Табличная функция для интерполяции и аппроксимации

3. На отрезке [a, b] найти решение дифференциального уравнения в виде с начальными условиями , . Варианты заданий представлены в табл. 6.2. Построить график функции.

Таблица 6.2 – Варианты заданий

№ варианта		Начальные условия
		a	b
1	2	3	4	5	6
1		1	5	0	0
2		2	3	1	0
3		0	1	0	0
4		0	1	0	1
5		2	4	0	0
6		1	3	0	0
7		1	2	0	0
8		0	3	0	1
9		2	4	0	1
10		0	1.5	1	0
11		-3	-2	1	1
12		2	4	0	0
13		1	5	1	1
14		0	1	0	1
15		0	1	0	0

4. 
   Решить систему ОДУ, представленную в табл. 6.3, при заданных начальных условиях с помощью функции dsolve.
   

№ варианта	Система ОДУ	Начальные условия
1		1.5	1.5	1	1
2		-1	1	-1.5	3
3		1.5	1.5	1	1
4		1	1.5	0	2
5		0.5	1.5	-1	2
6		0.5	2	1	2
7		5	5	-1	1
8		1.5	1	3	1
9		2	0	-1	1
10		-1	2	-1.5	0
11		1.5	1.5	-1	-1
12		-1	1.5	0	2
13		0.5	1	-1	2
14		0	-2	0	2
15		3	3	-1	1

7. Основные возможности пакета математического моделирования Simulink

Программа Simulink является приложением к пакету MatLab. При моделировании с использованием Simulink реализуется принцип визуального программирования, в соответствии с которым пользователь на экране из библиотеки стандартных блоков создает модель устройства и осуществляет расчеты. При работе с Simulink пользователь имеет возможность модернизировать библиотечные блоки, создавать свои собственные, а также составлять новые библиотеки блоков.

Рисунок 7.1 – Основное окно программы MatLab

После открытия основного окна программы MatLab нужно запустить программу Simulink. Это можно сделать одним из трех способов:

1. 
   Нажать кнопку (Simulink) на панели инструментов командного окна MatLab.
   
2. 
   В командной строке главного окна MatLab напечатать Simulink и нажать клавишу Enter на клавиатуре.
   
3. 
   Выполнить команду Open… в меню File и открыть файл модели (mdl - файл).
   

Окно обозревателя библиотеки блоков содержит следующие элементы:

1. 
   Заголовок, с названием окна – Simulink Library Browser.
   
2. 
   Меню с командами File, Edit, View, Help.
   
3. 
   Панель инструментов с ярлыками наиболее часто используемых команд.
   
4. 
   Окно комментария для вывода поясняющего сообщения о выбранном блоке.
   
5. 
   Список разделов библиотеки, реализованный в виде дерева.
   
6. 
   Окно содержимого раздела библиотеки (список вложенных разделов библиотеки или блоков)
   
7. 
   Строка состояния, содержащая подсказку по выполняемому действию.
   

Библиотека Simulink содержит следующие основные разделы:

1. 
   Continuous – линейные блоки.
   
2. 
   Discrete – дискретные блоки.
   
3. 
   User–Defined Functions – функции и таблицы.
   
4. 
   Math Operations – блоки математических операций.
   
5. 
   Discontinuities – нелинейные блоки.
   
6. 
   Signals Attribute, Signals Routing – сигналы и системы.
   
7. 
   Sinks – регистрирующие устройства.
   
8. 
   Sources – источники сигналов и воздействий.
   
9. 
   Ports & Subsystems – порты и блоки подсистем.
   

Список разделов библиотеки Simulink представлен в виде дерева, и правила работы с ним являются общими для списков такого вида:

• 
  пиктограмма свернутого узла дерева содержит символ "+", а пиктограмма развернутого содержит символ "–";
  
• 
  для того чтобы развернуть или свернуть узел дерева, достаточно щелкнуть на его пиктограмме левой клавишей мыши.
  

Рисунок 7.3 – Содержимое раздела Continuous

Для создания модели в среде Simulink необходимо последовательно выполнить ряд действий:

Рисунок 7.4 – Пустое окно модели

2. 
   Расположить блоки в окне модели. Для этого необходимо открыть соответствующий раздел библиотеки (Например, Sources - Источники). Далее, указав курсором на требуемый блок и нажав на левую клавишу “мыши” – “перетащить” блок в созданное окно. Клавишу мыши нужно держать нажатой. На рис. 7.5 показано окно модели, содержащее блоки.
   

Рисунок 7.5 – Окно модели, содержащее блоки

Для измененения параметров блока необходимо дважды щелкнуть левой клавишей “мыши”, указав курсором на изображение блока. Откроется окно редактирования параметров данного блока. При задании численных параметров следует иметь в виду, что в качестве десятичного разделителя должна использоваться точка, а не запятая. После внесения изменений нужно закрыть окно кнопкой OK.

Окно модели содержит следующие элементы (см.рис.7.6):

1. 
   Заголовок, с названием окна. Вновь созданному окну присваивается имя Untitled с соответствующим номером.
   
2. 
   Меню с командами File, Edit, View и т.д.
   
3. 
   Панель инструментов.
   
4. 
   Окно для создания схемы модели.
   
5. 
   Строка состояния, содержащая информацию о текущем состоянии модели.
   

1. 
   File (Файл) – Работа с файлами моделей.
   
2. 
   Edit (Редактирование) – Изменение модели и поиск блоков.
   
3. 
   View (Вид) – Управление показом элементов интерфейса.
   
4. 
   Simulation (Моделирование) – Задание настроек для моделирования и управление процессом расчета.
   
5. 
   Format (Форматирование) – Изменение внешнего вида блоков и модели в целом.
   
6. 
   Tools (Инструментальные средства) – Применение специальных средств для работы с моделью (отладчик, линейный анализ и т.п.).
   
7. 
   Help (Справка) – Вывод окон справочной системы.
   

Рисунке 7.7 – Панель управления

Окно настройки параметров расчета имеет четыре вкладки:

• 
  Solver (Расчет) — Установка параметров расчета модели;
  
• 
  Workspace I/O (Ввод/вывод данных в рабочую область) – Установка параметров обмена данными с рабочей областью MatLab;
  
• 
  Diagnostics (Диагностика) – Выбор параметров диагностического режима;
  
• 
  Advanced (Дополнительно) – Установка дополнительных параметров.
  

Рисунок 7.8 – Содержимое раздела Sinks

Виртуальный осциллограф (Scope), позволяет представить результаты моделирования в виде временных диаграмм тех или иных процессов в форме, которая напоминает выполненные лучами разного цвета осциллограммы современного высокоточного осциллографа с оцифрованной масштабной сеткой.

Рисунок 7.9 – Окно виртуального осциллографа

Рисунок 7.10 – График фигуры Лиссажу

Обратите внимание на то, что в окне настройки блока сложения / вычитания можно установить вид представления блока (круглый или квадратный) и число входов с выполняемыми по ним операциями. Число входов и операции задаются шаблоном List of sign. Например, шаблон |++ означает, что блок имеет два суммирующих входа, а |+–+ — что он имеет три входа, причем средний — вычитающий, а крайние — суммирующие (рис. 7.11).

Рисунок 7.11 – Окно настройки блока сложения / вычитания

Для выполнения арифметических операций используется вкладка Math Operations (рис. 7.12). К числу наиболее простых математических блоков относятся блоки арифметических операций: вычисления абсолютного значения числа Abs, скалярного произведения Dot Product, обычного произведения Product, а также суммы Sum.

Рисунок 7.12 – Содержимое раздела Math Operations

Блок Product (Умножение) предназначен для умножения и деления ряда входных сигналов. При этом операции задаются подобно тому, как это было описано для блока суммирования/вычитания с применением знаков умножения * или деления / в шаблоне.

Рисунок 7.13 – Окно параметров блока Math Function

Разделы и содержание библиотеки SIMULINK

Практически любая модель в SIMULINK не обходится без блоков из трех разделов: Sources, Sinks и Math Operations.

Генерируемые блоками сигналы просматриваются путем двойного нажатия на соответствующем блоке Scope. После окончания просмотра следует сохранить модель под именем.

Практически все блоки, необходимые для создания линейных непрерывных систем, находятся в разделе Continuous библиотеки SIMULINK, исключение составляют блоки Sum, Product, Gain, которые находятся в библиотеке Math Operations. Для исследования их работы создадим блок-схему (рис. 7.16), изменим параметр в блоке Constant с 1 на 3, сохраним полученную модель под именем «pr31» и запустим. Результаты моделирования приведены в правой части рис. 7.16. Видно, что блок Derivative осуществляет операцию вычисления производной входного сигнала (выброс в момент перепада входного сигнала), блок Integrator -– интегрирование входного сигнала (линейно нарастающий сигнал), а блоки Transport Delay и Variable Transport Delay – задержку входного сигнала на постоянную и переменную величину времени.

Рисунок 7.16 – Исследование блоков раздела Continuous

Рассмотрим пример работы автопилота. Система должна поддерживать заданную высоту полета самолета (1000 м) при воздействии факторов, приводящих к случайным колебаниям высоты в пределах 10 м. Для создания блок–схемы перетащим в новое окно редактора блоки Constant, Uniform Random Number, Transfer Fcn, Sum, Scope, Gain, Mux. Список параметров, которые необходимо изменить, приведены в табл. 7.1. Время моделирования установим равным 3600с, сохраним блок–схему под именем «pr32» и запустим на моделирование. Если все сделано правильно, результат будет аналогичным, приведенному на рис. 7.17.

Рисунок 7.17 – Модель простейшей системы автоматического регулирования

Таким образом, из анализа графика можно сделать вывод, что эта система является устойчивой.

Рисунок 7.20 – Моделирование в среде Simulink колебательной системы

Рисунок 7.21 – пример решения системы нелинейных уравнений

Рисунок 7.22 – Метод решения дифференциальных уравнений

Решение уравнения выглядит как показано на рис. 7.23. Результатом будет график x от y:

Рисунок 7.23 – Результат решения дифференциальных уравнений

Рисунок 7.24 – Метод решения дифференциальных уравнений 2-го порядка

В данной системе уравнений линейно изменяется x от 1 до 10. Также необходимо сделать обратную связь между выходными значениями интеграторов и новым значение переменной x. Обязательно надо в интеграторах задать начальные значения y₁(0) = 0.1; y₂(0) = 0.5.

Рисунок 7.25 – Результатом будут два графика

Рассмотрим из каких библиотек взяты использованные блоки.

1. 
   Из каких библиотек состоит пакет Simulink?
   
2. 
   Как собрать модель в пакете Simulink?
   
3. 
   Как изменить параметры моделирования?
   

1.Ознакомиться со структурой иерархической библиотеки Simulink.

1. 
   Гультяев А. П. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учеб. курс/ А. П. Гультяев.– СПб.: Питер, 2000.– 432 с.
   
2. 
   Дьяконов В. П. MATLAB: учеб. курс/ В.П. Дьяконов. – СПб.: Питер, 2001.– 560 с.
   
3. 
   Дьяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник / В.П. Дьяконов.– СПб.: Питер, 2002.– 528 с.
   
4. 
   Кетков Ю.Л. MATLAB 6.x . Программирование численных методов / Ю Л Кетков, А. Ю Кетков, М.М. Шульц.– СПб.: БХВ-Петербург, 2004.–672 с.
   
5. 
   Конев В.Ю. Основные функции пакета MATLAB: учеб.пособие/ В.Ю. Конев, Л.А. Мироновский.– 2-ое издание.– СПб.: ГААПСПб., 1994.–76 с.
   
6. 
   Потемкин В. Г. Система MATLAB: справочное пособие/ В. Г. Потемкин.– М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.– 350 с.
   
7. 
   Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. 423 с.
   
8. 
   Forsythe G. E. Computer Methods for Mathematical Computations./ Forsythe G. E., Malcolm M. A., Moler C. B. – Prentice-Hall, 1977.
   
9. 
   SIMULINK. User’s Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1990
   

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1. 
   Рабочая среда MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
   

2. 
   Работа с графикой средствами MatLab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
   

3. 
   Программирование в среде MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
   

4. 
   Операции с векторами и матрицами в среде MatLab . . . . . . . . . . . .49
   

5. 
   Решение уравнений, систем линейных уравнений, вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
   

6. 
   Аппроксимация и интерполяция данных. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . .68
   

7. 
   Основные возможности пакета математического моделирования Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
   

8. 
   Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101