11.Үздіксіз функциялардың қасиеттері. Үздіксіз функциялар туралы негізгі теоремалар Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі функциясы нүктесінде және осы нүктенің қандайда маңайында анықталған. ) функциясы нүктеде үзіліссіз деп аталады, егер осы нүктеде шек бар болса және шек функцияның осы нүктедегі мәніне тең болса, яғни
(2.1)
(2.1) теңдігі 3 шарттың орындалатын көрсетеді:
1) функциясы нүктесінде және осы нүктенің қандайда маңайында анықталған;
2) функциясының болғанда шегі бар болады;
3) функцияның нүктесіндегі шегі функцияның осы нүктедегі мәніне тең, яғни (2.1) теңдігі орындалады. болғандықтан, (2.1) теңдігінен
=f( )=f( )
(2.2)
Бұл үзіліссіз функцияның шегін табу барысында функция таңбасы астындағы шекке өтуге болатындықтан, яғни функцияның арументінің орнына оның шектік мәнін қоюға болатындығын білдіреді.Аргумент пен функция өсімшелері ұғымдарына сүйеніп, функция үзіліссіздігіне тағы бір анықтама беруге болады.
функциясы қандай да интервалында анықталсын. Кез-келген нүктесін алайық. Кез-келген үшін айырмасы нүктесіндегі арументінің өсімшесі деп аталып, («дельта х») арқылы белгіленеді: . Бұдан . Функцияның сәйкес мәндерінің айырмасы функциясының нүктесіндегі айырмасы деп аталып, немесе арқылы белгіленеді. және өсімшелері оң сан, теріс сан да болуы мүмкін. (2.1) теңдігін жаңа белгілеу арқылы жазайық. және шарттары бірдей болғандықтан, (2.1) теңдігі төмендегі түрде жазылады:
(2.3)
немесе
(2.4)
Алынған (2.4) теңдігі функциясының нүктедегі үзіліссіздігінің тағы бір түрі болып табылады. Егер функциясы нүктесінде және оның маңайында анықталып (2.3) теңдігі орындалса, яғни ақырсыз аз аргумент өсімшесіне функцияның ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, функциясы нүктесінде үзіліссіздеп аталады.
