1 2 s s S
(10.43) Сонымен, орбиталық кванттық сан l тек бүтін, ал спин s бүтін және жартылай бүтін мәндер қабылдайды.
10-ыншы аптадағы лекцияның материалдарын пайдалана отырып, мына сұрақтарға жауап беріңіздер
1. Қозғалыс мөлшері моменті операторының декарттық координат жүйесіндегі өрнегін жазыңыз. 2. Қозғалыс мөлшері моменті операторы құраушыларының арасындағы коммутатор неге тең? 3. Қозғалыс мөлшері моменті операторының сфералық координат жүйесіндегі өрнегін жазыңыз. 4. Қозғалыс мөлшері моменті операторының z осіне проекциясының меншікті функциясы қандай? 5. Қозғалыс мөлшері моменті квадраты операторының меншікті функциясы қандай? 6. Сфералық функцияның Лежандр полиномдары арқылы анықталған өрнегін жазыңыз жүктеу/скачать 430,98 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|