А., Абуова Ф. У. Конденсирленген күй физикасы астана 2011
жүктеу/скачать 17 Mb.
|
Пособие по ФКС каз.окон
- Бұл бет үшін навигация:
- 10.2. Гук заңы. Серпімді модульдердің тензоры
| 10.1. Физикалық тензорлар
Физикалық шамаларды суреттеу үшін көп жағдайда екінші немесе жоғары рангті тензорларды қолдану ыңғайлы. n-ші ретті тензор деп (α1,α2,...,αn индекстері x,y,z мәнін қабылдайды) элементімен сипатталатын және координаталар түрленген кезде төменгі заңдылық бойынша түрленетін физикалық шаманы айтамыз: (10.1) яғни тензор компоненттері индекстердің туындысына түрленеді. 10.2. Гук заңы. Серпімді модульдердің тензорыКристалдардың деформациясы кезінде оның әрбір нүктесі векторына қарай ығысады. Деформация ығысу шамасымен емес көрші нүктелердің ығысуы арасындағы айырмашылықпен, яғни координата бойынша компонентінің туындысымен сипатталады. Деформацияны төмендегі теңдеумен анықталатын, εαβ деформация тензорымен белгілеу ыңғайлы: (10.2) Теңдеудің бірінші мүшесі x өсі бойындағы деформация, екінші мүшесі жылжымалы деформацияны көрсетеді. Бұл тензор анықтама бойынша симметриялы εαβ = εβα. болып келеді. Диагональді емес компоненттерді осылай анықтау барысында, деформация тензорына кристалдың ығысу нүктелері кірмейді, ондағы және с.с., мұндай ығысулар деформацияға емес кристалдың бүтіндей айналуына сәйкес келеді. Жалпы жағдайда, деформацияның екі түрі болғанда (10.2)-ші теңдеуді мына түрде көрсетуге болады: (10.3) мұнда I, j 1 ден 3-ке дейінгі мәндерді қамтиды, . (10.3) теңдеу алты тәуелсіз компоненттері шексіз аз деформацияның симметриялы тензоры болып келеді. Қатты дененің деформациясы Гук заңының орындалу шегінде қарастырылсын делік: серпімді қатты денеде деформация кернеуге тура пропорционал. Кристалдың деформациясы кезінде онда кернеу пайда болады. Аталған кернеу σαβ кернеу тензорымен белгіленеді және ол келесі жолмен анықталады. Кристалдың әрбір кез келген нүктесі арқылы жазықтық жүргізуге болады, оның сыртқы нормалі β, β = (x,y,z) өсіне бағытталған. Деформацияланған (кернеулі) кристалдағы жазықтықтың әрбір нүктесіне бағыты нормаль бағытына (β өсі) сәйкес келмейтін күш түсіреміз. Кернеудің тензор компоненті σαβ осы күштің α өсінде бірлік ауданындағы проекциясына тең. Мысалы, x өсіне перпендикуляр жазықтықтың бірлік элементіне жалпы жағдайда қалыпты күш σxx әсер етеді (қысылуы немесе созылуы) және сәйкесінше жылжымалы (тангенциалды) күштері σyx және σzx, y және z өсі бойына бағытталады (10.1-сурет). 10.1-сурет. Қатты денелердегі кернеу компоненттері Кернеулік тензоры симметриялы болатындығын көрсетуге болады. Кристалдың деформациясы кезінде онда кернеулік пайда болады және керісінше кернеулік пайда болғанда кристалл деформацияланады. Кернеулік пен деформация арасындағы байланыс төртінші рангті тензормен Cαβγδ — кристалдың серпімді модуль тензорымен белгіленеді: (10.4) Кернеулік пен деформация тензорлары симметриялы болғандықтан, серпімді модульдердің тензоры екі бірінші және екі соңғы индекстер бойынша симметриялы: Cαβγδ= Cαβδγ; Cαβγδ = Cβαγδ. Мұнда [C] = [Н/м2]=[Па]. (10.4) теңдеудің маңызды салдары болып келесі табылады: кернеулік пен деформацияның бағыттары сәйкес бола бермейді, өйткені қалыпты деформациялар жылжымалы кернеулікті тудырады және керісінше. Кернеулік пен деформация тензорлары симметриялы болғандықтан, егер жұпты индекстерді матрицалық формада жазуға болады дегенімен келіссек, жазылудың тиімді формасын қолдануға болады (Фохта белгіленуімен): 11-1; 22-2; 33-3; 23,32 – 4; 13,31 – 5; 12,21 – 6, сонда (10.4) белгіленуін мына түрде жазуға болады: (10.5) Гук заңы басқа түрде көрсетілуі мүмкін: (10.6) коэффициенттері серпімді икемділігі деп аталады. Қатты дененің механикалық кернеулікке ұшыраған серпімді энергиясының тығыздығын табамыз. Қатаңдығы к болатын изотропты серпімді дене F күші әсерінен шамаға деформацияланады, сонда осындай деформацияға жұмсалатын жұмысты төмендегі белгілі қатынас арқылы есептеуге болады: (10.7) Сәйкесінше, анизотропты қатты дене үшін, материалдың қандай да бір бірлік көлемдегі ішкі кернеулік есебінен болатын серпімді потенциалды энергиясының тығыздығын мына түрде көрсетуге болады: (10.8) (10.8) теңдеуін деформация бойынша дифференциалдап, кернеулік тензоры үшін мына теңдеуді алуға болады: (10.9) мұнда —Кронекер символы. Деформация бойынша (10.8) теңдеуін екі рет дифференциалдап немесе (10.9) теңдеуін бір рет дифференциалдап, серпімді тұрақты тензорлардың анықтамасын аламыз: (10.10) (10.10) теңдеуден дифференциалдау реті маңызды болмайтындығын, оның арқасында ij және kl индекс жұптары Cijki- тензоры өзгермейтіндей етіп қайта орналаса алатындығын көруге болады. Берілген жағдай тәуелсіз компоненттер санын кемітеді, мысалы, C1233 = C3312 және т.с.с. Тригональді симметрияның төменгі симметриялы кристаллдарының жалпы жағдайы нәтижесінде серпімділік тензордың 36 орнына 21 тәуелсіз компоненттері қалады. Тәуелсіз серпімді тұрақтылардың саны нүктелік симметрияға байланысты, және жоғары симметриялы кристалдар— кубты — үшін минимальді және үш мәнге С11, С12, С44 тең. жүктеу/скачать 17 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|