Теорема 2. Егер біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің
негізгі матрицасының рангі r болса, онда шешімдердің фундаментальды жүйесіндегі векторлар саны
s =
n –
r болады.
Билет №10
Матрицаларға қолданылатын операциялар және олардың қасиеттері. Матрицаларды көбейту.
Теорема 1.
F өрісіндегі
m
n-матрицаларына келесі қасиеттер орындалады:
1.
Кез келген A,
B,
C матрицаларына
A + (
B +
C) = (
A +
B) +
C – қосудың ассоциативтігі.
2. Барлық
A матрицаларына
A + =
A және +
A =
A – нөлдік матрицаның қасиеті. 3. Кез келген
A матрицасына
A +
B = және
B +
A = болатындай
B матрицасы
табылады – қарама-қарсы матрицаның табылатындығы.
4. Кез келген
A,
B матрицаларына
A +
B =
B +
A – қосудың коммутативтігі. 5. Кез келген
A матрицасына 1
A =
A.
6. Кез келген
A матрицасына және
, . скалярларына ()
A = (
A).
7. Кез келген
A,
B матрицаларына және кез келген . скалярына (
A +
B) =
A +
B. 8. Кез келген
A матрицасына және кез келген , скалярларына ( + )
A =
A +
A.
Теорема 1.
n-өлшемді квадрат матрицаларды көбейту операциясына келесі қасиеттер орындалады:
1. Кез келген
А,
В,
С матрицаларына (
АВ)
С =
А(
ВС) – көбейтудің ассоциативтігі.
2. Кез келген
А,
В,
С матрицаларына
A(
B +
C) =
AB +
AC, (
B +
C)
A =
BA +
CA – көбейтудің қосуға қатысты дистрибутивтігі.
3.
Кез келген квадрат A матрицасына
A
E =
E
A =
A, мұндағы
E –
n-өлшемді бірлік матрица.
4. Кез келген
A,
B матрицаларына және кез келген
λ скаляры үшін
λ(
AB) = (
λA)
B =
A(
λB)
Теорема 2. Квадрат матрицаны сол жағынан элементар матрицаға көбейту матрицаның жолдарына элементар түрлендіру қолданғанымен пара-пар.
Билет №12
Анықтауыштардың қасиеттері. Минорлар және алгебралық толықтауыштар. Анықтауыштарды есептеу тәсілдері.
Минорлар және алгебралық толықтауыштар
Анықтама. Анықтауыштың
i-жолын және
j-бағанын сызып тастағаннан кейін қалған анықтауыш
ij элементінің миноры деп аталады және
Mij деп белгіленеді.
Анықтама. (–1)
i+jMij скаляры
ij элементінің
алгебралық толықтауышы деп
аталады
және
Aij деп белгіленеді:
Aij = (–1)
i+jMij. Мысалы,
A32 = (–1)
3+2M32 = –
M32.
Теорема 1. n-ретті анықтауыш бір жолдың элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең,
n 2, яғни
= |
A | =
k1Ak1 +…+
knAkn.
Осы формула анықтауышты
k-жолы бойынша
жіктеу формуласы деп аталады.
Теорема 2. Анықтауыштың бір жолындағы элементтердің басқа жолдағы сәйкес элементтердің алгебралық толықтауыштарына көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.
Теорема (Лаплас).
n-ретті
анықтауыштың k жолы белгіленсін, 1
k <
n. Онда белгіленген жолдардағы барлық
k-ретті минорлардың алгебралық толықтауыштарына көбейтінділердің қосындысы анықтауышқа тең.
Анықтауыштарды есептеу тәсілдері.
А. Анықтауыштың ретін төмендету.
Берілген n-ретті анықтауыш кейбір жол немесе баған бойынша жіктеледі:
= |
A | =
k1Ak1 +…+
knAkn. (1)
Сондықтан берілген анықтауышты есептеу үшін бірнеше (
n–1)-ретті анықтауыштарды есептеу керек. Ал (
n–1)-ретті анықтауышты есептеу үшін осы тәсілмен (
n–2)-ретті анықтауыштарды есептеу керек және тағы осылай ретті төмендету процесін 2-ретті анықтауыштарды есептеуге келтіруге болады. Осындай тәсіл өнімсіз деуге болады. Егер жіктеуге алған
i-жолда нөлдер көбірек болса, онда есептеулер саны кемиді.
Ә. Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіру.
Б. Сызықтық көбейткіштерді анықтауыштың сыртына шығару. Анықтауыш бір немесе бірнеше айнымалдың көпмүшесі ретінде қаралады. Анықтауыштың кейбір
элементтерін салыстырғанда, ол
x –
xi екімүшелеріне бөлінетіні табылады. Осы екімүшелер өзара жай болғандықтан, анықтауыш осындай көпмүшелердің көбейтіндісіне бөлінетіні табылады. Осыны пайдаланып, анықтауыштың мәні табылады.
В. Анықтауышты басқа анықтауыштардың қосындысы түрінде келтіру. Кейбір жағдайларда анықтауышты бір жолға (немесе бір бағанға) қатысты екі анықтауыштың қосындысы түрде келтірсе,
анықтауыш жеңіл есептеледі
