12 апта Тақырыбы: Жұптасқан және өзімен жұптасқан түрлендірулер
жүктеу/скачать 128,34 Kb.
|
12 апта ОТ
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 2.3.
- Теорема 2.4.
| Теорема 2.2. Егер φ - евклид кеңістігінің өзін-өзі байланыстыратын түрлендіруі En болса, онда осы түрлендірудің әртүрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті векторлар ортогональ болады.
Дәлелдеу. – өзімен-өзі жұптасқан φ түрлендірудің жеке сандары, , және – сәйкес жекеменшік векторлары, егер , бұдан Бір теңдіктен екінші теңдікті азайту арқылы, шарт болғандағы аламыз. Бұдан нүктелік өнім анықтамасы бойынша . Теорема 2.3. Егер φ - En евклид кеңістігінің өзін-өзі байланыстыратын түрлендіруі болса, онда En φ түрлендіруінің меншікті векторларының ортонормальды негізін қамтиды. Бұл теорема матрицалық тұжырым жасауға мүмкіндік береді. Теорема 2.4. Егер А симметриялы матрица болса, диагональды матрица болатындай U ортогональды матрица болады. Мұнда U - жеке векторлардың ортонормальды негізіне өту матрицасы. Мысал 3.3. Сызықтық түрлендірудің дәрежесі мен ақауын анықтаңыз, сонымен қатар φ сызықты түрлендіру кезінде кескін мен L3 ядросының негізін табыңыз. Шешімі. L3-те e-нің негізгі мәні таңдалсын содан кейін осы негізде түрлендірудің матрицасы келесі түрде жазылады: Анықтама бойынша y векторы φ сызықты түрлендіру кезінде L3 бейнесіне жатады, ізделінді вектор , табылса, онда болады. Бұл теңдік L3 кескінінің векторлық жүйенің сызықтық аралықпен сәйкес келетіндігін білдіреді, бұдан Демек, оның матрицасының деңгейімен сәйкес келетін φ операторының дәрежесі екіге тең. Негіз ретінде векторларының сызықтық аралықтарының кез-келген негіздерін алуға болады, мысалы - олар сызықтық тәуелсіз. Сол сияқты, x векторы ядрода жатады, егер( болса, немесе координаталық жазбада: Бұл сызықтық теңдеулердің біртекті жүйесі, оның дәрежесі екіге тең, яғни ол келесі жүйеге тең: мысалы, бар деп санай отырып, біз шетін аламыз, яғни ядроның негізі бір вектордан тұрады. Бұл жағдайда теорема бойынша ядро өлшемі: Мысал 3.4. негізінде φ сызықтық түрлендіру матрицасын табыңыз, егер ол негізінде берілген болса. Шешімі. е негізінен f негізіне өткенде, анықтамаға сәйкес сызықтық түрлендіру матрицасы формаға ие болады , теңдігінің T теңдігінен болатын ауысу матрицасы. Мұнда . Алдымен матрицаның анықтауышын табамыз: . (бірінші бағанның сәйкес элементтерін екінші және үшінші баған элементтеріне қосып, бірінші қатардағы анықтауышты кеңейту формуласын жазды). Т матрицасы элементтеріне және кері матрицаға төмендегі формула бойынша алгебралық толықтыруларды табайық Осылайша, кері матрица болады осыдан сәйкесінше, жүктеу/скачать 128,34 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|