3-Билет Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функцияларымен мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері
жүктеу/скачать 142,13 Kb.
|
квант 3-4 билет
| 2. Гелий атомы. Алмасулық энергия.
Элементтердің периодтық жүйесінде сутегі атомынан кейін орналасқан гелий атомы . Гелий атомы көпэлектронды атомдардың ішіндегі ең қарапайымы, бұл атомда ядро айналасында екі электрон қозғалады. Екіэлектронды атомға, гелий тәрізді атомдар жатады: - бірдүркін иондалған литий атомы, - екідүркін иондалған берилий атомы және т.б. Кезінде гелий атомындағы екі электронның қозғалысын Бордың ескі кванттық теориясының көмегімен қарастырған, бірақ ол ешқандай нәтиже бермеді. Не себепті дұрыс нәтиже алынбады деген заңды сұрақ туады. Біріншіден, Бордың кванттық теориясында алмасулық күштері есепке алынбады. Екіншіден, электрондардың спиндік қасиеттері есепке алынбады. Өзімізге белгілі Бор теориясы бойынша екі электронның қозғалысын жеке-жеке басынан аяғына дейін қадағалауға болады. Кванттық теория бойынша, екі электрон бір-бірінен үлкен ара қашықтықта орналасса ғана, оларды нөмірлеп, бір-бірінен ажыратып қарастыруға болады. Бірақ, оларды өте жақын орналастырса кеңістіктің қай нүктесінде нөмірленген электрондардың қайсысы орналасқанын ажырата алмаймыз. Бұл жағдайда, бөлшектердің теңбе-теңдік принципі орындалады. Бөлшектерді ажыратылмаушылықтың нәтижесінде, бұл бөлшектер күйлермен алмасады. Бөлшектер арасында, классикалық баламасы жоқ, алмасулық күштер пайда болады. Бор бойынша сутегі тәрізді атомдар теориясында электрон спині есепке алынбайды, бірінші жуықтауда ол түзетулерді елемеуге болады. Ал гелий атомында спиндік құбылысты елемеуге болмайды. Біз гелий атомының жуық теориясын қарастырамыз, себебі, бұл мәселе - үш дене мәселесі болып саналады (үш дене мәселесінің дәл шешімі болмайды). Гелий атомының сұлбасын берейік (14-сурет). 14 – сурет 1-ші электронның орны - радиус - вектормен, 2-ші электронның орны -радиус-вектормен, екі электронның өзара қашықтығы - радиус-вектормен берілген. Координаталар басы қозғалмайтын ядромен дәл келеді. Электрондар күйі және кванттық сандар жинағымен беріледі ((32.2) өрнекке назар аударыңыз). Екі электроннан тұратын жүйенің гамильтонианы мына түрде болады: . (33.1) Мұндағы үшінші және төртінші мүшелер электрондардың ядро өрісіндегі потенциалдық энергиясы, бесінші мүше электрондардың өзара әрекет кулондық энергиясы, соңғы мүше электрондардың спиндеріне, орналасқан орындарына және жылдамдықтарына тәуелді спин – орбиталық өзара әрекет операторы. Көп жағдайда операторын есепке алмауға болады, себебі ол – болмашы түзету. Сонымен, (33.1) гамильтонианының көмегімен Шредингер теңдеуін жазамыз . (33.2) Бұл теңдеудің гамильтонианында спиндік операторлар жоқ, сондықтан (33.2) теңдеудің шешімін координаталық және спиндік функциялардың көбейтіндісі түрінде іздестіреміз . (33.3) Біз әзірше спиндік өзара әрекеттікті ескермейміз, сондықтан (33.2) теңдеуді спиндік функцияға қысқартамыз. Сонда Шредингер теңдеуі мына түрге келеді: , (33.4) мұндағы (33.5) , , , , . Мұндағы - ядро өрісіндегі екі электронның толық энергиясының операторы, операторын ауытқу операторы деп қарастыруға болады. Жоғарыда айтылғандай (33.4) теңдеудің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан алдымен нөлдік жуықтамадағы шешімді қарастырайық ( - операторды елемейміз). Сонда , (33.6) мұндағы - нөлдік жуықтамадағы толқындық функция. (33.5) өрнегінде гамильтониан бір айнымалыға тәуелді екі гамильтонианның қосындысынан тұрады, сондықтан толқындық функцияны екі функцияның көбейтіндісі түрінде жазуға болады . (33.7) (33.7) функцияны (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық . Осыдан нөлдік жуықтамадағы энергияны табамыз , (33.8) мұндағы - бірінші электронның, - екінші электронның энергиясы. (33.8) теңдікті былай түсінуге болады: өзара әрекет есепке алынбағанда екі электронның толық энергиясы және энергияларының қосындысына тең. Екінші жағынан, есептеулер мына жағдайды көрсетеді: (33.8) энергияға басқа күй де сәйкес келеді, бірінші электрон , ал екінші электрон күйлерде орналасады. Сонда . (33.9) (33.9) өрнек екі электронның орын алмастыруын көрсетеді, оны тағы да (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық (33.10) Сонымен, энергияның бір деңгейіне және функциялармен сипатталатын екі күй сәйкес келеді. Бұл жағдайды мына түрде түсіндіруге болады: жүйенің күйі электрондарды ажыраталмаушылыққа байланысты қосымша тоғысуға ие болады, ол алмасулық тоғысу деп аталынады. Егер болса, онда . Тоғысу бұл жағдайда болмайды (33.11) Егер , онда нөлдік жуықтамадағы функция және функциялардың суперпозициясы пайда болады , (33.12) мұндағы коэффициенттер (33.13) нормалау шартын қанағаттандырады. 3. E=30 эВ энергиясы бар электрон өз жолында шексіз ұзын тікбұрышты потенциалды шекті =31 эВ биіктікке сәйкес келеді. Электронның 2-аймақта болу ықтималдығының салыстырмалы тығыздығын облыстардың шекарасынан x=100 PM қашықтықта анықтаңыз (яғни, х=100 PM нүктесінде электронның болу ықтималдығы тығыздығының х=0 кезінде облыстардың шекарасында болу ықтималдығының тығыздығына қатынасы). Берілгені: E=30 эВ, =31 эВ, х=100 пм Табу керек: Шешуі: Мәселенің шартына сәйкес 2-ші аймақта х электрон болу ықтималдылығының салыстырмалы тығыздығы E Осы жағдай үшін Шредингер теңдеуі Осы жердегі Екінші теңдеудің шешімі Ψ(x)=A - B A=0 екенін ескерсек Ψ(x)= B . Осы жердегі орнына жоғарыдағы формуланы қойсақ: Ψ(x)= B . Осы формулаларды қорыта отырып ᶯ Жауабы: ᶯ жүктеу/скачать 142,13 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|