8 сынып i-тур a+b=1a+1b=6 қатынасын қанағаттандыратын
жүктеу/скачать 107,5 Kb.
|
Олимпиада есептери жауаптарымен (2)
| Жауабы: соңында қалған сан 100 саны
Шешуі: а∘b=а+b+а∙b деген жаңа амал енгіземіз. Сонда тікелей тексерудің арқасында (а∘b)∘с=a∘(b∘c) және а∘b=b ∘а екеніне көз жеткіземіз. Бұл деген сөз санды қалай таңдадыңыз, қай жерде және қашан таңдадыңыз, нәтиже оған байланысты емес екен. Сондықтан біз амалды басынан бастап жүргіземіз. 1+ 12 + 12=2, 2+ 13 + 23=3,…, 99+ 1100 + 99100=100 Сонда ең соңғы шыққан сан 100 болды. Жауабы: соңында қалған сан 100 саны 11 сынып І-тур Аралда 7 көк , 9 жасыл және 11 қызыл құбылғылар тұрады. Әртүрлі түстегі екі құбылғы кездескенде екеуі де үшінші түске өзгереді. Қандайда бір уақыттан кейін барлық құбылғылар бір түске боялуы мүмкін бе? Шешуі: 8.І.3 қараңыз. 2. Келесі шартты қанағаттандыратын натурал сандардың барлық (m,n) жұбын табу керек: алғашқы m тақ натурал сандардың қосындысы алғашқы n жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп. Шешуі:10.І.2 қараңыз. 3. [u]– u санының бүтін бөлігі, яғни u-дан аспайтын ең үлкен бүтін сан. Нақты сандар жиынында келесі теңдеуді шешіңіздер: [x+16]+[x+36]+[x+56]=[x]+[x+26]+[x+46] Шешуі: x=[x]+{x} болсын, мұндағы {x}- x санының бөлшек бөлігі. 0≤{x}<16 болса, онда 3[x]=3[x], яғни теңдік кез-келген x үшін орындалады. 16≤{x}<26 болса, онда 3[x]+1=3[x] болады. Мұндай х-тер табылмайды. 26≤{x}<36 болса, онда 3[x]+1=3[x]+1 , яғни теңдеу кез-келген х үшін орындалады. 36≤{x}<46 болса, онда 3[x]+2=3[x]+1. Мұндай х-тер табылмайды. 46≤{x}<56 болса, онда 3[x]+2=3[x]+2 болады, мұнда ∀ x үшін теңдеу орындалады. 56≤x<1 болса, онда 3[x]+3=3[x]+2 мұндай х-тер табылмайды. Жауабы: {x}∈[0,16)∪[26,36)∪[46,56) болғанда теңдеудің шексіз көп шешімі бар. Ал {x}∈[16,26)∪[36,46)∪[56,1) болғанда теңдеудің шешімі жоқ. 11 сынып ІІ-тур Қос-қостан әртүрлі және (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=0 болатын нақты сандар бар ма? Шешуі:
(a-b)5+(b-c)5+(c-a)5= =(a-b+b-c)((a-b)4-(a-b)3(b-c)+(a-b)2(b-c)2-(a-b)(b-c)3+(b-c)4)+ +(c-a)5=(c-a)((c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3- -(a-b)2(b-c)2) a, b, c нақты сандары қос-қостан тең емес болғандықтан с-a≠0 Сонда (c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=0 (c-a)4=((c-b)+(b-a))4=((c-b)2+(b-a)2+2(c-b)(b-a))2= = (c-b)4+(b-a)4+4(c-b)2(b-a)2+2(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+ +4(b-a)3(c-b). Сонда (c-b)4+(b-a)4+6(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+4(b-a)3(c-b)-(a-b)4- -(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=5(a-b)(b-c)3+ +(b-c)(a-b)3+(b-c)2(b-a)2= =5(a-b)(b-c)((b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c))=0 a-b≠0, b-c≠0, болғандықтан (b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c)=0 b2+c2-2bc+a2+b2-2ab+ab-b2-ac+bc= =a2+b2+c2-bc-ab-ac=12((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)=0 (a-b)2>0, (b-c)2>0, (c-a)2>0 болғандықтан (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0 Демек (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5≠0. Жауабы: a, b, c нақты сандары табылмайды. 2. АВС теңқабырғалы үшбұрыштың АС және АВ қабырғаларынан MCMA=NANB=2 болатындай, сәйкесінше M және N нүктелері берілген. P нүктесі ВM жәнеСN кесінділерінің қиылысы болсын. Сонда ∠ APC = 90 ̊екенін дәлелдеңіз. Шешуі: 10.ІІ.2 қараңыз 3. Тақтада 1;12 ;13 ;…;1100 жүз сандары жазылған. Әрбір минутта келесі амал орындалады: қандай да бір а,b сандары өшіріліп, олардың орнына а+в+а∙b саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада тек қана бір сан қалады. Бұл сан қандай сан? Шешуі: 10.ІІ.3 қараңыз жүктеу/скачать 107,5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|