А. С. Попова Кафедра информационных технологий Основные принципы работы в системе Matlab Методические указания
жүктеу/скачать 3,15 Mb.
|
матлаб
- Бұл бет үшін навигация:
- Выходные параметры: t - текущее время; X - двумерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной. Примеры
| Входные параметры:
‘<имя функции>‘ − строковая переменная, являющаяся именем М-файла, в котором вычисляются правые части системы ОДУ; t0 − начальное значение времени; tfinal - конечное значение времени; x0 − вектор начальных условий; tol − задаваемая точность; по умолчанию для ode23 tol = 1.e-3, для ode45 tol = 1.e-6); trace − флаг, регулирующий вывод промежуточных результатов; по умолчанию равен нулю, что подавляет вывод промежуточных результатов; Выходные параметры: t - текущее время; X - двумерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной. Примеры: Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-го порядка, известное как уравнение Ван дер Поля, . Это уравнение может быть представлено в виде системы ОДУ в явной форме Коши: Первый шаг процедуры интегрирования - это создание М-файла для вычисления правых частей ОДУ; присвоим этому файлу имя vdpol. function xdot = vdpol(t, x) xdot = [x(2); x(2) .* (1 - x(1).^2) - x(1)]; Чтобы проинтегрировать систему ОДУ, определяемых функцией vdpol в интервале времени 0 <= t <= 20, вызовем функцию ode23: t0 = 0; tf = 20; x0 = [0 0.25]'; %Начальные условия [t, X] = ode23('vdpol', t0, tf, x0); plot(t, X), grid, hold on gtext('x1'), gtext('x2') Рассмотрим простейший из известных примеров странного аттрактора - аттрактор Ресслера [7]: где параметры {a, b, c} имеют значения {0.2 0.2 5.7}, а начальное условие задается следующим образом: x0 = [-0.7 -0.7 1]. Для того чтобы проинтегрировать эту систему в интервале времени 0<= t<= 20, вызовем функцию ode45: t0 = 0; tf = 20; x0 = [-0.7 -0.7 1]’.%Начальные условия [t, X] = ode45('ressler', t0, tf, x0); comet3(X(:, 1), X(:, 2), X(:, 3)). В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила: – options — аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию); – tspan — вектор, определяющий интервал интегрирования [t0 tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, tl,..., tfinal (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 tl ... tfinal]; – у0— вектор начальных условий; – pi, р2,.. — произвольные параметры, передаваемые в функцию F; – Т, Y — матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце Т. Описание функций для решения систем дифференциальных уравнений: – [T, Y] = solver(@F,tspan,у0) — где вместо solver подставляем имя конкретного решателя — интегрирует систему дифференциальных уравнений вида у'=F(t,y) на интервале tspan с начальными условиями у0, @F — дескриптор ODE-функции. Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце Т; – [T, Y] = solver(@F, tspan, y0, options) — дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Технология решения дифференциальных уравнений в системе MatLab такова: 1) Создание m–файла. Независимо от вида системы он имеет вид: function dy = solverDE(t, y) dy = zeros(n, 1); dy(1) = f1 (t, y(1), y(2), …, y(n)); dy(2) = f2 (t, y(1), y(2), …, y(n)); …………………………… dy(n) = fn (t, y(1), y(2), …, y(n)); 2) Получение решения и сопровождающий его график: >> [T, Y] = solver(‘solverDE’, [t0 tfinal], [y10 y20 … yn0]); >> plot(T, Y) Пусть, к примеру, требуется решить дифференциальное уравнение: (2) с единичными начальными условиями. Данное дифференциальное уравнение второго порядка приведем к системе дифференциальных уравнений первого порядка: (3) с начальными условиями у1(0) = 1, у2(0) = 1, у3(0) = 1. Вектор правых частей системы уравнений вычисляем с помощью собственной функции ex21 (рис. 6.6): Рисунок 6.6 – Пример создания функции для решения системы ОДУ Теперь можно вызывать функцию ode45, находящую решение нашей системы дифференциальных уравнений с начальными условиями [1,1,1] на отрезке [0,20] (рис. 6.7) >> y0=[1 1 1 ]; >> tspan=[0 20]; >> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0); >> plot(T,Y) Рисунок 6.7 – Результат работы программы Для решения дифференциальных уравнений в MatLab зарезервирована функция dsolve, которая имеет следующие форматы обращения и возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями: –y=dsolve( 'Dy(x)' ), где Dу(х) – уравнение; у – возвращаемые функцией dsolve решения; –y=dsolve ('Dy(x)', 'НУ'), где Dу(х) – уравнение; НУ – начальные условия. Первая производная функции обозначается Dу, вторая производная – D2у и так далее. Функция dsolve предназначена также для решения системы дифференциальных уравнений. В этом случае она имеет следующий формат обращения: – [f,g] =dsolve('Df(x),Dg(x)', 'НУ'), где Df(x) ,Dg(x) – система уравнений, НУ – начальные условия. Решить дифференциальное уравнение (2) с использованием функции dsolve (рис. 6.8). Рисунок 6.8 – Пример использования команды dsolve жүктеу/скачать 3,15 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|