2-дәріс Матрица және оларға қолданылатын амалдар. Кері матрица ұғымы. Матрицаларға жасалатын элементар түрлендірулер. Матрица рангісі. Анықтамалар

1.

түріндегі тіктөртбұрышты кесте өлшемді матрица немесе - матрицасы деп, ал - матрицаның элементтері деп аталады.

2. Екі - матрицалары тең деп аталады, егер олардың сәйкес элементтері тең болса.

3. Егер , онда матрицасы -ші ретті квадрат матрица деп аталады.

4. квадрат матрицасының детерминанты немесе анықтауышы деп санын айтамыз.

5.

түріндегі матрица бірлік матрица деп аталады.

1. өлшемді и матрицаларының қосындысы деп

2. өлшемді матрицасының санына көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы

3. өлшемді матрицасы мен өлшемді матрицаларының көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы , , .

Е с к е р т у.

1. Матрицаларды көбейте аламыз тек сол жағдайда ғана, егер бірінші көбейгіш матрица бағанының саны екінші көбейткіш матрицаның жолының санына тең болса.

1. 
   Егер және көбейтінділері табылса, онда жалпы жағдайда .
   

Бұдан, екенін көруге болады. (Бұл жағдайда матрицалардың көбейтіндісі орын ауыстырымдылық қасиетке бағынбайтындығына көз жеткіземіз).

Мысал 5. және тап, егер

.

және есептей келе, көреміз.
Кері матрица

Анықтама 6. текше матрицасы қайтымды емес немесе ерекше матрица деп аталады, егер , кері жағдайда қайтымды немесе ерекше емес матрица деп аталады.

Теорема 1. Егер - қайтымды матрица болса, онда матрицасы табылады және ол тек біреу ғана болып, төмендегі теңдік орындалады:

, мұндағы – бірлік матрица.

матрицасы кері матрица деп аталады және төмендегі формула бойынша есептелінеді

мұндағы , - матрицасынының элементтерінің алгебралық толықтауышы.

Бұдан

Анықтама 7. матрицасының -ші ретті миноры деп матрицасының кез келген таңдап алынған баған мен жолдың элементтерінен құралған анықтауышты айтамыз.

Оның 2-ші ретті минорлары

3-ші ретті минорлары

Теорема 2. Егер -шы ретті минорлардың барлығы нөлге тең болса, онда -дан жоғарғы ретті барлық минорлар нөлге тең болады.

Анықтама 8. Матрицаның рангі деп нөлге тең емес минордың ең жоғарғы ретін айтамыз, ал кез келген -ші ретті нөлге тең емес минор базистік минор деп аталады.

Мысал 9. Матрицаларды көмкеру әдісі.

матрицасында -ші ретті миноры табылды делік. Осы минорын көмкеретін -ші ретті минорларды қарастырамыз. Егер ол минорлардың барлығы нөлге тең болса, онда . Егер минорын көмкеретін -ші ретті минорлардың ішінде тым болмағанда біреуі нөлге тең болмаса, онда осы нөлге тең емес минорды көмкеретін -ші ретті минорларды қарастырамыз, т.с.с.

.

2-ші ретті нөлге тең емес минор

белгілейік. Ендеше, . Енді -ні көмкеретін нөлге тең емес 3-ші ретті минорды іздейміз. Бұл минор

Бұдан, екендігі шығады.