Р, мл., П. Грейвс-моррис аппроксимации паде основы теории Обобщения и приложения Перевод с английского Е. А. Рахманова и С. П. Суетина под редакцией А. А. Гончара Москва «Мир» 1986 ббк 22. 13 Б 41

5.3. Проблема моментов и ортогональные полиномы 183 слагаемое в C.24) равно <326) при преобразованиях здесь было использовано свойство ортого- ортогональности C.17). Из C.23) получаем яга (w) ^ пт (w) Используя символ О в формальном смысле, из C.20) и C.26) находим Следовательно, в силу C.24) -8OT), C.29) "in \—/ где Щ>т№ _« _ , -,-, . лт(ш) w-mnm(w) (—г)тлт(—\/г) * напомним, что pm(w) и лт (w) — полиномы от w степеней т — 1 и т соответственно. Следуя C.20), положим г)т Рт(—гХ)> C.30) V \е) = \—г) лт(—Z 1), где пт находится по формуле C.19), а рт — по формуле C.25). Из C.29) вытекает plm-1/m] (г) -№-.WM- C-31)
184 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Попа ТаКИМ ОбраЗОМ, С ТОЧНОСТЬЮ ДО НОрМИрОВКИ ПОЛИНОМЫ p[m-Um] (г) и Q[m-'/m](z) являются числителем и знаменателем аппроксимации Паде. Кроме того, из C.24), C.26) и C.31) вытекает явная фор- формула для остатка L J яя(—г-1) J 1+ о 1+ги Другие формулы такого рода приведены в ч. 2, § 3.1. Соотношения C.14) — C.31) указывают другой подход к пост- построению аппроксимаций Паде. При таком подходе непосредственно из C.25) и условия ортогональности C.17) вытекает, что поли- полиномы рт (w) удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и лт (w). Для более подробного знакомства с темой настоящего пара- параграфа мы отсылаем читателя к работам [Allen et al., 1975] и [Karlsson and von Sydow, 1976|, в которых показано, что многие результаты из § 5.1—5.5 могут быть получены с помощью свойств, вытекающих из ортогональности. Упражнение 1. Полиномы Лагерра Ln(u) удовлетворяют усло- условиям ортогональности типа C.18). Доказать, что для соответ ствующей функции Стильтьеса справедливо равенство где Е1(г) определяется по формуле D.6.8) при |argz| /i> •••> !гм Для плотности Стильтьеса (см. A-2)). Используя формальные разложения / (г) = 2 fj (- г)' и [М/М], = 2 /Г1Щ (- г)>, / = о / = о доказать, что для остальных моментов справедлива оценка fj>f)MIM\ i>2M + \. Какую оценку лучше использовать, если заданы первые 2М-\ 2 моментов? Упражнение 3. Доказать свойство ортогональности C.17), используя метод упражнения 3 из § 5.1.
5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге |г|< R 185 § 5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге |z| /W, каждая аппроксимация Паде [М + JJM] имеет полюс на интервале (г0, 0). Пусть г — г1—предел полюсов г[М), ближайших к точке г = 0. Тогда |zj|<|zo| и из теоремы 5.2.7 вытекает, что для всех М > М, R'1 = lim sup fUm > Hm sup (/l?1 + -/«/*lI/m = | zl,M> I. Следовательно, |го| > \z1\^R, что противоречит нашей гипотезе. Таким образом, полюсы аппроксимаций Паде лежат в открытом интервале (—оо, R). Второй метод. Если f(z) аналитична в круге |г|<#, то ее интегральное представление Стильтьеса не имеет особенностей в этом круге, поэтому "" Пг)= ^- D.1) Можно считать также, что d 0 нулей пт(и) не принадлежат интервалу О < и < R~l; обозначим их через ии и2, ..., umi. Тогда зтя(и)
186 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа представляется в виде т, т Пт(и) = К 11 (U — U{) П (U—Uj), 1=1 l = m, + i где к — нормирующая постоянная. Рассмотрим интеграл /=Yj jj (н_идя {и)и Подынтегральное выражение обращается в нуль в точках мт1+], ..., ит, однако знака не меняет. Следовательно, величина / строго положительна. В то же время по свойству ортогональности / = 0. Полученное противоречие означает, что т, = 0, т. е. все нули лт(и) лежат в интервале @, R'1). Таким образом, все полюсы аппроксимации Паде [M + J/M] лежат на разрезе —оо < R В следующей теореме устанавливается, что при каждом J^z—1 предел fU)(z) последовательности аппроксимаций Паде [М +.///И] ряда Стильтьеса /(г) совпадает с /(г). Вновь приводятся два метода доказательства этого утверждения, основанные соответ- соответственно на интегральном представлении и свойствах ортогональ ных полиномов. Теорема 5.4.2. Пусть fu\z) — предел последовательности аппрок симаций Наде [М -(- J/M\ (J >— 1), аналитических в области S) (Л,. для ряда Стильтьеса f(z). Если f(г) сходится в круге |г|< /?, то /1У)(г) = /'(г) для всех У>—1. Первый метод. В силу предположения теоремы (область аналитичности функции f(z) показана на рис. 1). Из георемы 5.2.6 вытекает, что fU) (г) и /(г) имеют одно и то же разложение в ряд Тейлора. Следовательно, /<У) (г) = / (г) для каждого J ^—1. Второй метод. Воспользуемся явной формулой C.26) для остатка. Рассмотрим сначала случай J = —l. После обычной замены переменных w = — z-\ F{w) = — zf{z) в силу C.26) и C.27) имеем R-1 С ""d J |1-
5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге \г\ < R 187 , lmz -R Рис. 1. Область аналитичности функции /(г). По теореме 5.4.1 нули полинома пт(и), щ, щ, ...,ми, лежат на интервале (О, R'1). Поэтому R-' F(w) риИ <—i— С dlP(") fr *""' яя(ю) *** |Ы?|« J |ю_и|.Ц О 1=1 И— и; О) — Пусть — произвольная постоянная; тогда при \w\> kR~l D.2) Отсюда вытекает сходимость аппроксимаций Паде [т—l/т] при \w\y2R~1 к функции f(z). В случае произвольного ./> — 1 вопрос о сходимости аппроксимаций Паде [M + J/УИ] функции /(г) сводится к сходимости аппроксимаций Паде [М—1/М] функции ,J+l Из второго метода доказательства вытекает, что скорость схо- сходимости геометрическая, как и следовало ожидать из. условий порядка аппроксимации. Более тонкий результат, содержащийся в теореме 5.4.4, получается при помощи леммы Шварца в сочета- сочетании с первым методом. Однако наиболее точный результат (см. стр. 191) устанавливается после усовершенствования второго метода. Теорема 5.4.3 (лемма Шварца). Пусть f(z) аполитична в круге \z\188 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа .Jmz Рис. 2. Область Тогда в+1 при |г|<Я. Доказательство. Применим теорему о максимуме модуля функции ff(z) = z-(»+1V(z), аналитической в круге |г|^/?. Так как |g(z)| ^ R-"~lM при | г I = R, то по этой теореме Следовательно, для п+1 R М для и теорема доказана. На самом деле аппроксимации Паде сходятся к ряду Стильть- Стильтьеса гораздо быстрее, чем можно было предположить, опираясь на формулу D.2). В следующей ниже теореме устанавливается инте- интересный результат о скорости сходимости аппроксимаций Паде, из которого становится ясно, чего можно ожидать от метода Пале в общем случае. В этой теореме впервые в настоящей гларе рассматривается сходимость произвольной последовательное i у
5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге \г\< R 189 вида [Мк-\- JK/MK]. Это стало возможным после того, как уста- установлена сходимость всех пара диагональных последовательностей к общему пределу. Сходимость доказывается в ограниченной области i§>+ (А), которая больше области 3) (А) и изображена па рис. 2. Точнее, @+(А), множество точек круга |г|<./?тах, уда- удаленных от луча —оо < г <—R на расстояние, большее А. Теорема 5.4.4 [Baker, EPA, стр. 220]. Пусть f(z) — pnd Стильтьеса с радиусом сходимости R > 0, {Pk(z)}—произвольная последовательность аппроксимаций Паде вида [Mk -\- Jk/Mk] ряда /(г), Jk^—1. Положим p — R — А > 0. Тогда скорость сходимости последовательности {Pk (г)} в области S>+ (А) задается неравен- неравенством \Pk (г) -f{z) | \Гр+г+\Г Р Следствие 1. Для последовательности [M фиксировано, имеем •const. J/M], где ¦iM • const. D.3) —1 D.4) Следствие 2. Для лучевой последовательности аппроксимаций Паде [L/M], L — kM и Я^1, имеем г р" \Р„ B)-/ (*) К •const. D.5) Доказательство. В силу результатов § 5.2 7 Л1 (=0 ^ const D.6) D.7) для г € ® (А) и всех М, J ^ 0. Легко видеть, что D.7) справед- справедливо и в области S>+ (А). Используя лемму Шварца, получаем -?/,(-*)' i=0 ¦ const для | z | < р и всех М, J^0. Ясно, что последнее неравенство справедливо и для z€®+(A). Далее, для г?й>+(А) г К + 1 , — • const,
190 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа поэтому J/M]-[(Z)\< Рассмотрим отображение Jpw г - A а • const. -Ур vv D.8) D.9) Найдем образ при таком отображении единичного круга в до-пло- до-плоскости: т = ё%, 0<9^2л. Имеем или |/"p+7=(=1. Представим D.8) в виде [M + J/M](z(w))-f(z(w)) <Р -j-i с, где с>0 не зависит от z(w), J и М, а г?й)+(А). При г —>¦ 0 левая часть последнего неравенства стремится к нулю как z2M, а значит, и как w2M. Следовательно, по лемме Шварца \[М + J/M] (г (w)) — f(z (w)) | Отсюда, наконец, получаем для г?® \[M + J/M]-f(z)\< w "с. С. D.10) Случай У = —1 проще общего случая ./^0, так как отпадает необходимость вычитать первые 5.4. Ряды Стилыпьеса, сходящиеся в круге \г\ < R 191 •• 4.0 ** ao ••' г. 1 \ -3,0 -20 / \ ^ • • . -4,0 -5.0 Imz - - - - - ill! 1.0 2,01 3,0 4,0 / » Rez Рис. 3. Сердцевидная кривая — граница области D.11). Точками обозначены нули аппроксимаций Паде [4Л//Л/], Л/ = 1, 2, 3, 4, 5. с расположением их полюсов и нулей. Все полюсы и часть ну- нулей аппроксимаций лежат на разрезе, где, таким образом, обя- обязательно имеет место расходимость. Остальные нули располагаются вдоль границы некоторой области, вне которой расходимоаь аппроксимаций Паде установлена вычислительными методами. Такие нули для аппроксимаций Паде [20/5J, [16/4], [12/3J, [8/2] и [4/1] показаны на рис. 3. Ясно, что теоретическая область сходимости D.11) меньше эмпирической области. Замечательным является то, что обе области имеют сердцевидную границу и сравнимые размеры. На самом деле при каждом h~^\ нули чис- числителей лучевой последовательности аппроксимаций Паде [WW/./W] функции г~ЧпA-; г) намечают контуры области, внутри кото- которой сходится аналогичная последовательность аппроксимаций
192 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа Паде любого ряда Стильтьеса с единичным радиусом сходимости [Graves-Morris, 1981]. Наша следующая теорема—о рядах Стильтьеса с ненулевым радиусом сходимости R; в ней утверждается определенность проблемы моментов. Это означает, что коэффициенты /у имеют единственное представление я-1 /,= $ и/dtp (и). D.12) о Такой результат является следствием следующей простой теоремы. Теорема 5.4.5. Проблема моментов для конечного интервала определена. Доказательство. Предположим, что существуют две различ- различные меры d(f1 (и) и d% (и), для которых ь ь fJ=lu'd
!— Ф2) = О для любого полинома р(и). Из тео- а b ремы Вейерштрасса вытекает, что j i|:(«)d(cpT — ф2) = 0 для любой а непрерывной функции г|)(«). Так как разность ср, (и) — ср2 (и) имеет ограниченную вариацию, то ф, («) — Ф2(и)=соп51 всюду, за воз- возможным исключением общих точек разрыва функций ф! и ф2. Итак, в этом параграфе мы доказали, что если /(г) — сходя- сходящийся ряд Стильтьеса, то парадиагональные последовательности [M + J/M], J ^—1, сходятся к одному и тому же пределу и определяют единственное решение проблемы моментов. § 5.4.1. Хаусдорфова проблема моментов Если ряд Стильтьеса имеет радиус сходимости R = 1, то соот- соответствующая проблема моментов называется хаусдорфовой. В дей- действительности с помощью простой замены переменной г в пред- представлении D.1) можно всегда сделать R равным единице. Поэтому, не теряя общности, будем считать, что функция Стильтьеса имеет вид = ? fji—гУ, D.13а)
5.4. Ряды Стильтьеса, сходящиеся в круге \z\ < R 193 где 1 fj*=]u*dv{u), / = 0,1,2,...; D.13b) о ф(ы)—ограниченная неубывающая функция на 0^м^1. Мо- Моменты D.13) называются хаусдорфовыми, а хаусдорфова проблема моментов состоит в построении функции Ф (и) по данной после- последовательности /0, /j, /2, .... Выше эта задача была решена с помощью аппроксимаций Паде (см. C.12)). Установим связь между хаусдорфовой проблемой моментов и понятием вполне мо- монотонной последовательности. С этой целью определим разност- разностный оператор А по формуле Л// = ^+1—//. / = 0,1,2,...; аналогично определяются разности более высокого порядка (см. § 3.1). Определение. Последовательность {//} называется вполне мо- монотонной, если (—1)*Л*^>0 для всех /, /г>0. D.14) Из определения немедленно вытекает, что вполне монотонная последовательность является положительной и монотонно убы- убывающей. Теорема 5.4.6. Последовательность D.13Ь) вполне монотонна. Доказательство. Из D.13) получаем, что при всех /, 1 (—1)*Д*/У = J (I —и)*и/ dcp (и) о и теорема доказана. Имеет место и обратный результат* если последовательность {/у} вполне монотонна, то справедливо интегральное представле- представление D.13). Лучшее из доказательств этого утверждения не ис- использует аппроксимаций Паде, за доказательствами мы отсылаем читателя к книгам [Wall, 1948, стр. 267] и [Widder, 1972, стр. 109]. Подробнее о хаусдорфовой проблеме моментов см. [Brezinski, 1978а], [Gragg, 1968] и [Wynn, 1966b]. § 5.4.2. Целочисленная проблема моментов Если заданные моменты л ), / = 0,1,2,..., D.15)
194 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Попа являются целыми числами, то задача построения функции Стиль- Стильтьеса носит название целочисленной проблемы моментов [Barnsley et al., 1979]. В качестве примеров рассмотрим простейшие случаи Л = 1 и Л = 2. Пример 1 (Л = 1). Из D.15) вытекает, что в этом случае мо- моменты {fj, 1 = 0, 1, 2, ...} образуют положительную убывающую последовательность. Поэтому //—>/„, где /„—целое число. Сле- Следовательно, найдется номер п, такой, что // = /„ для всех j~^n. Отсюда получаем о значит, dq> (и) =[Лб (и) + Вб («— l)]du и fj = /, для всех / > 1. Таким образом, функция / (г) совпадает со своей аппроксима- аппроксимацией Паде [1/1]: Пример 2 (Л = 2). В этом случае по моментам D.15) по- построим последовательность целых чисел 2 тЛ=$«*B-и)*<*ф(и), ? = 0, 1,2, ... ; о {тк} — положительная убывающая последовательность. Поэтому существует т„, такое, что тк —*¦ тК; тем самым найдется номер п, такой, что т/ = т„ при всех j^n. Отсюда получаем г тп-тп+, = $ и* B-й)* A -и)*dtp (и) =0, о dtp (и) = [Аб (и) + Вб (и — 1) + Сб (и — 2)] du f/ = f1B—2/-l) + ftB^-i — \) для всех />1. Таким образом, как и в предыдущем примере, /(г) совпадает с одной из своих аппроксимаций Паде. Точнее,
5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса 195 Отметим, что в случае целочисленной проблемы моментов выбо- выбором Л = 2 полюсы функций f (г) определяются однозначно. Решение целочисленной проблемы моментов известно для Л ^ ^4. Для каждого Л<4 решение /(г) совпадает со своей ап- аппроксимацией Паде конечного порядка, г. е. является рациональ- рациональной функцией. Для Л = 4 возникает новый тип решения } (г) = т A +4г) ~!/2, т—целое число. Известно также, что проблема моментов D.15) для произволь- произвольного Л сводится к случаю Л^б [Barnsley et al., 1979]. В заключение отметим, что ответ на вопрос из § 5.3 о при- природе заданной последовательности моментов не сводится к вы- выяснению того, являются они моментами Стилыъеса или моментами Гамбургера. Полный ответ включает более точное нахождение носителя меры d 0, то /„ = 0 для всех я>0. § 5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса Начнем с примера функции, имеющей расходящийся ряд Стильтьеса. Пусть при а > 0 03 /(г)=,/0(а, i.-z^^J^da; E.1) /(г)—функция Стильтьеса, представленная в обычной форме: о где и vM=s7M§e-'ta~ld!- E-3) о Имеем 03 / (г) = S f/ (—гO = 1 — аг + а (а + 1) гг + ..., E.4) где \d
196 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Попа Трудность заключается в том, что ряд E.4) расходится для всех 2, за исключением г = 0, так как его общий член не стремится к нулю. Однако, как известно из § 5.3, парадиагональная по- последовательность аппроксимаций Паде [М + ^/М] формального разложения E.4) сходится в ограниченной области Й>(Д), не содержащей начала координат. В этом параграфе будет показано, каким образом аппроксимации Паде используются для восста- восстановления функции по расходящемуся степенному ряду. Мы огра- ограничимся здесь рядами Стильтьеса, для которых можно доказать теоремы о сходимости. Отправной точкой метода аппроксимаций Паде является функ- функция f (г), которая определяется своим рядом Тейлора. Однако, вообще говоря, произвольная функция не определяется своим рядом Тейлора. Проиллюстрируем этот факт следующим при- примером. Пример 1. g(x) — ехр (—1/*), О^лг^оо. Функция g(x) определена вместе со всеми своими (правосторон- (правосторонними) производными для вещественных i^O и di g (x) = 0 при / = 0, 1,2, .... Таким образом, каждая функция / (х) имеет то же самое раз- разложение в ряд Тейлора в точке х — 0, что и функция / (х) -\- g(x). Ясно, что нужно ограничиться рассмотрением таких функций, которые однозначно определяются своим степенным рядом. Если мы предположим, что /(г) аналитична в точке г = 0, то ряд Тейлора для /(г) имеет ненулевой радиус сходимости и одно- однозначно определяет ее аналитическое продолжение в звезду Мит- таг-Леффлера. Аналитичность функции /(г) в точке г = 0 лежала в основе всех результатов § 5.4, однако это ограничительное предположение не соответствует целям настоящего параграфа. Мы подчиним функцию /(г) более слабому условию, благодаря которому f (г) будет определяться своим рядом Тейлора. Вторая трудность, с которой мы сталкиваемся, заключается в том, что в случае расходящегося ряда Стильтьеса представле- представление E.2), вообще говоря, не единственно. В связи с этим и возникает проблема единственности, упомянутая в § 5.3. При- Приведем теперь пример нетривиальных мер d%(u), соответствующих функциям ограниченной вариации фо(«). для которых \икс1ц>0(и)=-0, /г = 0,1,2 о
5.5. Расходящиеся ряды Стилыпьеса 197 Пример 2 (Реннисон). d(Po(") = X Bя+1I б(Г~ 2*"+'>d"- Это распределение соответствует кусочно-непрерывной функции, скачки которой имеют чередующиеся знаки; Ф„ (м)—функция ограниченной вариации, и ик dB(и) = ± ехр [(^J] J e-'fsin2nrf/ = Таким образом, чтобы обеспечить единственность функции I (г) и меры rfcp(M), необходимо наложить некоторые дополни- дополнительные условия на моменты {ff}. Эти условия слабее условия аналитичности f (г) в точке г = 0. Начнем с разложения в ряд 03 СО 2^-2//(—гУ. E.6) ;=о /=о Этот степенной ряд сходится в обычном смысле к функции / (г) в точке г = г0, если Ига 2 с,го = /(г„). E.7) п -* х j = 0 Из существования предела E.7) вытекает сходимость ряда E.6) для всех таких г, что |г|<|г„|, и таким образом возникает круг сходимости. Вместо этого в настоящем параграфе нам по- понадобится асимптотическая сходимость. со Определение. Степенной ряд 2 cjz' асимптотически сходится 1 = 0 к функции / (г), если Г п \ = 0 E.8) Ига г-* с [/(г)-2 L /=°
198 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Попа ЦП I Рис. I. Клиновидная область асимптотической сходимости. п-ри —a5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса 199 няется асимптотические равенство 2 /,(-z)'~Mz). (На самом деле это равенство выполняегся также в любом круге W, изображенном на рис. 2 из § 5.6.) Возвратимся к примеру 4, в котором функция Е (г)—част- (г)—частный случай функции E.4) при а=\. Ряд Эйлера E.9) является рядом Стильтьеса, поэтому он удовлетворяет детерминантным условиям из теоремы 5.1.2. По формуле Стирлинга — /1 ~ ( — J 1/л/ при / —* оо 2/> ~ ( 4- V 2 Bя/)~!/D'' при / —у оо. Так как Bл/)-1/D'> —>¦ 1, то ряд 2 //~|/B/) расходится, и теорема Карлемана утверждает единственность функции Стильтьеса ?Ldu. E.11) определенной при —n— 1 сходятся к функции / (г) в области S) (А). Доказательство. По теореме Карлемана, существует только одна функция Стильтьеса /(г), аналитическая при Re г > 0 и такая, что имеет место асимптотическое равенство /() 2о,() Случай />0 выделением первых J-\-l членов ряда /(г) (так же как в следствии теоремы 5.2.3) сводится к случаю J = —1. По теореме 5.3.1 существует предел /(""(г) последовательности аппроксимаций Паде [М—-1//WJ; функция /1"п(г) апалитична в со ®(Д), и в силу C.3) /(-"B)~ 2 f/i-гУ- Поэтому /'-1' (г) = = /(г) при Нсг>0, а значит, и для всех г из области S> (A).
200 Гл. 5. Ряды Стшьтьеса и ряды Попа Интересно применить разработанную в этом параграфе тех- технику в теории, связанной с формулой Стирлинга. Для этого нам понадобится вторая формула Бине 1пГ(г) = (г—Mlnz —г + ^\п2п +J(z), E.12) где 03 / /*ч_9 rarotg(//g) dt /С 1Qo\ J exp Bл/) — 1 ' n ОС —e );гг7г- E.13b) Доказательство [Ford, 1960, гл. 1; Hardy, 1956, стр. 339]. Положим n " /?(n) = ^ In/ — у Inn— Cln^djc. E.14) /¦= 1 1 Выведем формулу для /? (/г) с помощью контурного интеграла л $ ^-|/^ In z с(г = V In /—2"ln гг. E.15) Контуры С, и С2 изображены на рис. 2, интеграл понимается в смысле главного значения, а формула E.15) получена с по- помощью теоремы о вычетах. Так как In г вещественно-симметрич- вещественно-симметричная функция, то п \\nxdx = -x-\ Inzdz — -н- \ \nzdz. E.16) I 0, с; Подставляя E.15) и E.16) в E.14), находим /? (п) = V \|), In г dz + \ \|J In z dz, 8, i где ctg лг i I т 1 \ ) о/ " i7\ л (-1 - ctgпг | ' - ' lPllZ)~ 2( ^ 2 ~ 1 -ехр ( —2гог)- Устремим теперь К к оо (см. рис. 2), тогда получим arctgWn) ., о Р arctg f ,
5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса 201 *-Rez -У Рис. 2. Контуры Cj и Са в комплексно» плоскости. Вычисляя интеграл в E.14), находим R (п) = In (я!) —i in n— [x In *—*]?. E.18) Из E.17), E.18) и определения E.13) вытекает, что 1пГ(я) = (я —-g")ln« — n + J(n) + C, где С—постоянная, не завиеящая от п. Величина С определя- определяется с помощью формулы Стерлинга (см. [Titchmarsh, 1939, стр. 150J) и равенства J(-\ оо) = 0. Таким образом, формула E.12) установлена для всех положительных целых г = 1,2,3, .... В теореме единственности Карлсона (см. [Titchmarsh, 1939, стр. 186J) утверждается, что если некоторая функция /(г) ана- литична при Rez>0, при Rez > 0 растет не быстрее ехр(&|г|), k < я, и удовлетворяет равенству /"(г) = 0для г = 0, 1, 2, ..., то она обращается в нуль тождественно: /(г) = 0 при Rez>0. Тем самым формула E.12) доказана. Для того чтобы сравнить E.12) с формулой Стирлинга [Titchmarsh, 1939J Г(г) = гге"г/2яг{1+О(г~1)} при | argг[ < зх, |г|—»оо, перепишем E.12) в виде Re г > U.
202 Гл. 5, Ряды Стильтьеса и ряды Пойа Пользуясь определением E.13а) и разложением (—1)" С и2" du "z"^1" J u2 + z2 о находим асимптотическое разложение функции J (г) 21 \\J f 7-B/ + l> /К |Q\ \— / /У ' \ / 1 = 0 где /, = — Г u'i In A — е-2л") d«, / = 0, 1, 2 E.20) о Отметим, что функция J (z) аналитична при Re?>0. Поэтому можно сделать замену переменных в E.13) и E.19). Положим J — z~2 и К [у) = zJ (z). Тогда 1 = 0 <5-21» Из соотношения E.21) вытекает, что К (у) — расходящийся ряд Стильтьеса. Из формулы E.20) получаем / W ? _1_, /=я0.1,2 E.22) Нетрудно доказать, что ряд 2 fj1"'2" расходится и выполняется критерий Карлемана. Следовательно, функция К {у) однозначно определяется последовательностью аппроксимаций Паде [М— \/М] и своим разложением в непрерывную дробь при |argy|0. Используя числа Бернулли, за- запишем асимптотическое разложение функции J (г) в следующем виде (см. [Abramowitz and Stegun, 1964, гл. 23] и [Wall, 1948, с. 364]): V- B.V + » J (г) ^ LB/j-i)B/J-2)^<2/+1> = 12 360 ' 12С0 1080 ' 1188
5.5. Расходящиеся ряды Стильтьеса 203 Отсюда получаем разложение J (г) в непрерывную дробь (см. [Char, 1980]): J_ j_ _53_ [95 у(г)_1* JO M Ш ., E.23) сходящееся при Rez>0. Непрерывная дробь быстро сходится лишь для первых восьми подходящих дробей, дальше сходимость ухудшается Причина такого явления становится понятной, если привлечь теорию областей включения (подробнее см. [Henrici and Pfhiger, 1966] или I; PA). Этот пример приводит нас к изучению связи между S-дробями D.5.5) и рядами Стильтьеса A.1)—A.3). В 1еореме 5.5.1 даны достаточные условия, при которых по- последовательности аппроксимаций Паде {[/И—1/М]\ и {[УИ/УИ]} ряда Стильтьеса сходятся к f (г). Используя формулы D.4.25), представим эти аппроксимации как подходящие дроби непрерывной дроби где 0@, coc, ~D@, O)DA, 0)' E.25) __ C{M/M)C (Л1—2/М — 1) __D A, M— 1) D @, M — 2) a2,W — — С(Л/- 1/Л1 - 1)С(/И — 1//И) = /5 A, /W—2) /5 @, M — 1)' = C(M/M + l)C(M — l/M — \)_ D@, M)DA, M—2) fl2AHi— С(/И-1//И)С(/И//И) ~"D@, M— 1)DA, M — I)' Заметим теперь, что а{ > 0 при t = l, 2, 3, .... Таким образом, доказан следующий результат. Теорема 5.5.2. Если f (z)— функция Стильтьеса, то непрерыв- непрерывная дробь E.24), построенная по соответствующему ряду Стильтьеса, является ^-дробью Обратное утверждение вытекает из теоремы, доказанной в книге Перрона [Perron, 1957, стр. 208]. Мы приведем это утверждение в следующем виде. Пусть дробь zfc (z), построенная по дроби E.24), является сходящейся S-дробью. Тогда последо- последовательность ее подходящих дробей сходится к функции Стильтьеса
204 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа /(г) с представлением A.1), где функция ср (и) определена по существу однозначно. Не доказывая этого результата, отметим, что условие а,- > 0 является достаточным для положительности определителей D{m, n) при всех т, п > 0. Отметим также, что предположение о сходимости S-дроби существенно для доказа- доказательства единственности функции ф(«). В заключение этого параграфа отметим, что существуют раз- различные типы условий на вещественную функцию S(co), опреде- определенную при O^w^oo, необходимые и достаточные для того, чтобы S(to) имела представление Стильтьеса вида D.5.8). В ка- качестве примера приведем один из них. Теорема 5.5.3. Для того чтобы функция S (а) имела интег- интегральное представление $?# E.26) с ограниченной и неубывающей функцией ср (и), необходимо и до- достаточно, чтобы выполнялись условия: S (со) ^ О )}>0, ?=1, 2 0<со<оо, и существует конечный предел coS (со) при со—s--f-°°- Доказательство этой теоремы дано в книге [Widder, 1972, с. 364]; подчеркнем, что это только один из подобных резуль- результатов, характеризующих функции Стильтьеса [Widder, 1972, гл. 8]. Мы не приводим никаких деталей доказательства, так как ни в формулировке, ни в доказательстве не используются аппрокси- аппроксимации Паде. Из представления A.1) для функций Стильтьеса вытекает, что они являются вполне монотонными функциями, определен- определенными на полуоси [0, оо]. Значит, они принадлежат классу абсо- абсолютно непрерывных функций [Widder, 1972, гл. 4]. Упражнение. Пусть /(г) — ряд Стильтьеса, a g(z) определя- определяется соотношением Используя формулу Адамара (см. теорему 1.6.1), доказать, что коэффициенты разложения
5.6. Ряды Гамбургера 205 удовле[воряюг неравепс гвам ,-, , . Sm + 1 S/n + 2 Dg(m, n) = >o rn + n Qm+n+i ' ' ' &й+!л для всех т, n^O. Как еще можно получить этот результат? § 5.6. Ряды Гамбургера и проблема моментов Гамбургера Функция Гамбургера определяется интегральным представле- представлением - J 1+иг' функция ф (и) возрастает, а моменты f,= ^иЫц>(и), / = 0, 1, 2, ..... F.1) F.2) конечны [Hamburger, 1920, 1921]. Рядом Гамбургера называется ряд /= О 1 = 0 где //—моменты F.2), этот ряд получается формальным разло- разложением функции F.1). Так же как и для ряда Стильтьеса, из рассмотрения исключается случай, когда ср(ы) — кусочно-постоян- кусочно-постоянная функция с конечным числом скачков, т. е. функция f (г) рациональна. Характерной особенностью ряда Гамбургера явля- является интегрирование по всей оси (— оо, оо). Обратная задача нахождения функции f (г) по моментам называется проблемой моментов Гамбургера. Иногда ряды, функции, моменты Гамбур- Гамбургера называют соответственно обобщенными рядами, функциями, моментами Стильгьеса. Ряд Гамбургера является более общим понятием, чем ряд Стильтьеса, поэтому моменты Гамбургера удовлетворяю! более слабым условиям, чем моменты Стильтьеса. Как и выше (см. A.12)), положим I т I /я+1 ' ' • I т+п D {т., п) = I m + 1 ' I т+п+1 /т+п / т + п+1 • ' ' ha + in F.3)
206 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа Теорема 5.6.1. Если \ff, / = 0, 1, ...}—моменты Гамбургера F.2), то определители DBm, п) > 0 для всех т, п > 0. Доказательство. Точно так же, как и в доказательстве тео- теоремы 5.1.2, используется неравенство игт (х0 + ххи и) > 0. Отметим, что если не выполняется условие DBm-j-l> n) > О для всех т, п^О, то соответствующий ряд не является рядом Стильтьеса. В следующей теореме утверждается, что все полюсы аппроксимаций Паде ряда Гамбургера лежат на вещественной оси и отличны от нуля, а сами аппроксимации имеют положительные вычеты в отрицательных полюсах и отрицательные вычеты в по- положительных полюсах. Теорема 5.6.2. Если коэффициенты \ff\ удовлетворяют нера- неравенствам D@, п) > 0 для всех п > 0, то аппроксимации Паде [М—1/УИ] формального степенного ряда 2 f/ (—гУ представ- представляются в виде м F.4) М. где f>[ > 0, уi вещественны при /=1,2, . Доказательство. Опираясь на тождество Сильвестра и нера- неравенство D (О, п) > 0, получаем по индукции, что D Bт, п) > О для всех т, п > 0. Сделаем теперь замену переменных ш*=—г~х и воспользуемся методом доказательства теоремы 5.2.1. Знаме- Знаменатель Паде равен o— /i + г//И+1 ••• /2Al-2"~b2/s f. — Л ... wjM-lm F.5) Следуя методу 2 доказательства теоремы 5.4.1, рассмотрим по- полином
5.5. Ряды Гамбургера 207 Его старший коэффициент равен D@, М — 1) > 0, следовательно, и сам полином пм (w) положителен при достаточно больших по- положительных значениях w. Из тождества Сильвестра вытекает, что лм-1 И Яд,+, (w) < 0, если лм (w) = 0. Отсюда с помощью соотношений ло(до)=1 и n1(w) = wf0—/, по- получаем по индукции свойство чередования нулей полиномов пм (w). Рассмотрим теперь возможность обращения в нуль в точке w — 0. Этот случай соответствует тому, что QlM~ ]/мЦг) имеет степень М — 1 вместо М, что противоречит условиям Гамбур- Гамбургера. Знаки вычетов определяются с помощью метода теоремы 5.2.1 Таким образом, теорема доказана. Идея использования переменной w = { — г) заимствована из теории ортогональных полиномов. Так же, как в § 5.3, устанав- устанавливается, что полиномы nM(w) ортогональны по положительной мере, нули лм (w) лежат на вещественной сси, нули последова- последовательных полиномов чередуются между собой. Изменяя ход изложения материала § 5.2, мы исключаем ана- анализ сходимости последовательности аппроксимаций Паде при х > 0, к данному случаю не имеющий отношения, и переходим к теореме 5.2.3 о равномерной ограниченности парадиагональных последовательностей в S> (Л). Аналогом этой теоремы является Теорема 5.6.3. Последовательность аппроксимаций Паде [М — 1 /М ] ряда Гамбургера равномерно ограничена при М —>• оо в ограниченной двухкомпонентной области ED1 (А) комплексной г-плоскости, отстоящей от вещественной оси не меньше, чем на А. Замечание. Компоненты S)' (А) показаны на рис. 1. Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.3. Аналогом теоремы 5.2.4 является Теорема 5.6.4. Последовательность аппроксимаций Паде [М — 1/М] ряда Гамбургера равностепенно непрерывна в &>' (А). Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.4. Теперь к последовательности \М — 1/М] применима теорема Арцела, и мы получаем следующий результат. Теорема 5.6.5. Существует бесконечная последовательность аппроксимаций Паде \М — 1/М] ряда Гамбургера, которая равно- равномерно сходится в &)' (А) к аналитической функции f(z). Теорема 5.6.5 отвечает не на все вопросы. Однако если коэф- коэффициенты \fj\ таковы, что f(z) аналнтична в круге |z|208 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа Рис. 1. Область §?>' (А). Теорема 5.6.6. Пусть коэффициенты \ff\ таковы, что D @, п) > О ОО для всех п и ряд 2 fj( — zY сходится в круге \z\(и), / = 0, 1,2, ...; 1 (и) мера d
0, то по теореме 5.3.1 справедливо представление - im - i Методами доказательства теоремы 5.4.1 устанавливается, что по- полюсы аппроксимаций Паде [М—1/УИ] ряда 2 I/ (— А' лежат на /= о
5.5. Ряды Гамбургера 209 разрезах —оо < z < — l/R и l/# 0 для всех п = 0, 1, 2, .... Пусть /(г)— предел сходящейся подпоследовательности аппрокси- i 00 маций Паде \М — \/М] формального ряда 2//( — гУ ¦ Тогда функ- i=0 ция /(z) вещественно-симметрична, аналитична в полуплоскостях Imz>0 и 1тг<0 и имеет асимптотическое разложение 00 /(г)^ 2/у ( — «К при г-* 0, z€#, F.7) /=о где "ё — произвольный круг радиуса г с центром в точке z — ir или в точке z= —ir (рис. 2). Замечание. Существование но крайней мере одной сходящейся подпоследовательности аппроксимаций Паде [М — 1/М] гаранти- гарантировано теоремой 5.6.5. Доказательство. Покажем сначала, что для каждого целого 2k \ _ V f (_,\М 2 / = 0 z)'}->0 при г — 0, ?•€#, F.8) равномерно по М > k.
210 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Попа i Imz ¦Rez Рис. 2. Круг % радиусом г с центром в точке z=ir. Для аппроксимаций Паде справедливо представление F.4), поэтому М М оо Pd-T^; F.9) i=I /=0 разложение сходится в круге |г|< RM, Разложение F.9) совпадает с заданным степенным рядом до сте- степени z'2M~' включительно; следовательно, 2k M оо [м— 1/м]— 2 //(— z)J= 2в 2 (—< 2 /=0 2, 2 i-1 /ш2*+1 для й < М и | г | < /?л!. Поэтому F.8) справедливо при каждом фиксированном M>bi |z|< RM, г€%. Далее, имеем ¦2 k [m_i/m]-2//(-« (=0 м 1= 1 М оо 2 Р, 2 (-гу,- М оо У У в (— г 4=1 . F.10)
5.6. Ряды Гамбургера 211 Если z€#. то Im z^s|Rez|*/Br). Рассуждая так же, как и в теореме 5.2.3, получаем sup V Следовательно, величина \гA +yiz)~1\ равномерно ограничена для z 6 # по всем М. По предположению k < М — 1, поэтому Л) /2/S+2- Таким образом, равномерно по /И > ,-гк 2к [Л1-1/М]—2 /,(—«к /=0 О при z—-О, Рассмотрим теперь подпоследовательность М —>¦ оо, такую, что последовательность [М — 1/УИ] сходится к функции f (г) в области <3)'(А). Тогда из последнего соотношения получаем Следовательно, ;=о 1=0 О при О при z — 0, z € %, F.11) для всех целых k > 0. Таким образом, установлено асимптоти- асимптотическое разложение f(*) =* S М-г)Л Z-.0, г€*. ,-=о По теореме 5.6.5 функция f(z) — равномерный предел последова- последовательности аппроксимаций Паде — вещественно-симметричных функ- функций, аналитических при Imz^O. Значит, f (г) вещественно-сим- вещественно-симметрична и, по теореме Вейерштрасса (см. § 5.2), аналитична при Itn г =ФО. Чтобы получить интегральное представление функции / (w), удобнее воспользоваться переменной w= — z~x. Положим F.12) После сделанной замены последовательность аппроксимаций Паде м [М — 1/М] = Х,ГТ~, М = 1, 2, 3, ...,
212 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Попа формального ряда 2 fj(—гУ принимает вид /= О М ff-;, M=l, 2, 3, .... F.13) Из теоремы 5.6.5 вытекает, что последовательность F.13) сходится на множестве в до-плоскости, соответствующем множеству ЗУ' (Д). Можно доказать, что имеет место Теорема 5.6.8. Пусть коэффициенты {fj} удовлетворяют детер- минантным условиям D (О, п) > О для всех п = 0, 1, 2 Пусть ?DW (б) = {w: | Im w | > 6} — двухкомпонентная область в w-плоскости. Тогда для w ? S)w (б) существует предел F(w) некоторой подпоследовательности после- последовательности аппроксимаций Паде {~JM(w), M = 0, 1,2, . . .} фор- 00 мального ряда 2 f/W'^'1- Функция F(w) вещественно-симмет- рична, аналитична при 1тдо=^=0 и имеет асимптотическое раз- разложение 00 F (w) ~ 2 \]^о~'~г при w —> с», | Im w | > б, F.14) где б > 0 произвольно мало. Имеем также {ImF(w)} Imw < 0 при imw^O. F.15) Доказательство. Множество w\ Im до > б соответствует кругу Чё радиуса B6) ( см. рис. 2). Таким образом, теорема 5.6.8 пред- представляет собой переформулировку теоремы 5.6.7 в терминах переменной w = —г. Обозначим через Ш множество тех М, по которым подпосле- подпоследовательность JM(w) сходится в области й>ш(б). Теорема 5.6.9. Для аппроксимаций JM(w), определенных со- соотношением F.13), выполняется неравенство /о w V /о U j„(а))—Ц- < \.ш\ . F.16) м \ > w ^ w\\mw\ v ' w\\mw\ Предельная функция F(w), определенная в теореме 5.6.8,удовлет- 5.6.8,удовлетворяет неравенству
5.6. Ряды Гамбургера 213 Доказательство. Используя F.13), находим м /о Км И — Im Соотношение F.16) вытекает теперь из неравенства Коши —Шварца / М \ / М \ Vi= 1 /\(=1 / если положить a{ = yr{i{, b, = ]/r^i\y1\2; F.17) получается из F.16) предельным переходом по М —> оо, М^ЗЛ. После того как установлены теоремы 5.6.8 и 5.6.9, мы мо- можем приступить к нашей основной цели — построению интеграль- интегрального представления функции F(w). Нам понадобятся некоторые предварительные результаты. Лемма 1. Для каждого б > О Im F (и -f- id) du =—nf0. F.18) Доказательство. Так как ? (ш) аналитична в верхней полу- полуплоскости, то где С—контур ABCD, изображенный на рис. 3. Точке А соответ- соответствует комплексное число wA = d2 -f t, аналогично имеем wB = d2 + id, wc=— , wD= — Дуга ВС—дуга круга С с центром в точке w = 0 радиуса dV&-\-\. Используя F.17), оценим интеграл по АВ; \ F (w) dw J Подобным образом оценивается интеграл по дуге BCi
214 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа I -d2 } с IniW -id . t ] i A 1 *- d' Рис. 3. Контур С в ш-плоскости. Вычислим интеграл Отсюда прямо получаем, что lim ^ F (w)dw — — mf0. Соотношение F.18) вытекает из равенства мнимых частей в по- последней формуле. В соответствии с леммой 1 положим it <рF, «)=— - f ib)dt. F.19) Из теоремы 5.6.8 и леммы 1 вытекает, что АР F, Ц) ^ _^_ Im р {и + .б) > Таким образом, dq>F, w) —ограниченная мера Гамбургера.
5.6. Ряды Гамбургера 215 Лемма 2. При Im до > б > О ~ _. г l-f(« + ^=r *> (Д. ») . F.20) Доказательство. Пусть w — внутренняя точка контура С (см. рис. 3). Тогда Ъ i s I С F (w') dw' F (w) = о-т \ —V-1— . с Используя предыдущие рассуждения и полагая d—»• с», получаем 2яг — се Если точка да лежит внутри С, то точка w' =w*-\-2ib лежит во внешности С; поэтому по теореме Коши n 2л» — СО Применяя операцию комплексного сопряжения, находим 0 ' Г {Р^ГЧи • 2 Вычтем теперь F.22) из F.21) и получим у ' я J и-{-to — w — со Второе из равенств F.20) вытекает из определения F.19). Лемма 3. Пусть <р(8, и)—семейство функций, ограниченных и неубывающих по и, определенных для —оо<и<оо и б>0. Тогда существует последовательность {6f, i= 1, 2, 3, ...}, такая, что Ь{ -+ 0 и
(и, б), заданное формулой F.19), удовлетворяет условиям леммы 3. Доказательство. Выберем множество точек U = {uk\, всюду плотное на интервале (— оо, оо). Положим Do = [\/i, i = 1, 2, 3,...}. Последовательность чисел {ф(б, ux), 6?D0} ограничена, поэтому найдется Dx, подпоследовательность Do, такая, что последовательность {фF, иг), 6^Dj| сходится.
216 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Пойа Положим Игл ф(б, «,) = 6->- 0, Лб 0, Точно так же из D, выбираем подпоследовательность D2, для которой Продолжая этот процесс, для каждого целого k > 0 найдем под- подпоследовательность Dft, DkczDk_xcz . . . cD,, такую, что {Ф(б, «ft), 8eDft} -y Существует не более чем счетное множество точек разрыва функ- функции ф: найдется не более двух точек, в которых Дф!>/0/2; не более четырех точек, в которых fo/4 ^ Дф < /0/2; не более восьми точек, таких, что /0/8 <: Дф < /0/4, и т.д. Точки разрыва могут быть всюду плотны па вещественной прямой; [ем не менее ука- указанным в лемме 3 способом функция ф(«) определяется и в этих точках.Во всех остальных точках функция ф (и) непрерывна; естественно назвать их точками непрерывности Ф(«). Итак, мы подготовили все необходимое для доказательства следующего сильного результата. Теорема 5.6.10. /7усть коэффициенты {//} удовлетворяют де- терминантным условиям D@, n) > 0 для всех п = 0, 1, 2, .... Пусть F(w)—предел сходящейся подпоследовательности последо- последовательности {JM(w), М = 0, 1, 2, ...} аппроксимаций Паде фор- формального ряда i / /=0
5.6. Ряды Гамбургера 217 Тогда F (w) имеет интегральное представление Гамбургера функция ф(«) ограничена и не убывает при — оо < « < с». Доказательство. Так как семейство функций F.19) удовлет- удовлетворяет условиям леммы 3, то можно построить функцию ф(«). Представление F.23) получается из F.20) предельным переходом при 6^0. Так как функция F (w) вещественно-симметрична, то представление F.23) справедливо для всех w, Irrii2>=^0. Воспользуемся подходящим моментом и приведем формулу обращения Стильтьеса, которая является простым следствием лемм 2 и 3. Эта формула выражает функцию <р(«) через функ- функцию Гамбургера F (w): Ф«+>-Ф«-)=1Нт С \mP(u + ib)du. — ее После того как получено представление F.23), удобно вер- вернуться к обычной переменной г= — 1/до. В условиях тео- теоремы 5.6.7 мы доказали, что се со Шп [М- 1/М]-Г(г) = j ^ - ? /, (-г)/. F.24) Mew -00 '"" Докажем теперь интегральную формулу для коэффициентов \h которая является следствием следующей теоремы Гамбургера. Теорема 5.6.11. Пусть функция / (г) определена интегральным представлением Гамбургера ft F.25) Тогда для того, чтобы моменты со /,= 5 utdviu) F.26) — 00 были конечны, необходимо и достаточно, чтобы / (г) имела асимп- асимптотическое разложение /(г) с- 2М-гУ. F-27) /=о
218 Гл. 5. Ряды Стилыпыха_и ряды Попа определенное в секторах г ^ | arg z \ ^ л — г для произвольно ма- малого s > 0. Замечание. Благодаря этой теореме становится ясно, почему мы различали функцию и ряд Стильтьеса и функцию и ряд Гам- Гамбургера. Функция Гамбургера определяется формулой F.25) при дополнительном условии, что все моменты F.26) конечны. Ряд Гамбургера определяется правой частью F.27) также при усло- условии конечности всех моментов. В теореме Гамбургера утверж- утверждается, что функции F.25) соответствует однозначно определен- определенный ряд F.26) —F.27). В свою очередь ряду F.27), коэффициен- коэффициенты которого имеют вид F.26), соответствует по крайней мере одна функция Гамбургера F.25). Доказательство. Из представления F.25) и определения F.26) вытекает, что Я* (г) /(S L ;= о F.28) -co J Следовательно, если k нечетно, то и\л + Чц (и) ^ — X |2 i. Таким образом, если k нечетно, то Rk (г) —»¦ 0 при г —+ 0 в сек- секторе <У+ (е) или <У~ (г). Если же k четно, то, записывая F.28) в виде получаем |/?*B)|<|2|.|/» Тем самым разложение F.27) доказано. Предположим теперь, что функция /(г) имеет асимптотиче- асимптотическое разложение. Так же, как и выше, устанавливаются оценки для величин, аналогичных \Rk(z)\, откуда вытекает конечность моментов F.26). Докажем теперь следующий принципиальный результат.
5.6. Ряды Гамбургера 219 Imz Рис. 4. Секторы - (e): — я-ff- < argz < — 8, Теорема 5.6.12. Пусть коэффициенты {{j} удовлетворяют де- терминантным условиям D@, п) > 0 для всех // = 0, I, 2, .... Пусть SD' (Д)—ограниченная область, отстоящая от веществен- вещественной оси не меньше чем на Д (см. рис. 1). Тогда последователь- последовательность аппроксимаций Паде [М — 1/М], М = 1, 2,3, ...,формаль- со ного ряда 2f/(—2Усодержит подпоследовательность, соответст- /=о вующую М ? ЗЛ, которая сходится в ?bl (Д) /с функции f (г). Функция } (г) вещественно-симметрична, аналитична в &)' (Д) и имеет представления F.29) асимптотическое разложение справедливо в секторах, показанных на рис. 4; се lj= \ иЫц>{и), F.30) — 00 Ф (и) ограничена и не убывает при — оо < и < с». Доказательство. Заметим, что для любого заданного Д > О всегда найдется б > 0, такое, что k>'(Д)с{г: z'1 =w? 3>w (б)}; см. также упражнение 5. В таком случае георема 5.6.12 выте- вытекает из теорем 5.6.5, 5.6.7, 5.6.11 и соотношений F.24). В теореме 5.6.12 ничего не утверждается о единственности представления функции J (г) в виде F.29) — F.30). В предыдущем параграфе приведены примеры, показывающие, что даже в случае ряда Стильтьеса условий теоремы не достаточно для однознач- однозначного определения ф(«) и /(г). Следующий критерий Карлемана
220 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Пойа для рядов Гамбургера представляет собой достаточное условие единственности. Критерий Карлемана. Если коэффициенты {/у} вещественны, удовлетворяют детерминантным неравенствам D@, n) > 0 для всех п^О, а также условию ряд 2 /г/'2" расходится, F.31) то существует единственная функция Гамбургера f (г) с асимп- асимптотическим разложением /() 2Ыу / = о Если выполняется условие Карлемана F.31), то представле- представления F.29) и F.30) однозначно определены. В таком случае гово- говорят, что проблема моментов определена. Случай, когда критерий Карлемана не выполняется, подробно рассмотрен в книгах Ахие- зера [Akhiezer, 1965J и Уолла [Wall, 1948]. Связь между последовательностью аппроксимаций Паде [М — 1/М], сходящейся к f(z), и .'-дробью D.5.9) устанав- устанавливается при помощи замены переменной co = z~l. Следуя F.29), положим ] ?$. F.32) Тогда 7 (со)-предел подходящих дробей ]J (г), Ме непрерывной дроби J (со). Для рядов Гамбургера, так же как и для рядов Стильтьеса, формулы D.5.9) и D.5.10) имеют алгебраи- алгебраический характер (так как дроби всегда определены). Используя D.4.23) —D.4.25), D.5.1) —D.5.4) и A.12), получаем где ft, = a, =/o, U = at = hlh F-ЗЗа) ^а = a2a3 = р (@' 0)г , F.33b) l, 0) ' D(\, 0)D@,
5.6. Ряды Гамбургера 221 и для / = 3, 4, 5, ... i _Р@, /—3)Р@, /—1) J~ Р@, / — 2J . Р @,/-1HA, /-3) 0A, /-1H@, /-2) I 0@, / — 2)ОA, / — 2) + 0A, / —2)Р(О, /—1) ' Воспользуемся формулами F.33) для доказательства следую- следующего результата. Теорема 5.6.13. Пусть дана вещественная J-дробь J((o) = 7^l__7A__7A_ __..., F.34) где k{ > 0 и lt вещественны для всех i ^ 1. Тогда последователь- последовательность подходящих дробей дроби J (со) содержит сходящуюся под- подпоследовательность, такую, что со lirn Jm (со) = J (со) = \ —|—; F.35) м s ад - =° <р(ы) ограничена и не убывает при —оо < и < оо. ?сли J-дробь F.34) сходится, то для нее справедливо пред- представление Гамбургера У(со) = Доказательство. Из F.34) вытекает, что J (ю) имеет формаль- формальное разложение @ *¦" '¦' / =0 Используя формулы F.33), получаем по индукции, что коэффи- коэффициент fj удовлетворяют детерминантным условиям D@, n) > О и D(l, n) вещественно. Поэтому коэффициенты fj вещественны и удовлетворяют условиям для коэффициентов ряда Гамбургера. По теореме 5.6.12 найдется сходящаяся подпоследовательность подходящих дробей дроби J (со). Если дробь J (со) сходится, то все подпоследовательности сходятся к тому же пределу. В связи с последним результатом интересно отметить, что условие сходимости дроби F.34) заменяет критерий Карлемана и является условием единственности. С рядами Гамбургера тесно связаны так называемые функции Герглотца. Дадим определение функции Герглотца и в заключение этого параграфа приведем основной результат, касающийся этих Функций.
222 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Попа Определение. h(z) называется функцией Герглотца, если (i) h(z) аналитична при 1тг=й=0; (ii) h (г) вещественно-симметрична; (iii) \mh(z) и Im г имеют одинаковые знаки для всех г. Мы приведем теорему Герглотца в следующем виде [Stone, 1932, стр. 573]. Теорема 5.6.14. Функция Герглотца имеет представление 00 h (г) = аг + р + j ^*do(и), F.37) — 00 где функция а (и) ограничена и не убывает при — оо < ы < оо, Р вещественно и а^О. Представление F.37) единственно. Следствие. При условии, что первый момент 00 (i!= J и da {и) - СО конечен, h(z) имеет представление Р(, { {)() Подробнее о применении функций Герглотца см. [Narcowich and Allen, 1975] и [Allen and Narcowich, 1975]. По поводу построения функции плотности ф(«) мы отсылаем читателя к книгам Перрона [Perron, 1957] и Рисса и Надя [Riesz and Nagy, 1955]. Известны также некоторые результаты и методы для рядов, представимых в виде разности двух рядов Стильтьеса [Baker, and Gammel, 1971, Barnsley, 1976]. Упражнение 1. Пусть функции /(г) соответствует формальный степенной ряд / =0 в котором коэффициенты /у удовлетворяют условиям D@, n) > 0 для всех п>0. Определим g(z) с помощью тождества /о так что формально 1С gB)=2
5.7. Частотные ряды Пойа 223 Используя формулу Адамара A.6.9), показать, что коэффи- коэффициенты gj удовлетворяют условиям Dg{0, n) = go gi Sn, gm Упражнение 2. Пусть /(г)—функция Герглотца F.25). Положим а> = — г и Z7 (да) = — г/(г). Доказать, что —/(г) и — F (w) — функции Герглотца. Упражнение 3. Доказать, что функция ср(«) из леммы 3 не- непрерывна в своих точках непрерывности. Упражнение 4. Построить функцию плотности Стильтьеса со свойствами: (i) cp(«) постоянна вне интервала 0^и^1, (ii) множество точек разрыва ф(«) плотно на интервале 0<«<1. Упражнение 5. Показать, что теорема Гамбургера остается справедливой, если условие: г лежит в секторе ?f+ (e) или ?f~ (e) заменить на условие: г лежит в круге #, изображенном на рис. 2. 00 Упражнение 6. Пусть 2 //(—гУ — РЯД Гамбургера. Положим ю = г~1 и в соответствии с F.4) Доказать, что для М = 1, 2, 3, ... (i) полюсы JM (со) имеют положительные вычеты, (ii) нули JM (а) вещественны, (iii) полюсы и нули JM(a) чередуются между собой. § 5.7. Частотные ряды Пойа Мы уже обнаружили, что существуют явные формулы для числителя А1им1 (г) и знаменателя ВГ'-/Л*] (г) аппроксимации Паде функции ехр г; см. A.2.12), D.6.1), а также B.3.3.21). Формулу A.2.12) для аппроксимации Паде экспоненты можно получить из детерминантных представлений A.1.8) и A.1.9), если восполь-
224 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа зоваться методом § 5.2 и тем, что в соответствии с A.2.6) м С(ПМ) — ( \\MiM-\)/'j TT i MWJJ-l 1) II ft(ft+1)...(ft_M,_1) при L, M!>1. Знак С(L/M) совпадает со знаком величины (—1)м <м-п/> и тем самЫм не зависит от L. Если /И = 1, 2, 3, ... , то знак меняется следующим образом: +, —, —, +, +, —, —, .. . • Такой переменой знака характеризуются функции, известные как частотные ряды Пойа (их называют также вполне положи- положительными рядами, см. упражнение). Функции этого класса имеют представление руг)-1, G-1) / = i где ао>О, y>0, ау>0, Р,>0 и ряд 2 (а/ + Р/) сходится. Интересно, что для таких функций сходятся не только сами аппроксимации Паде, но и их числители и знаменатели, причем это имеет место для любой лучевой последовательности в таб- таблице Паде. Теорема 5.7.1 [Arms and Edrei, 1970]. Если f(z) — частотный ряд Пойа G.1) и Lk—> оо, Mk —* оо так, что {Mk/Lk) —»¦ со при k —> оо, то равномерно на компактных подмножествах комплексной г-пло- скости. Следствие 1. Если {(г)=еуг, то Следствие 2. Конечное число at и fif могут быть комплексными, если а{Ф—Ру при любых i, j. Следствие 1—частный случай теоремы, следствие 2—ее обоб- обобщение. Доказательства этих утверждений даны в ЕРА и в ра- работе [Arms and Edrei, 1970]. Превосходное изложение основ теории частотных рядов дано в [Edrei, 1953] и [Karlin, 1968].
5.7. Частотные ряды Пойа 225 Из-за того что известны явные формулы для аппроксимаций Паде экспоненциальной функции, а также в связи с ролью этой функции как решения наиболее простого обыкновенного диффе- дифференциального уравнения dy/dx — y, значительное внимание при- привлекало расположение полюсов и нулей аппроксимаций Паде функции ехрг. Если аппроксимация Паде [L/M] функции ехрг имеет полюс в левой полуплоскости, то определенно известно, что эта аппроксимация Паде не дает Л-устойчивого метода ре- решения обыкновенных дифференциальных уравнений (см. ч. 2, §3.4). Так как ехр(—г) = (ехрг), то но теореме о двойственности (теорема 1.5.1) каждый нуль аппроксимации Паде [L/M] функции ехрг является полюсом аппроксимации Паде [M/L] функции ехр (— г). Таким образом, обычно ограничиваются только изуче- изучением расположения нулей аппроксимаций Паде функции ехрг. Так как exp(-f °°) = + со и ехр(—со) = 0, то естественно ожидать, что полюсы аппроксимаций Паде при увеличении по- порядка аппроксимации накапливаются к точке х~-\- со, а нули — к точке х = — оо. Если Lt > L2, то функция [Lj/M] имеет больше нулей, чем [LjM\, поэтому у [Ц/М] область, свободная от нулей, должна быть меньше. Эти простые соображения подтверждаются следующими теоремами. Теорема 5.7.2. (теорема о секторе) [Saff and Varga, 1975]. Пусть z = rem. При М>2 аппроксимация Паде [L/M] функции ехр г не имеет нулей в секторе L—M—2 L+M • Пример 1. Если L = 3M + 2, то аппроксимации Паде [3M-J-2/7W] не имеют нулей в области cos9>l/2, т.е. при |0|^6О°. Ясно, что при L^3M + 2 все аппроксимации Паде [?/М] также не имеют нулей в этой области (рис. 1). Теорема 5.7.3. (теорема о параболе) [Saff and Varga, 1976]. Пусть z — x^-iy. Аппроксимация Паде [L/M] функции ехрг не имеет нулей внутри параболы Замечание. В теореме утверждается, что все аппроксимации Паде (М + 1)-й строки не имеют нулей в области G.2). Для пер- первой строки аппроксимации Паде совпадают с частными суммами ряда Тейлора функции ехр г, которые, очевидно, положительны при х^О. Тем самым область, свободная от нулей, содержит положительную вещественную полуось. Из теоремы вытекает, что эта область содержит внутренность параболы г/2^4(лг-)- 1). Для аппроксимаций Паде [L/3] параболическая область, не содержа-
226 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Попа 30.0 20.0 10.0 10.0 20.0 30.0 Imz - - 1 -30.0 - - - Рис. 1. Расположение нулей аппроксимаций Паде [L/M] функции ехр г при [A1 и L-1, 2, 3, ..., 36. щая нулей, больше, она определяется неравенством у2^ 16(х + 4) (рис. 2). Если сделать сжатие координатной плоскости в (М+1) раз, то теорема 5.7.3 приводит к следующему результату. Следствие. Аппроксимация Паде [L/M] функции ехр{(М+ 1)г} не имеет нулей в области Расположение нулей аппроксимаций Паде [L/M] для ^ и М^25 показано на рис. 3, демонстрирующем оптимальность области G.2) из теоремы 5.7.3. Замечательные траектории рас- расположения нулей до сих пор еще полностью не объяснены. Теорема 5.7.4. (Теорема о кольце; [Saff and Varga, 1977]). При L~^\ и М^0 все нули аппроксимации Паде [L/M] функции ехр г лежат в кольце (L-\-M)\i < |г| < L + M + 4/3, где \и =
5.7. Частотные ряды Пойа 227 Область, не содержащая нулей Рис. 2. Область, не содержащая нулей аппроксимаций Паде [L/3]. = 0,278465—(единственный) положительный' корень уравнения tet+1 = 1. Теорема 5.7.5. [Saff and Varga, 1975, 1977]. При L228 Гл. 5. Ряды Стилыпьеса и ряды Попа -2Л0 -1,00 0,00 Рис. 3. Область, не содержащая нулей аппроксимаций Паде [L/M] функции ехр {(/И+ 1) г}. Теорема 5.7.6. [Saff, Varga and Ni, 1976]. Пусть {Lk/Mk)-+ при k—> oo, где 0<со<1. Тогда Следствие. Минимум функции g{a>) при Ог^сог^ 1 достигается в точке @ = 1/3 и равен g(l/3) = -g-. Лучевая последовательность аппроксимаций Паде [L/3L] функции ехр г имеет наилучшую ско- скорость сходимости на отрицательной вещественной полуоси
5.7. Частотные ряды Пойа 229 Подробнее с приведенными результатами и их доказательст- доказательствами можно познакомиться в цитированных работах. Все доказа- доказательства опираются на явные формулы и соотношения между числителем и знаменателем Паде. Этим мы заканчиваем обсуждение поведения нулей и полюсов аппроксимаций Паде функции ехрг. Рассмотрим теперь тригонометрические полиномы с веществен- вещественными корнями. В основе всех результатов лежат следующие формулы; (Й0 G.4) G.5) cos г—cos а = A - cos а)Д[1- {2J+ aJ ] , 0<а<я. G.6) Каждый вещественный косинус-полином С (г) = со + с1 cos г + с2cos 2г + ... + cNcos Nz G.7) чли вещественный синус-полином S (z) = st sinz -\- s2 sin2z+ ... +sNsinNz, G.8) ямеющий только вещественные нули, можно представить в виде G.6). Для полинома С (г) имеем C(z) = /C(cosz— \y j|X(cosz—cosafc)pft. G.9) k = i где р, рк — неотрицательные целые числа. Полином S(z) можно представить в виде S(z) = C(z) sin г. G.10) Следовательно, достаточно рассмотреть представления G.6), G.7) и G.9). Имеем . G.11) Благодаря соотношению G.11) можно воспользоваться теоремой Армса—Эдрея, получаем следующий результат. Теорема 5.7.7 [Edrei, 1975]. Знаменатели аппроксимаций Паде [Lk/Mk] нормированного косинус-полинома С (г) г~г?, имеющего только вещественные нули, стремятся к единице (равномерно на компактных подмножествах комплексной z-плоскости), если только
230 Гл. 5. Ряды Стильтьеса и ряды Пойа Lk —*- oo и Мк-*<х> при k—i-oo. Аналогичный результат спра- справедлив и для синус-полинома S (г) г~*Р~1. Для функции Т (г) =г~2 tg2z при тех же условиях имеем A[Lk/Mk\ _*. 2~2sin2z и 5[L*^M*J —•¦ cos2 г. В этом параграфе мы привели некоторые теоремы для функций специального вида. Прежде всего по этой причине они даны без доказательств. Однако заманчивая мысль о том, что и в общем случае теория сходимости аппроксимаций Паде так же совершенна, как и для рядов Стильтьеса, будет в какой-то степени подтверж- подтверждена в дальнейшем. При этом возникнут и более общие методы доказательства. Упражнение. Показать, что определители Теплица с? + 1 ••• CL+M-i .-I CL ••• CL+M-2 1-Л5 + 1 LL-M+2 ' • ' Ь1 где с,—коэффициенты частотного ряда Пойа, удовлетворяют не- неравенству Т (L/M) ^ 0 для всех L, М^О.
Глава 6 ТЕОРИЯ СХОДИМОСТИ § 6.1. Введение Эта глава посвящена известным результатам о сходимости последовательностей аппроксимаций Паде комплексной функции. В случае строк таблицы Паде теорема Монтессу утверждает сходимость для функций, мероморфных в круге (см. § 6.2). Диагональные последовательности естественно выбирать при отсутствии какой-либо дополнительной информации о мероморфных функциях. В пользу такого симметричного выбора аппроксимаций говорит тот факт, что для мероморфной функции / (г) функция 1//(г) также мероморфна и имеет место теорема о двойственности. Парадиагональные последовательности вида [M + J/M], где J фиксировано, а М —*¦ оо,х являются очевидным обобщением диаго- диагональных; такое обобщение вызвано необходимостью аппроксими- аппроксимировать функции, которые ведут себя как zJ при г—* оо. Лучевые последовательности аппроксимаций Паде [L/M], где L = KM, К фиксировано, используются в некоторых частных слу- случаях. Иногда имеет смысл рассматривать и параболические после- последовательности вида [М2/М]. Таким образом, в зависимости от потребностей выбирается та или иная последовательность общего вида [Lk/Mk]. Наиболее естественные теоремы о сходимости последовательностей аппрокси- аппроксимаций Паде общего вида привлекают понятие емкости. Вместо доказательства поточечной сходимости для некоторого класса функций в георемах дается доказательство утверждения, что область, где имеет место плохая аппроксимация, произвольно мала. Никоим образом из этих теорем не вытекает поточечная сходимость; однако в них доказывается сходимость аппроксимаций Паде для очень широких классов функций в некотором естествен- естественном смысле. Аппроксимации Паде—это рациональные функции, поэтому другим естественным обобщением понятия сходимости является сходимость на сфере Римана (см. § 6.4). Такое обобщение позво- позволяет применять для бесконечных значений функции те же рас- рассуждения, что и для остальных.
232 Гл. 6. Теория сходимости Приводимые ниже контрпримеры Перрона и Гаммеля предо- предостерегают нас от необоснованных гипотез о сходимости аппрок- аппроксимаций Паде для целых функций. В то же время так назы- называемая Паде-гипотеза, принадлежащая Бейкеру, Гаммелю и Уиллсу, широко признана и служит основой для многих вычис- вычислений. В ней утверждается сходимость подпоследовательности; подробнее см. § 6.7. Интересно рассмотреть несколько результатов о строках таб- таблицы Паде; хотя их доказательство основано на явных формулах для аппроксимаций Паде, они все-таки важны для общей теории. Обсуждая сходимость строк, мы сможем лучше понять, какого рода результаты можно ожидать в общем случае. Первая строка таблицы Паде состоит из частных сумм ряда Тейлора, которые сходятся внутри (но вовсе не обязательно на границе) круга аналитичности; радиус этого круга может быть нулевым, конечным или бесконечным. Для второй строки [L/1] справедлива теорема Бирдона [Bear- don, 1968b]. Теорема 6.1.1. Пусть функция /(г) аполитична в замкнутом круге \z\^.R. Тогда некоторая бесконечная последовательность аппроксимаций Паде [L/1] сходится к f (г) равномерно в круге Доказательство. По предположению /(г) аналитична в замк- замкнутом круге |г|^^, следовательно, она аналитична и в неко- некотором большем круге |г|<р, р>р'>7?. Пусть fB)=2c,2', C, = O((p')-'). A.1) (=0 Для второй строки аппроксимаций Паде имеем ^' + i^. A-2) Если по некоторой подпоследовательности коэффициенты {cl ., / = 1, 2, ...} обращаются в пуль, то аппроксимации Паде [Lj—1/1] совпадают с частными суммами ряда Тейлора, кото- которые сходятся к f(z) равномерно в круге |г|^/?<р'. Предполо- Предположим теперь, что все cL, начиная с некоторого, отличны от нуля. Так как то аппроксимации Паде [L/1], заданные формулой A.2), равно- равномерно сходятся при | г | ^ R по той последовательности номе- номеров L, для которой 1—cL+lz/cL=^=0 для всех |г|<р'. Таким
6.1. Введение 233 образом, либо некоторая подпоследовательность второй строки схо- сходится, либо для всех L^Lg, \cL/cL+l | < р'. В последнем случае имеем L- 1 гт 1= La < (p')L-L°, что противоречит A.1). Таким образом, теорема доказана. Контрпример Перрона [Perron, 1957, гл. 4]. Выберем произ- произвольную последовательность точек \гп, п=\, 2, ...} в комп- со лексной плоскости и определим функцию /B) = 2сг2' следую- i=0 щим образом: сЯ|1 = 2„/(Зп + 2)! , если \гп |^ 1, ?.-ав+1= l/C/i+ 2)! и с,„+| = 1/(Зл+ 2) ! [, если |г„|>1. J Так как |с, |<сГ(г'!)~1, то / (г) — целая функция. Поскольку -^ = г„, если |2„|<1, и ^±1 = г„, если |г„|>1, то из A.2) вытекает, что либо аппроксимация [Зп/1], либо аппрок симация [Зл+1/1] имеет полюс в точке г„. Выберем теперь мно- множество {г„} всюду плотным в комплексной плоскости, повторяя при необходимости некоторые точки. Тем самым мы построили целую функцию /(г), для которой последовательность аппрокси- аппроксимаций Паде [/-/1] не может сходиться ни в каком открытом мно- множестве комплексной г-плоскости. Контрпример Перрона показывает оптимальный характер тео- теоремы Бирдона. Следующая гипотеза для общего случая принад- принадлежит авторам данной книги [Baker and Graves-Morris, 1977]1). Гипотеза. Пусть /(г)—мероморфная функция, аналитическая в начале координат, и в круге \ г \ ^ R содержится не более М полюсов функции f (г). Тогда некоторая бесконечная подпоследова- подпоследовательность строки [L/M] таблицы Паде сходится к / (г) равно- равномерно в круге \z\^R, исключая произвольно малые окрестности полюсов /(г). х) В работе Буслаева В. И., Гончара А. Л., Суетина С. П. [1983] пока- показано, что гипотеза справедлива только при /? = оо. — Прим. перев.
234 Гл. 6. Теория сходимости Эта гипотеза пока еще не доказана, за исключением частных случаев типа теоремы Бирдона. Контрпример Перрона, который легко можно обобщить на произвольную строку, показывает, что аналогичное утверждение для всей строки неверно. Вот почему в гипотезе утверждается сходимость только по подпоследова- подпоследовательности. В предположениях гипотезы аппроксимации Паде имеют достаточно много полюсов для того, чтобы представить полюсы /(г) в круге |z|^/?; полюсы аппроксимаций либо при- притягиваются к полюсам /(г), либо лежат вне круга |г|^/?. Интересно сравнить эту гипотезу с теоремой Монтессу из следующего параграфа, а теорему Бирдона с теоремой Монтессу для второй строки. В качестве общих ссылок приведем [ЕРА, гл. 11], [Graves-Morris, 1975] и [Wallin, 1972]. Упражнение 1. Найти явный вид аппроксимаций Паде [?/1] функции /(г) = 1/((г — а)(г—Ь)), где о, Ъ—комплексные числа. Доказать, что [L/l]—>/(z) в круге |г|<|Ь|, если |а[<|Ь|; найти область равномерной сходимости. Что произойдет при \а\ = \Ъ\> Упражнение 2, Обобщить контрпример Перрона на случай произвольной строки в таблице Паде. § 6.2. Теорема Монтессу Прежде чем доказывать теорему Монтессу, выведем формулу Коши — Бине для определителя произведения двух матриц. Впей объединяется ряд общеизвестных результатов (см. [Gragg, 1972J), которые мы приводим в виде примеров. Пусть 5*[^ ) — класс мультииндексов а = ((*!, а2, .. ., ак) из k элементов а,-, которые принадлежат множеству {1, 2, ..., т\ и удовлетворяют условию 1 <; at < а2 <... < ак <; т. Через А (а, Р) обозначим подматрицу матрицы Л, полученную выделением строк с номерами {а{} и столбцов с номерами ЦЗ,}. Пусть Ш(тхп) — класс матриц с т строками и «столбцами. Если '.Ре: то Л (а, |3) — / х /-матрица из класса Ш{1х1).
6.2. Теорема Монтессу 235 Теорема Коши — Бине. Пусть А?Ш(тхп), В?Ш(пх1г), С^ЩЦкхп), А=ВС, Тогда А (а, Р), В (а, у) и С (у, C) являются I х l-матрицами и det Л (а, р) = 2 detfl(a, v)detC(v, P). ( Пример 1. Пусть А, В, С суть mxm-матрицы, a, P, суть полные m-мерные мультииндексы. Тогда формула Коши — Бине сводится к равенству det A = det В det С. Пример 2. Пусть А, В, С суть квадратные mxm-матрицы и /=1, так что a, P, у—обычные числа. Тогда формула при- принимает вид это известное правило умножения матриц. Пример 3. Если />&, то множество 54 ¦ ) пусто и det Л (а, Р) = 0. Это соответствует такому свойству: если строки матрицы линей- линейно зависимы, то ее определитель равен нулю. Пример 4. Пусть Л, В, С^Ш C, 3), А = ВС, а = A, 2) и р = A, 3). Тогда и det ^2 \эг п ап 22 = det 712 Ь22 '13 ^23 3 b2l , D31 ' '12 >22 '32 *13 L «33 32 ^3 1 С21 ,С31 .с 13 С23 F32 С33 j [c\i |l2 f det Кгт- \с: 31 13 **23 С33 [j-я строка] й столбец] Формулой Коши — Бине мы воспользуемся при доказательстве теоремы Монтессу. Теорема Монтессу применяется к функции /(г), которая меро- морфна в круге и имеет М полюсов внутри этого круга. Прак-
236 Гл. 6. Теория сходимости тическое применение этой теоремы возможно, если заранее из- известно М—число полюсов функции. В таком случае теорема Монтессу утверждает, что строка аппроксимаций Паде [L/M] сходится в круге. Если же число полюсов /(z) a priori не из- известно, что теорема обычно оказывается бесполезной. Полное утверждение теоремы Монтессу [de Montessus, 1902J в случае простых полюсов таково. Теорема 6.2.1. Пувть функция f (z) мероморфна в круге |z|^ ^.R и имеет в нем ровно М простых полюсов zt, zit ..., zM, Тогда lira [L/M] = /(z) B.1) L-»-oo равномерно на компактных подмножествах множества @>M*={z: |2|<Л, гфгг, г = 1, 2, ..., М}. B.2) Доказательство. Так как |zj|>0 и / (г) аналитична в круге |z|<|zi|, то справедливо разложение в степенной ряд B.3) Положим В(г)*= 2 5/2'«=ПA— -)• B.4) Тогда ряд А (г), определенный соотношением М \ / ю \ «о 2 В1*' ) 2 ctzl )- 2 V = ^ (г), B.5) сходится в круге |z|^/?, и функция /(z) представима в виде / (,z; — л (Z)/o (г), где o0=i. ^.DJ Приравнивая коэффициенты при г' для t = L+l, L-\-2, ... ..., L + M, L^M, получаем м 2 й/с,_/ = Л„ (=L+1, Z.+2, ..., l. + M. B.7) Рассмотрим теперь аппроксимации Паде 2-1 ^ 2
6.2. Теорема Монтессу 237 для коэффициентов b)L/M] имеем уравнения l, L + 2 L + M, B.8) bl0L/M] = 1 Покажем что b)L/M] где bl0L/M] = 1. Покажем, что b)L/M] —>¦ Bf при L —> оо; вывод этих соотношений является основной частью доказательства теоремы Монтессу. Положим Af = Bj—Ь)чм\ / = 0, 1, .... M; B.9) отметим, что А0 = 0. Из B.7) и B.8) получаем М уравнений для величин А,, А2, ..., Аж: м 2А/с,_/ = Л,, / = L+ I, L + 2, ..., L + M. B.10) Пусть : . -(: V .- : , ,,„ .. eL / \АЖ/ \AL+M/ тогда B.10) принимает вид СА = А. Таким образом, А = С~1А, если матрица С невырождена. Отсюда получаем м м 2 с (/> 0 Ai .& det С (*-,«) /0 |ОХ д _ (\ A =*— где С(/, /) — алгебраическое дополнение элемента, стоящего в i-й строке и ;-м столбце, а С (г—>¦ Л) означает матрицу, полученную из С заменой г-ro столбца на А. Для доказательства соотноше- соотношения А, —*- 0 изучим поведение миноров С (j, i) и определителя detC при L — oo [Hadamard, 1892]. Так как функция /(г) имеет ровно М простых полюсов в круге | г \ < R, то, учитывая вклад этих полюсов в коэффи- коэффициенты Тейлора, получаем со М <ю ,-=о оо где ряд 2 с'гг' сходится в замкнутом круге j г \ ^ R и с] = О(/?"'). Разлагая в ряд функции A—г/гк)~1, получаем из B.13) ¦). B-14)
238 Гл. 6. Теория сходимости где Af 4=2/***' B-15J — главная часть коэффициента сг. Определим матрицу D по фор- формуле м Dii==dL+{_j= 2 rkZbL-i+i, i, / = 1, 2, .... М; B.16) таким образом, D — главная часть матрицы С. Пример. Для М = 2 -L~\\rz-L-l r Z~L '¦ Г Z~L ,-L Если определить матрицы Вандермонда V, V и диагональную матрицу D' по формулам у /==(ziI~i, V'i=(Zr)J~1, D', = r,zj'L6lf (i, / = 1, 2, ...,M), B.17) то D можно записать в виде D = VD'V, B.18) а detD = detVdetD'dety. B.19) Нам понадобятся следующие хорошо известные разложения для определителей Вандермонда: м 1 det V = II П (zr1 — zr1) B.20) /= 2 ,•= 1 И Л1 1 detV" = II II (zi — 2y)- B.21) 1=2;=1 Важно то, что эти определители отличны от нуля и не зависят от L. Следовательно, м det О = AT II (zt)~L, B.22) где постоянная К отлична от нуля.
6.2. Теорема Монтессу 239 Займемся теперь определителем detC. Его главная часть дается ниже формулой B.23); в то же время из формулы B.14) видно, что имеется также конечное число членов, полученных заменой dt на величину О(/?"'). Обозначим через р = \г,м\ модуль полюса, самого далекого от начала координат; тогда м detC = /C Д (г/) A+0 (?)"). B.23) Аналогично, используя факторизационное представление B.18) и теорему Коши — Бине, получаем П Ufl-'J-O^ П|г«Г]. B.24) Так как ряд B.5) сходится в замкнутом круге |г|^/?, тоЛ,= = 0G?-'). Следовательно, из B.12), B.23) и B.24) получаем , = 0 (-?)', «=1, 2, .... М; B.25) откуда вытекает, что \t —* 0 при Z, —¦»-оо. Рассмотрим теперь разность ' lZ) LL//WJ ~ S (г) Имеем J 2 Л,г''У 2 V о / \/ о V 2 , 2 = о / \/«г о М п Используя формальное тождество, определяющее аппроксимации Паде, и замечая, что B(z) А[[-/мЦг) — полином степени L-\-M, получаем М и Л (г) В1*-/«](г) = 2 ,¦=0 Следовательно, М \А ( 2 Так как Ду —s- 0, то величины bjM] ограничены при L—>-oo. Функция Л (г) аналитична в замкнутом круге |z|^)?, поэтому для некоторого R' > R | Л (z) В^/М] (г) —В (г) AWW (г)\ = 0 ({z/R')L); B.27)
240 Гл. 6. Теория сходимости таким образом, числитель правой части B.26) стремится к нулю при L —>¦ оо для |z|^/?. Займемся теперь знаменателем правой части B.26). Имеем м 2 \В,—Ь)Ш1\-\г'\. B.28) Правая часть B.28) стремится к нулю для |г|^/? при L —<- оо. Пусть г принадлежит подмножеству круга |z|^/?, на котором |B(z)|>2e для некоторого заданного е > 0. Тогда найдется номер L(e), такой, что |BfL/MJ|>e для всех L>L(e). Следова- Следовательно, модуль знаменателя правой части B.26) ограничен снизу величиной 2е2 для всех L>L(e). Отсюда и из B.27) вытекает, что f (г)—[L/M]—s-0 при L—>¦ оо равномерно на компактных подмножествах множества 3>л. Теорема доказана. Приведем теперь общую теорему Монтессу, в которой до- допускаются кратные полюсы. Доказательство для этого случая технически усложняется. Теорема 6.2.2 [de Montessus, 1902]. Пусть функция f (г) меро- морфна в замкнутом круге \ г | ^ R и имеет внутри него т раз- различных полюсов г1г г3, ..., гт, т Пусть кратность полюса zk равна \ik и 2 №k — M. Тогда 2 = lira [L/M] равномерно на компактах, принадлежащих множеству @>m = {z: |z|6.2. Теорема Монтесеу 241 Для биномиальных коэффициентов / — х\ (-т)(-т-1)...(-т-»+1) __ (t+D (t-f-2) •-• (f+т—1) (_w \ i) 1X2X...XI 1 X2X ... X(T-1) l ' выполняется тождество ([Riordan, 1966, с. 9], см. также упраж- упражнение 2) V i + x—1 S ,40, Следовательно, элементы dL+i_j(i, j = I, 2 М) матрицы D равны это равенство можно переписать в виде матричного произведения индекс строки ( индекс строки (к, о) индекс столбца {к, а) индекс столбца / Кроме того, V a AT_i_a-o t=o+l o'=0 ч ' ч т=о'+о+1 o'* индекс строки I индекс столбца о' н индекс строки а' индекс столбца (ft, a)
242 Гл. 6. Теория сходимости Отсюда вытекает следующее разложение D: 2j 2j (fc'.O'l (ft. O) где , о') (ft, о) = °ftft' t=e'+c + i B.32a) B.32b) Матрицы V и У — по существу матрицы Вандермонда; можно проверить, что их определители отличны от нуля (см. упражне- упражнение 1). Наличие сомножителя 6№ означает, что матрица D' имеет блочно-диагональную форму; из наличия функции Хевисайда 9(н*—о—о' — 1) вытекает, что каждый блок матрицы D' имеет треугольный вид. Следовательно, B.33) где К — ненулевая постоянная. Отметим, что в приведенных рас- рассуждениях требовалось только, чтобы вычеты г^фО; на вели- величины остальных вычетов никаких ограничений не накладывается. Соотношение B.33) эквивалентно соотношению B.22) в теореме для простых полюсов. Завершается доказательство так же, как и в предыдущей теореме. Пример. Пусть /(г) имеет полюс тройной кратности в точке г = г1 и полюс двойной кратности в точке г = гг. Тогда ^ = 3, щ = 2, и индекс (к1, о') принимает значения A,0), A,1), A,2), B,0), B,1). Получаем [L + 2) (L + 3) гГ2 z L1 -t 5JГ' I-6J7" гГ (LT С2 . B.34) J
6.2. Теорема Монтессу 243 Блок A, а')хA, а) матрицы ?><*<, О') <*, а) имеет вид а=1 а' = [ + 2/i]r ^ О его треугольная структура очевидна. Подчеркнем теперь некоторые особенности теоремы Монтессу. Во-первых, мы предполагали, что функция мероморфна в замк- замкнутом круге |г|^/?, а все полюсы лежат в открытом круге |г|1, все аппроксимации Паде [L/2] совпадают с /(г). Аппроксимация Паде [^/1] совпадает с частной суммой Тейлора, если L нечетно, и не существует, если L четно. На самом деле аппроксимации [?/1] используются реже, чем какая-либо другая строка; в общем в том случае, когда функция имеет полюсы, равноудаленные от начала коор- координат, выбор строки должен быть продуман. Отметим, наконец, что мы привели одно из конструктивных доказательств теоремы Монтессу. Этим же методом получается формула для остаточного члена [Gragg, 1972J. Существует также тесная связь между таким методом доказательства и симметри- симметрическими полиномами [ЕРА, стр. 135]. Приведенное доказатель- доказательство распространено и на случай нескольких переменных [Chi- sholm and Graves-Morris, 1975; Graves-Morris, 1977]. По этим причинам такой метод имеет важное значение; в следующем параграфе мы дадим более простое доказательство, не исполь- использующее явных формул.
244 Гл. 6. Теория сходимости Упражнение 1. Доказать, что определитель обобщенной мат- матрицы Вандермонда B.34) отличен от нуля и найти его величину. Такие определители иногда называются кратными определителями Вандермонда. Некоторые примеры этих определителей даны в ра- работе [Aitken, 1964, стр. 120], см. также [Chisholm and Graves- Morris, 1977]. Упражнение 2. Доказать соотношение B.31) g помощью тож- тождества Обратить внимание на неявные ограничения, имеющиеся в фор муле B.31): /', а, т—1 и L-\-i — / суть неотрицательные целые числа. § 6.3. Формула Эрмита и теорема Монтессу В этом параграфе доказывается формула Эрмита для разло- разложения в ряд Тейлора; из нее вытекает формула остатка для аппроксимаций Паде. Этот результат затем используется в эле- элегантном доказательстве Саффа теоремы Монтесеу. Формула Эрмита. Если /(г) аналитична внутри контура Г, охватывающего начало координат, и непрерывна на Г, то для аппроксимации Паде [Q0] справедлива формула Замечание. Эта формула—частный случай более общей фор- формулы Эрмита (т. 2, теорема 1.1.1); именно этот случай и понадо- понадобится в настоящем параграфе. Доказательство. Так как то правая часть C.1) есть полином от г степени L, равный /¦о г /=о ' Тем самым формула C.1) доказана. Следствие. При тех же предположениях относительно функ- функции /(г) (аналитичность внутри Г и непрерывность на Г) имеет
6.8. Формула Эрмита и теорема Монтессу 245 место следующая формула остатка для аппроксимаций Паде\ (z) RM (г) J ^м(г)— произвольный полином степени не выше М, отличный от тождественного нуля (можно выбрать RM (г) = 1 или другим удобным образом). Первый метод. С помощью формулы Эрмита запишем поли- полином, интерполирующий функцию f(z)QlL/Mi(z) RM(z) до порядка L + M 1 f» f(v)QlLW(v)RM(v) ^ГТГ dv- В то же время по теореме Коши имеем f (г) Q^m {г) Rm (г)=_L_ J _J_ f {v) qtuMj {v) Rm (o) dv Г Вычитая одно равенство из другого, получаем ш j ( г Из уравнений Паде вытекает, что / B) Qti/M 1 B) /?Л B) = {РШМ = Р№/Л] (г) /?д (г следовательно, B) = PW1 B) / так как /?Л1(г) — полином степени не выше М. Из (З.З1) полу- получаем C.2). Второй метод. Мы приводим второй метод для того, чтобы объяснить некоторый произвол, имеющийся в равенстве C.2). Применим теорему Коши к функции Ф B) = RM (г) {f (г) Qf^/^l (z)—Я^'«1 (г)} г"*-*. Из уравнения Паде вытекает, что ф(г) аналитична в окрест- окрестности начала координат, поэтому (РB)=о!- — г
246 Гл. 6. Теория сходимости где Г —произвольный простой замкнутый контур, охватывающий начало координат. Следовательно, X J (в—z)t/ + «+i + Е(г)\> C-4) (г v ' ) где Подынтегральное выражение в формуле для ?(z) аналитично при | v | > | г |, поэтому контур Г можно «стянуть» в точку у= оо. Так как /?ж (и) — полином степени не выше М, то подынтеграль- подынтегральное выражение есть 0(v~2). Значит, ?(г) = 0, что объясняет и доказывает формулу C.2). Используем теперь этот результат для доказательства теоремы Монтессу другим способом. Доказательство (метод Саффа). По предположению теоремы Монтессу функция /(г) мероморфна в круге |г|<7? и имеет в нем полюсы общей кратности М. Поэтому удобно выбрать полином RM{z) с нулями в полюсах функции /(г). Рассмотрим сначала случай, когда все полюсы /(г) простые; обозначим их через а^, а2, .... ам. Образуем полиномы Я0(г)=1, ^(г) = (г—ах)(г—а2) ... (г—ak) для fc=l, 2, ..., М. Тогда функция RM(z)f(z) аналитична в круге |г|^/?. Нам понадобится также полином м степень которого равна М; коэффициенты <4'- М) будут фиксиро- фиксированы позднее. Воспользуемся формулой Эрмита и построим поли- полином Тейлора степени L-\M для функции t'u М) (г) RM(z) f (г). Так как эта функция аналнтична в круге |г|^/?, то e_j_ С 2га J 11 ¦j—г XRM(v)[(v)dv. C.5)
6.3. Формула Эрмита и теорема Монтессу 247 Выберем теперь коэффициенты a{kLl т так, чтобы Ям (г) являлся множителем полинома nL+M (г). Это будет достигнуто, если Ль+м(ai) = О ДЛЯ ' = 1. 2, .... М. Тем самым мы пришли к си- системе линейных уравнений относительно величии ah ' '; S f diL-M\ C.6) * = о где '(tt"'i-w<'"w/w В формулах C.7) и C.8) можно перейти к пределу при L—> оо: ^¦«)_dy = _^. f !M» = 0 по теореме Коши, ML, М) _^ - _ 1 Г #ft (») /?Д| W / (») ^ ,о ОЧ Если / < ?, то c/ft = 0; величина Cjj^O и зависит только от расположения Л1 полюсов функции /(г) и вычетов в них. Полу- Получаем, во-первых, что для достаточно больших L система урав- уравнений C.6) относительно а%' м' не вырождена; во-вторых, ф, М) _+ о при L —+ оо. Следовательно, найдутся такие коэффи- коэффициенты \a{hL- M)\, что полином RM (г) является множителем Я? из C.5) получаем я^ж(г)//?А1(г) _ P'tM1J (г) _ / ы , п р, Ж) (г) Q\LiNI\ (г) — ' \г) + и \Z >> кроме того, /а> М) (г) —<• /?ж (г) при L —>¦ оо. Завершается доказа- доказательство с помощью формулы для остатка: из которой вытекает, что остаток стремится к нулю при \z\248 Гл. 6. Теория сходимости то (г—а,)/"—множитель полинома nL+M(z) из C.5). Полиномы \Rk(z), k = 0,1,- • -,Щ определяются с учетом кратностей полюсов; например, Rk(z)={z—а^)к, k = 0,\,..., р. Вместо C.9) имеем Если у < ?, то Cjk = O. Величина Cjj=?O. Кратность других по- полюсов учитывается аналогично; в остальном доказательство проводится так же, как и для случая простых полюсов. Особое значение приведенного способа заключается в том, что по такой схеме можно доказать теорему Саффа — обобщение теоремы Монтессу. В теореме Саффа устанавливается сходимость строки многоточечных аппроксимаций Паде (см. т. 2; § 1.1) для односвязного множества точек ? при условии, что точки интерполяции выбраны подходящим образом внутри области аналитичности заданной функции. Теорема 6.3.1 [Saff, 1972]. Пусть ?—замкнутое ограничен- ограниченное множество в комплексной z-плоскости со связным дополнением Й? (°° 6 Э?). Предположим, что задана последовательность точек интерполяции ЯШ Rd) °1 Рг C.10) i Рг • • -Pn+i» не имеющая предельных точек в Ж и такая, что lim n- п+1 II (*- 1=1 1/Л = cap^expG(z) C.11) равномерно по г на компактных подмножествах Ж; сар$ опре- определена в § 6.6. Для каждого а> 1 положим Га — линия уровня GB) = lna, a So—внутренность Г,. Пусть функция /(г) анали- тична на S, мероморфна в ?р для некоторого р > 1 и имеет в Sp ровно М полюсов о учетом их кратностей. Тогда для всех достаточно больших L существует единственная рациональная функция rlL'M*(z), интерполирующая f(z) в точках $\L+M), Р(/-+м>, ..., Р?км+,: Функция rWMi{z) имеет ровно М конечных полюсов, которые спгремятся к полюсам / (г) в $р. Кроме того, ri'-'Mi(z) —>¦ f(z) равномерно на компактных подмноокествах ?р, не содержащих полюсов /(г), и lim /sup п-* » \геё
6.3. Формула Эрмита и теорема Монтессу 249 Замечание. Теорема Монтессу (теорема 6.2.2) оказывайся следствием теоремы Саффа, если в качестве $ взять круг анали- аналитичности функции /(г). Понятия, используемые в теореме Саффа, вводятся в § 6.6 и т. 2, § 1.1. Мы отсылаем к работе [Warner, 1976] для обсуждения вопроса о последовательном выборе точек fJ(/" внутри ?, изучения различных обобщений теоремы Саффа и ее связи с теоремой Рунге о полиномиальной аппроксимации. Отметим, что функция G (г) определяется соотношением C.11), если в качестве {Р'/1', i=l, 2, ..., п) взять нули полинома Чебышева степени п для множества ?. Доказательство теоре- теоремы 6.3.1 проводится описанным выше методом. Используя контурные интегралы, можно без привлечения общей теории установить ортогональность полиномов C.12), ас- ассоциированных с рядом Стильтьеса или рядом Гамбургера с ну- нулевым радиусом сходимости. Рассмотрим функцию Гамбургера f(z) = -~R пусть Qtm-l/»i] (г) — знаменатель ее аппроксимации Паде [т— 1/т]. Определим полином т-й степени лт {и) по формуле ят («) = «""Qt'"-1/'"] (— 1/м), т=1, 2, ..., C.12) яо(«) = 1. Полиномы \пт (и), т=0, 1,2,...} взаимно ортогональны: Imk = \ пт (") лк (w) ^Ф (") = ^ Для /пфк. C.13) -R Доказательство [Zinn-Justin, 1970]. Так же, как и в § 5.3, положим w = —l/z и -R -R Используя теорему Коши, получаем R 1 Г С -х-т- \ пт (w) nk (w) F (w) aw— \ nm (u) nk (u) d
k. Так как
250 Гл. 6. Теория сходимости то контур интегрирования в C.15) можно стянуть в начало ко- координат и найти, что /mft = 0. Тем самым соотношение C.13) установлено. § 6.4. Единственность предела Характерной чертой аппроксимации Паде является то, что это рациональная функция. Поэтому если существует предел последовательности аппроксимаций Паде, то этот предел должен быть мероморфной (или даже голоморфной) функцией в некото- некоторой области комплексной плоскости. Естественно ожидать, что полюсы и вычеты аппроксимаций Паде стремятся к соответствую- соответствующим характеристикам предельной функции. Однако, так как ве- величина аппроксимации Паде в окрестности полюса предельной функции становится как угодно большой, сходимость в обычном смысле в окрестности полюса невозможна. Простейший техниче- технический прием, позволяющий преодолеть это затруднение, состоит в использовании сферической метрики. Обычная сходимость за- заменяется на сходимость на сфере. Многие теоремы о сходимости аппроксимаций Паде к мероморфным функциям более элегантно формулируются в терминах сходимости на сфере, при этом по- полюсы уже не принадлежат исключительному множеству [Baker, 1974]. Например, теорема Монтессу принимает вид: Если функция I (г) мероморфна в замкнутом круге \z\^R, имеет в круге \ z | < R полюсы общи кратности М и аналитична в начале координат, то строка [L/M] сходится к f{z) в сфери- сферической метрике {равномерно в круге \ z\^.R). Приведем определение сферической метрики [Ostrowski, 1925; Hille, 1959, с. 42]. Пусть fj и vt—два комплексных числа; они могут быть значениями v1 — f(z1), уа = /(г2) некоторой мероморф- мероморфной функции. Тогда расстояние x(yi> ys) B сферической метрике между vt и и2 определяется как длина хорды между точками Ру и Рг на сфере Римана (см. рис. 1). Точки Р, и Рг—точки пере- пересечения единичной сферы с центром в начале координат и прямой, проведенной из «северного» полюса N соответственно в точки ух и v2, лежащие в экваториальной плоскости. Начало координат 2 = 0 переходит в «южный» полюс S, а точка г=оо переходит в единственную точку ЛЛ Геометрическим методом получаем, что D.1) Доказательство. На рис. 2 показан вертикальный разрез сферы плоскостью, проведенной через «северный» и «южный» по-
6.4. Единственность предела 251 Рио. 1. Риманова сфера. люсы и точку Uj комплексной плоскости. Легко видеть, что NVi = 8scait a NPi = 2cosa1; поэтому NVi-NPi = 2. На рис. 3 показана плоскость, образованная прямыми линиями NV.P, и NV2P2. N О Рис. 2. Разрез Ри- маиовой сферы. То- Точка Vi соответству- соответствует точке vf в комп- комплексной плоскости. Так как NVil 2Pt подобны; поэтому Рнс. 3. Треугольник Л/Р^. Точки Vi и К2 соответствуют точкам B,H5jB комплексной плоскости. = 2, то треугольники NP2 ~ NP,.
252 Гл. 6. Теория сходимости Таким образом, РхРг = VjV^cos ax B cos а2), откуда немедленно вытекает формула D.1). Переход от комплексной плоскости к сфере Римана особенно полезен, когда г—>¦ то, так как на римановой сфере это соот- соответствует г —у ON. Для сферической метрики справедливо следующее неравенство, которое вытекает непосредственно из D.1): Х(»1. v*)< 2\v1—vi\. D.2) Этим математически выражается тот факт, что близким точкам в комплексной плоскости соответствуют близкие точки на сфере. С помощью элементарной геометрии нетрудно показать, что (оо, »)= , 2 — D.3) D.4) для всех vЛ и у2. Неравенство D.4) геометрически очевидно из рис. 1. Определение сферической метрики приводит к следующему результату. Теорема 6.4.1. Любая мероморфная функция непрерывна в сфе- сферической метрике. Доказательство. Пусть /(г) — мероморфная функция. Если г0— регулярная точка /(г), то при некотором р>0 f(г) аналитична в круге \г — zo|
0 можно найти б > 0, такое, что |e при |2-го|<6. Отсюда в силу D.2) получаем \г — го|<б, таким образом, для регулярной точки непрерывность в сфериче- сферической метрике доказана. Если г0 не является регулярной точкой, то это полюс /(г). В этом случае найдется целое т ^ 1, такое, что функция ср(г)= = (г — zoy f (г) аналитична в точке г0 и cp(zo)=^=O. Для любого заданного е > 0 имеем |/B)| > 2/в и х(/(г), оо)<е для всех таких г, что
6.4. Единственность предела 253 I Ф B) — фB0) |<-2 |фB0)|. Функция ф (г) непрерывна в точке г = г0, тем самым в некоторой окрестности этой точки х(/B). то) < е; это доказывает непре- непрерывность в полюсе. Иначе говоря, отображение z—+f(z) непре- непрерывно в сферической метрике. Следствие. Любая мероморфная функция, определенная в ком- компактной области, равномерно непрерывна на сфере. Доказательство. Отображение г —* Р {f (г)), где Р (/(г)) — точка Р на сфере Римана, соответствующая комплексному числу f(z), непрерывно на компакте. Поэтому оно равномерно непре- непрерывно. Установим теперь три теоремы, которые применимы, когда г принадлежит компактной области и можно использовать свойство равномерной непрерывности. Теорема 6.4.2. Пусть {Р„ (г)}—произвольная последовательность мероморфных функций, которая равномерно сходится в сфериче- сферической метрике в некоторой компактной области Э1 Тогда (i) предельная функция равномерно непрерывна в Э1 в сферичес- сферической метрике; (п) семейство {Рп (г)} равностепенно непрерывно в 5? в сфери- сферической метрике; (iii) предельная функция мероморфна внутри Э1. Доказательство. Пусть /(г) —предел последовательности {Рп(г)}. Докажем непрерывность /(г) в точке z = z0 в сфериче- сферической метрике. Так как для сферической метрики выполняется неравенство треугольника, то X (/ (г), / (*„)) < X (/ B), Рк B)) + % (PN (г), PN (г0)) + х (PN (г0), / (г,)). Фиксируем произвольное е > 0; тогда из равномерной сходимости Р„(г) к /(г) в сферической метрике вытекает существование та- такого номера N, что х(/B), Р„(г))<в/3, „г для всех n^-N и всех г, гй?сЯ. е/о) Свойство равномерной непрерывности функции PN(z) в сфери- сферической метрике дает число б > 0, для которого х (Pn (z), Pn (z0)) < < e/3 для всех г, г^Ш, \г — zo|<6. Следовательно, %(f(z), /B0))<е, т.е. f(z) равномерно непрерывна в &1 в сферической метрике. Свойство (i) доказано. Для доказательства (и), свойства равностепенной непрерыв- непрерывности, рассмотрим неравенство %(Р»(г)> Р»(го))<*- D.5)
254 Гл. 6. Теория сходимости Неравенство треугольника показывает, что D.5) справедливо, если X (/>„(*)> /B))<е/3, D.6) X (/(*). /(*.))< в/3 D.7) и X(/(*.), />„(*.))< в/3. D.8) Неравенства D.6) и D.8) выполняются для всех n>N(e) и лю- любых г, zo?5?; неравенство D.7) справедливо для всех таких г, zo?5?, что \г—20|<б(е). Следовательно, D.5) имеет место для всех п>Лг(е) при условии, что \г—20|<б(е), г, zo?9l. Так как при фиксированном k функция Рк (г) равномерно не- непрерывна в сферической метрике для г?91, то Х(ЛкB), ^ («.))< в При |2 —20|<в*(в). Выберем smin (е) = min {8f, 6j, ..., 8Л, б(е)}; тогда х(Рп(г), />„(г0))<е при тех г, го?5?, для которых \г—zo|<6min. Тем самым (П) доказано. Для того чтобы доказать мероморфность f (г) внутри Э{, рас- рассмотрим произвольную точку г0 внутри 5?. Если величина /(г„) конечна, то найдется замкнутая окрестность |г—zoj^6, в кото- которой / (г) является равномерным пределом последовательности аналитических функций. Поэтому по теореме Вейерштрасса /(г) аналитична внутри этой области. Если величина /(г0) бесконечна, рассмотрим функции (Рп(г))~1, которые аналитичны в точке г = г0 для достаточно больших п. Следовательно, по теореме Вейер- Вейерштрасса (/(г)) аналитична в точке г = г0. Поэтому f (г) меро- морфна внутри 5?. Воспользуемся теперь теоремой Арцела для выделения под- подпоследовательности, к которой применима теорема 6.4.2. Теорема 6.4.3 [Hille, 1962, с. 241]. Пусть {Рп (г)}—бесконеч- (г)}—бесконечная последовательность мероморфных функций, равностепенно не- непрерывная в сферической метрике для г, принадлежащих компакт- компактной области 5$. Тогда найдется бесконечная подпоследовательность последовательности {Рп (г)}, равномерно сходящаяся к функции /(г), которая равномерно непрерывна на сфере для г?Э1 и меро- морфна внутри Э1. Доказательство. Воспользуемся методом доказательства тео- теоремы Арцела (теорема 5.2.5) для того, чтобы из последователь- последовательности {Рп(г)} выделить подпоследовательность, равномерно схо- сходящуюся на 5?. Тем самым, будут выполнены условия теоремы 6.4.2, откуда и вытекает нужный результат. Этой теоремой завершается подготовка к доказательству тео- теоремы о единственности предела. Как и в случае рядов Стиль-
6.4. Единственность предела 255 гьеса, теорема Арцела приводит к сходящейся подпоследователь- подпоследовательности. Этот результат вместе со сходимостью всей последователь- последовательности в окрестности начала координат дает сходимость всей по- последовательности и в большей области. Теорема 6.4.4. Пусть Pk(z) = [Lk/Mk]—последовательность ап- аппроксимаций Паде функции f(z), регулярной в начале координат, причем Lk -f- Mk —> оо при k —»• оо. Если последовательность {Pk (г)} равностепенно непрерывна в сферической метрике в одно- связной компактной области 91, содержащей начало координат в качестве внутренней точки-, то область определения функции f (г) можно расширить так, что /(г) будет мероморфна внутри 5$, и [Lk/Mk] сходится к f (г) в сферической метрике для всех г g 5$. Доказательство. По теореме 6.4.3 существует по крайней мере одна предельная функция [(г), мероморфная внутри 91 и такая, что /@)^/@). Следовательно, найдется р, такое, что f(z) и f(z) аналитичны в круге | г \ < р. Рассмотрим теперь всю последова- последовательность {Pk (z), k=\, 2, 3,...}. Из равностепенной непрерыв- непрерывности этой последовательности в сферической метрике вытекает, что для любого е > 0 найдется б == б (е) > 0, такое, что е при |z|<6256 Гл. 6. Теория сходимости Теорема 6.4.5 [Baker, 1965J. Пусть Pk(z) = [Lk/Mk}—последо- [Lk/Mk}—последовательность аппроксимаций Паде функции / (г), аналитической вначале координат, и последовательность |Pfe(z)| равномерно ог- ограничена в односвязной ограниченной области SD, содержащей на- начало координат. Если Lh-\-Mk—> оо при k—»-оо, то Pk(z)—>-/(z) равномерно в каждой области 5?, компактно принадлежащей SD, и функция f(z) аналитически продолжается в Э1. Доказательство. Покажем прежде всего, что последователь- последовательность {Pk (г)} равностепенно непрерывна в &>. Если функция | Pk (г) | ограничена в ?Е>, то Pk(z) аналитична в <2>, так как он;< является ряпиональной функцией. Следовательно, ^*_ = _!_ С pk И dw dz 2я[ J (z—шJ ' где С—круг радиуса б с центром в точке г, причем 6 выбрано одним и тем же для всех z ? 9L. Тем самым последовательность ) P'k (z) | равномерно ограничена в ?А. Отсюда вытекает, что {Pk(z)} — равностепенно непрерывная последовательность. Тогда в силу теоремы 6.4.4 {Pk (г)} —> f (г) равномерно в сферической метрике, и функция f(z) как равномерный предел ограниченной последовательности не просто мероморфна, а аналитична в Я. Теорема доказана. В теореме 6.4.4 утверждается, что предельная функция меро- мероморфна в Я. Следовательно, если заданная функция не являет- является таковой, а остальные условия теоремы выполняются, то по- последовательность аппроксимаций Паде не может быть равносте- равностепенно непрерывной в сферической метрике. Аналогично, если функция f (г) не является аналитической, но имеют место другие условия теоремы, то последовательность аппроксимаций Паде для /(г) не может быть равномерно ограниченной. Результаты, подобные приведенным, имеются в работе [Jones and Thron, 1975]: в работе [Jones and Thron, 1979] получены обобщения на случай рядов Лорана с конечной главной частью. Другие важные резуль- результаты о сходимости аппроксимаций Паде для функций, аналити- аналитических в начале координат, получены в работах [Chisholm, 1966], [Beardon, 1968a] и [Baker, 1970]. Упражнение 1. Найти три точки v, vt и v$ в комплексной плоскости, такие, что \v,—у|<|у2—v\, но %(vt, v)>x(vi> v)- Упражнение 2. Доказать, что для сферической метрики выпол- выполняется неравенство треугольника. Упражнение 3. Представить результаты последнего раздела настоящего параграфа в виде двух самостоятельных теорем.
6.5. Сходимость по мере 257 § 6.5. Сходимость по мере Мы будем неоднократно использовать формулу остатка C.2) для аппроксимаций Наде: /civ E-1) Основное соображение заключается в том, чтобы оценить в E.1) величину \QU/m(z)\~l, используя такую оценку, которая изве- известна для любого полинома степени М. Эта оценка дается нера- неравенством k-B)|>Ti- E.2) где полином qm (z) имеет единичный старший коэффициент; она справедлива всюду в г-плоскости, за исключением множества ?, мера которого не превосходит ntf. Обычно о расположении этого исключительного множества нам ничего неизвестно, однако для его площади справедлива указанная оценка. Теоремы, которые мы докажем ниже, справедливы для г, лежащих вне множеств произвольно малой меры. Это означает, что в этом параграфе не содержится никаких утверждений о поточечной сходимости в г-плоскости. Все результаты основаны на том, что площадь исключительного множества, содержащего нежелательные комбинации полюс — нуль аппроксимации, произ- произвольно мала. В качестве примера E.2) рассмотрим случай, когда qm(z) == = (г—а)т; этот полином имеет степень т и единичный старший коэффициент. Тогда ) qm (г) | ^ х\т всюду вне круга \z—а|<т], площадь которого равна щг. Этот пример является крайним случаем: все корни полинома qm(z) расположены в точке z = a. Из него видно также, что теорему нельзя улучшить. Если корпи qm (г) достаточно далеки друг от друга, то оценка measc^ < лг|2 оказывается слишком грубой оценкой площади многокомпонент- многокомпонентного множества, на котором | qm (z)| < цт. Непосредственно из соотношения E.1) вытекает оценка для |/(г) — [L/M] |, если вос- воспользоваться неравенством E.2). Этот подход (см. [Zinn—Justin, 1971]) приводит к интересным теоремам о сходимости последова- последовательностей аппроксимаций Паде. В настоящее время они счита- считаются наиболее естественными теоремами общего характера о схо- сходимости аппроксимаций Паде аналитических функций. Всюду в этом параграфе предполагается, что нужные аппро- аппроксимации Паде существуют. Теоремы необходимо понимать имен- именно в этом смысле. Правая часть E.1) не обязательно приводит к существованию аппроксимации Паде. Так как, например, в каждой строке существует бесконечная подпоследовательность
258 Гл. 6. Теория сходимости аппроксимаций Паде, то теорему о сходимости строки по мере можно было бы сформулировать как теорему о сходимости беско- бесконечной подпоследовательности существующих аппроксимаций Паде. Во избежание излишней громоздкости формулировок мы четко оговариваем, что результаты этого параграфа относятся только к существующим аппроксимациям Паде. Ни одну из тео- теорем нельзя понимать как утверждение о существовании аппро- аппроксимаций Паде. Первая теорема аналогична теореме Монтессу; затем мы перей- перейдем к последовательностям, аналогичным диагональным. В самом доказательстве представляет интерес то, что площади исключи- исключительных множеств для аппроксимаций Паде [Lk/Mk] можно огра- 00 СО ничить величинами б4, такими, что 2 \ < °° и 2 ^>* < б, где 6>0—произвольное заранее выбранное число. Отсюда вытекает сходимость по мере последовательности [Lk/Mk], k=\, 2,'..., при условии, что аппроксимации Паде существуют. Важно раз- различать теоремы, в которых утверждается сходимость всей после- последовательности существующих аппроксимаций Паде, и теоремы о сходимости только некоторой подпоследовательности. В первой теореме устанавливается сходимость по мере строки аппроксимаций Паде для мероморфной функции. Такая более слабая форма теоремы Монтессу применима в случае, когда из- известно, что степень знаменателя не меньше (вместо точного сов- совпадения) числа полюсов внутри круга сходимости строки. Теорема 6.5.1. Пусть функция / (г) аналитична в начале коор- координат, а также в круге \z\^.R, за исключением т полюсов, под- подсчитываемых с учетом кратностей. Рассмотрим строку аппрокси- аппроксимаций Паде [L/M] функции f(z), где М фиксировано, М^т, и L—юо. Предположим, что заданы произвольно малые положитель- положительные числа е и б. Тогда найдется номер Lo, такой, что |/(г) — — [Z.//W] | < е при всех L > Lo и всех | г | < /?, за исключением z(z&u где <&i—множество точек в z-плоскости, мера которого меньше б. Доказательство. Пусть ait щ, ... , ат — полюсы /(г) в круге |г|<Я и #.B) = (г—ai)(z—о,) • • • (г—ат), так что функция Rm(z)f(z) аналитична при |г|6.5. Сходимость по мере 259 где QM(z)^Qa'm(z). При \z\ оо |/(z) —[L/MJI —О
260 Гл. 6. Теория сходимости для |г| k0 и | z | < R, исключая г ?$k, где meas^fe < б, при условии, что (i) Lk/Mk —*¦ оо при k—*oo (МкФ0), и (и) Mk^M для всех &>&„. Доказательство. Уменьшение величины г| приводит к более сильному результату, поэтому, не теряя общности, можно считать, что R/ц > 1. Поскольку Mk^M, то справедливо E.8); так как /И' 0 найдется номер k0, такой, что хг1п R при всех k > k0. Следовательно, L'{f ) M h Выберем теперь e' = min{l, (e/K) (r)/2R)m}, эта величина положи- положительна; тогда \f(z)-[Lk/Mk]\ k0. Следствие 2. В предположениях теоремы относительно функ- функции f (г) и величин е, б и М найдется Lo, такое, что \f(z)-[L/M]\L0 и всех |г|6.5. Сходимость по мере 261 Доказательство. Для аппроксимации Паде [/ + LjM] получаем из E.8) l^*»^*^™*] E.9) вне множества $t, мера которого не больше щ}. Не уменьшая общности, можно считать, что R/r\t>l. Учитывая, что M'sglM, выберем L, так, чтобы гда е>0 — некоторое заранее выбранное малое число. Пусть число г|г удовлетворяет условию 2 [/ / | \М+т II! (i) «Ь E.10) благодаря которому из E.9) вытекает, что вне множества <§t, мера которого не больше лт]|. Уравнение E.10) можно переписать в виде Z таким образом, Z^ = 2n^/R{tm+m). E.11) Выберем теперь /' так, чтобы S. Это неравенство означает, что общая мера всех индивидуальных множеств для аппроксимаций Паде [l + L/M], I > /', произвольно мала. Таким образом, сходимость строки по мере доказана. Теорема 6.5.2. Пусть f (г) аполитична в начале координат, а также в круге | г | ^ R, за исключением т полюсов, подсчитываемых с учетом кратностей. Рассмотрим последовательность аппрокси- аппроксимаций Паде [Lk/Mk] функции /(г), где Mk^m и LkIMk—+ oo при k~*oo (МкФ0). Пусть е и б—произвольно малые положитель- положительные числа. Тогда найдется номер k0, такой, что при k > k0 \f(z)-[Lh/Mk]\262 Гл. 6. Теория сходимости Теорема 6.5.2 объясняет утверждения предыдущей теоремы и ее следствий. Доказательство аналогично приведенным выше. Следствие 2 теоремы 6.5.1 о сходимости строк представляет собой сильный результат. Напомним, что исключительные мно- множества содержат полюсы аппроксимаций из круга | г | < R в качестве внутренних точек. Сходимость, строки естественно ожи- ожидать в круге |г| Мо аппроксимации Паде [М/М] удовлетворяют неравенству \f B) -[/И/Ж] |< 8 на любом компакте в г-плоскости, исключая множество $м, мера которого меньше б. Доказательство. Из произвола в выборе масштаба в г-пло- г-плоскости вытекает, что в качестве компакта достаточно рассмотреть круг |г| < 1. Положим Л = у Кб/л; не теряя в общности, можно считать, что 0<т)<1. Пусть = C/-П)8. Для некоторого достаточно малого А, 0 < А < 1, найдется число R, такое, что (i) f(z) аналитична в кольце R—А < | г| < # +А, (ii) R>Rmir), (Hi) в круге |z|<# функция /(г) имеет m = m(R) полюсов в точках z = ult i = 1, 2 т.
5.5. Сходимость по мере 263 Воспользуемся теперь интерполяционной формулой Эрмита f(z) \м/м\ - где М^т, QM(z)ssQlM'MHz) и Я» (*) = Й ( Так как | г | < 1, R > #min > 2, то sup 11 где Л^= sup |/@l- Из E.6) при некотором УИ'^М получаем sup |РЛ@/?«@1 /? Ш^ < _ . E.13) I Qm [г) Rm B) I |Я«(г)|П |*-«// Знамеггатель правой части E.13)—модуль полинома с единичным старшим коэффициентом; для него справедлива оценка |Я„B)|П \г-г{\>цм'™ E.14) вне множества <^>Д], мера которого меньше лт]2 = б. Объединяя E.12), E.13) и E.14), получаем Пусть М > 2m; так как R > (З/riK, то для всех М, больших некоторого Мо, и г, не принадлежащих множеству ?м, мгра которого меньше б. Как уже отмечалось, теорема 6.5.3 представляет собой наибо- наиболее слабый из известных результатов о сходимости по мере луче- лучевых последовательное гей. Тем не менее эта теорема дает основу для дальнейшего развития. Во-первых, вместо диагональной можно рассмотреть последова- последовательность вида [Lk/Mk], k=l, 2, ..., где 264 Гл. 6. Теория сходимости Рис. 1. Область в таблице Паде, соответствующая неравенству E.15). условии, что Lk-\-Mk—»¦ оо, этого ограничения достаточно для сходимости по мере. Во-вторых, функция /(г) не обязательно должна быть меро- морфна; она может иметь 1акже счетное число изолирован- изолированных существенно особых точек Это означает, что функции ехр[—A —г)] и ехр[гГ(г)] —допустимые, а функции, особые точки которых имеют в конечной г-плоскости предельную точку, таковыми не являются. Теорема 6.5.4 [Pommerenke, 1973]. Пусть функция I (г) анали- тична в начале координат, а также во всей г-плоскости, за исклю- исключением счетного числа полюсов и существенно особых точек Пред- Предположим, что заданы е > О и б > 0. Тогда найдется М„, такое, что при М~^Мп аппроксимации Паде \L/M\ лучевой последователь- последовательности, соответствующей L = ХМ (к Ф 0, Хфоо), удовлетворяют неравенству \f(z)-[L/M]\ 0 и Я > #min таковы, что (i) /(г) аналитична в кольце R—А < |г| < + (ii) f (г) имеет m — m{R) полюсов г = и{, г=1, 2 круге |г|<Я; E.16) т, в
6.5. Сходимость по мере 265 (iii) /(г) имеет \i = ix(R) существенно особых точек z = wt, /=1, 2 ц, в круге |z|¦ оо и /?—*оо, но держать степень полинома 7? л (г) достаточно низкой. В любом случае полином RM (г) имеет единичный старший коэффициент и степень меньше, чем М. Воспользуемся теперь формулой Эрмита f (г\ -\LIM\ - *L+M+1 S ЧмЮЬмМЮ dt где Qm(z) ^Q[Z-/M1 (z), а замкнутый контур С охватывает начало координат и не содержит особых точек функции Qm(z)f(z). Отсюда, заменяя контур С на окружность, содержащую внутри себя существенно особые точки, находим { i т^!?4 EЛ9) где /(г)= С ММШд. E.20) Интеграл E.20) — контурный интеграл по окружности радиуса 6ft с центром в существенно особой точке z — wk. Оценим Ik(z) при |г—wk\>2bk. Применяя теорему о максимуме модуля к поли- полиному QM(l) /?m@ У—®к)~р> имеем 1 гл в (Лп sup IQ- СО «я @1 ?и @ Rm@ II / |<|=я (i-wk)P |/|=/ Следовательно, при |г —шь|>2бй ^p |/гл@<гя@1.. t e l/(')|6? |/*B)|<^ Д? - L+M+i • E.21)
266 Гл. 6. Теория сходимости Положим теперь E-22) Тогда в силу E.16) круги \г—а°к\<26к, покрывающие сущест- существенные особенности функции в круге |г| < 1, имеют малую общую меру. Из E.22) имеем \ R j Положим sup 1/@1=/С», I '-«* 1=бй где /Cft не зависит от М; тогда sup |/гм @ (З/rj)' + -Л и Л] достаточно велико, имеем |/(г) — [L/M]| < е вне множесмва $м и малых
6.6. Лемнискаты, емкость и мера 26? кружков, покрывающих существенные особенности функции /(г) в круге |г| < 1. Следствие 1. Эту теорему можно обобщить на случай произ- произвольных последовательностей, расположенных в той части таб- таблицы Наде, которая указана на рис. 1. Следствие 2 [Zinn-Justin, 1971J. Пусть функция f (z) меро- морфна в круге \z\^.R и qM—число нулей полинома QM (г) в круге |г| < R. Если ом In M n , , ¦^-tj *0 при М—>-оо, то аппроксимации Паде [М/М] сходятся по мере к функции f (г) в круге | г |< R/V~3. Следствие 3 [Zinn-Justin, 1971]. Если f (г) — целая функция порядка меньше чем 2/%, то подпоследовательность ее аппрокси- аппроксимаций Паде [КМ/М] сходится на каждом компактном подмно- подмножестве комплексной г-плоскости, за исключением множества произ- произвольно малой меры. Мы приводим эти следствия без доказательств. Второе и третье из них интересны с той точки зрения, что они показывают, как большие ограничения на класс рассматриваемых функций при- приводят к более сильным результатам о сходимости. Однако если известна только мероморфность функции f (г) в круге |г|<7?, то никаких теорем о сходимости по мере в этом круге ее диаго- диагональных аппроксимаций Паде до сих пор не получено. Мы отсы- отсылаем читателя к работе [Edrei, 1975], в которой допускается в качестве особенности предельная точка полюсов в отличие от изо- изолированных особенностей в теореме Поммеренке. § 6.6. Лемнискаты, емкость и мера Детальное и строгое изложение основ теории емкости и меры не является целью этого параграфа. Скорее нам хотелось пока- показать, почему результаты предыдущего параграфа становятся гораздо более сильными, если их переформулировать в терминах емкости и меры Хаусдорфа. В основе § 6.5 лежит результат, связанный с леммой Кар- тана [Cartan, 1928; Nuttall, 1970 b], о том, что для полинома qm (г) с единичным старшим коэффициентом неравенство | цт (г)| > г|а выполняется всюду вне множества <§, мера которого не превос- превосходит лг|2. Граница этого множества, задаваемая равенством \qm(z)\—'\\tn, называется лемнискатой; тем самым все результаты
268 Гл. 6. Теория сходимости § 6.5 справедливы вне произвольно малых областей, ограничен- ограниченных лемнискатами. Мы увидим, что естественной мерой величины таких областей является их емкость. Напомним сначала известный результат Чебышева о полиноме, минимизирующем максимум модуля па интервале —l^x^l. Задача заключается в том, чтобы в классе Рп всех полиномов р„(х) степени п с единичным старшим коэффициентом найти по- полином Т„ (х), для которого достигается величина inf sup \pa(x)\. Рп (х) 6 Р„ -1 < х < 1 Решение этой задачи хорошо известно. При п ^ 1 Тп (х) = дд,| cos (n arccosx) — полиномы степени п с единичным старшим коэффициентом, а inf suj Рп(х)бР„ -I <; Линейная замена переменных inf sup \рп(х)\ = -2п-=х • (б-1) приводит к такому результату: inf sup |,nW|==(l=i)-(^). F.3) На случай произвольного компакта в г-плоскости эти идеи обобщает следующая теорема. Теорема 6.6.1. Пусть ?—компакт в комплексной плоскости {содержащей бесконечно много точек). Тогда существует единст- единственный полином—полином Чебышева, для которого достигается величина Мп= inf sup[/?n(z)|. F.4) Рп (г)бРп *€g Минимаксный полином 7\,(г)==ПB-**) F-5) имеет все нули zt в выпуклой оболочке ?, а максимум Мп вели- величины | Тп (г)| достигается по крайней мере п раз на <§. Обсуждение. Мы не будем доказывать эту важную теорему (см. [Hille, 1962, с. 265]); ограничимся некоторыми пояснениями. Нетрудно увидеть, что все точки zt лежат внутри выпуклой оболочки ЗС множества ?. Предположим противное; пусть точка
6.6. Лемнискаты, емкость it мера 2G9 Рис. 1. Множество (^5 = (^5iU г- Объединение заштрихованной области и мно- множества <§ составляет выпуклую оболочку $. г, лежит вне выпуклой оболочки множества Ж и точек г2, г,, ... ...,2„. Рассмотрим надлежащим образом выбранную точку г[ и точку г', в которой достигается имеем sup |z zeg \ „ = SUP n|2- й 1=1 ?=2 2'-2.| III 2 I ,' »' I ТТ I г I т' г,-1 — m что противоречит свойству минимальности величины М„. Таким образом, все нули полинома Тп (г) лежат в выпуклой оболочке (?\ Доказательство существования минимаксного полинома осно- основано на том, что вместо класса всех полиномов достаточно рас- рассмотреть полиномы с нулями, лежащими в замыкании выпуклой оболочки. Доказательство существования и единственноеги поли- полинома Тп (х) в общем случае мы опускаем. Так как ?'— компакт, то очевидно, что максимум ^„(z)! достигается па /V такой полином определен не однозначно, что делает естественным исключение этого вырожденного случая. Следствие. Полином Чебышева Тп (г) для множества ?" опреде- определяет лемнискату \Тп(г)\ — Мп и соответствующую лемнискатную область J?'„: М„ для всех z
270 Гл. 6. Теория сходимости Тогда ?czJ?n, и граница 3/„ имеет по крайней мере п точек, общих с ?. Обсуждение. Важный результат следствия заключается в том, что множество ? превращается в подмножество лемпискатной области J?n, заданной неравенством \Тп(г)\^Мп. Доказатель- Доказательство немедленно вытекает из теоремы о максимуме модуля и из основной теоремы. Следующие три теоремы мы приведем с доказательствами, так как эти доказательства иллюстрируют структуру лемнискат и сущность понятия емкости. При этом неоднократно будет исполь- использоваться теорема о максимуме модуля, утверждающая, что макси- максимум модуля функции^ аналитической в комплексной области, достигается на границе этой области. Теорема 6.6.2. Пусть ? —компакт в комплексной г-плоскости (содержащий бесконечно много точек). Пусть Тп (г) — полиномы Чебышева для ? и М (" = сар?. F.7) Доказательство. Единственное, что требуется установить, это существование предела F.7). Для этого положим 0 можно найти N, такое, что \TN(z)\ < (a + 8)^ для всех При любых положительных целых m и k, m <. N, имеем \zm[TN(z)]k\6.6. Лемнискаты, емкость и мера 271 не зависит от k. Так как zm[TN(z)]k—полином степени m-j-kN, то +Nk) (а + е); переходя к пределу при k—>¦ оо, получаем F.8) Соотношение F.8) справедливо для всех положительных т < N и любого е > 0. Следовательно, р = я и определение F.7) кор- корректно. Емкость сар 0 найдется
272 Гл. б. Теория сходимости biz ^Rez Рис. 2. Отображение кривых К1 точки ветвления в ^-плоскости. К2 на окружность ]?|=р; показаны две достаточно большое п, такое, что |Гп(г)|<[сар6.6. Лемнискаты, емкость и мера 273 значим через \ik. Если точка z движется вдоль Kk, то точка п ? = /?(z) = Д (z— Z{) обходит \xk раз окружность |?[ = Р> а точка 1 обХОдИТ один раз окружность | ^' | == p1/jxfe Рассмотрим теперь отображения г —>¦ /?(z) = ? —>¦ ?1/ц* = ?' и обратное отображение ?'—->-z =/(?'). Ясно, что р(г) — однознач- однозначная функция от г, но обратное отображение z = z(Q таковым не является и имеет п—1 точек ветвления там, где p'(z) = 0. Однако если па окружности | | — р нет точек ветвления, то одна из ветвей функции z = /(?') регулярна на |?'| = р1/ц* и имеет разложение в ряд Лорана /=-00 т. е. z= 2 а^'С'7"*. F.12) /=- сю Найдем площадь множества, ограниченного кривой Kk: meas Kh =-j ф {x dy—у dx) =-^ ^ Re ^— = F.13) V of p'^ = я 2 /K'Pp2'7^. /=-00 Поэтому m m Г a» « 2 meas Kk = 2 n 2 /1 «f' Г p2'7^- 2 /1 <&) |2 P'7"* • A=l /(=1 L/ = I / = 1 J Равенство F.13) показывает, что наше утверждение достаточно доказать для достаточно больших р. Для таких р кривая Кх со- содержит все п корней полинома p(z), поэтому (Xj = n, m=l. Так как ?, = р(z) = z" + clz"-1+ ... +сп, то г = /(?') = ^/я + ао + ^?-1/л+..., F.14) и для достаточно больших р F.13) принимает вид 2 measKk = np"-'n— 2 / |й-/|2Р~2//". F.15) *=1 / = 1 Следовательно, meas^n ^ яц2, если т] = р1'.
274 Гл. 6. Теория сходимости Теорема доказана, однако интересно отметить, что F.10) пре- превращается в равенство, если в F.15) а„ = а,= ...=0 В этом случае из F.14) вытекает, что лемниската — это окружность \z\" = p". Обратимся теперь к некоторым примерам. Пример 1. Емкость интервала a^LxsZZb равна (b—a)/i. Обсуждение. Воспользуемся результатом F.1) [Cheney, 1966, стр. 61; Rivlin, 1969, гл. 1J. Тогда с помощью подстановки F.2) получаем формулу F.3), а из F.7) вытекает, что cap {—1 <л:< 1) = у, и утверждение доказано. Пример 2. Емкости круга | г К R и окружности | z | = R равны R. Доказательство. Окружность |г[ = ^ — это лемниската, задан- заданная уравнением \zm\ = Rm. Таким образом, утверждение следует из теоремы 6.6.3 (а тгкже из доказательства теоремы 6.6.4). Пример 3. Если <§—счетное множество, то сар<^ = 0. Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения. Приведем теперь без доказательства две важные теоремы о емкости. Каждая из них способствует более глубокому проник- проникновению в существо этого важного понятия. Теорема 6.6.5 [НШе, 1962, стр. 268—273]. Пусть <§—компакт. Тогда = lim Г max Ц |г,— л-+» [ ZjZg 1а?, то cap 3) ?
6.6. Лемнискатьи емкость и мера 275 Следствие 2 (однородность). Если г' =az + b—отображение на <§', то ^' ||^> Теорема 6.6.6 [HiНе, 1962, стр. 280—289]." Пусть \i {г) —нор- —нормированная мера, определенная на <8\ положим Пусть = $ [ In (| 2Х—z.l) 0 полином ри (г) = J J (z — z,) удовлетворяет неравенству \Р«(г)\>{№а F-16)
276 Гл. 6. Теория сходимости всюду в комплексной г-плоскости, за исключением не более п кру- кругов, для радиусов г{ которых справедлива оценка 2 i=\ Доказательство этой теоремы мы здесь не приводим, а для выяснения роли меры Хаусдорфа в теории сходимости аппрокси- аппроксимаций Наде отсылаем читателя к ЕРА (гл. 14). Отметим, что не- неравенства типа F.16) являются основными при исследованиях по этой тематике. Кроме того, отметим, что многие из этих резуль- результатов с необходимыми изменениями распространяются также на случай рациональной интерполяции [Walsh, 1969, 1970; Karl- sson, 1976]. В заключение этого параграфа подчеркнем еще раз, что, про- проследив за ходом доказательства теорем из § 6.5, мы убеждаемся в том, что в них доказывается сходимость по емкости; такие ре- результаты существенно сильнее, чем сходимость по мере. В част- частности , интервал имеет нулевую плоскую меру, но ненулевую емкость (и ненулевую 1-меру Хаусдорфа); поэтому конечный интервал, а так- также любое множество, содержащее конечный интервал, не могут быть исключительным множеством в теоремах § 6.5. Наконец, привле- привлечем внимание читателя к результату Натолла о том, что для некоторых функций с точками ветвления аппроксимации Паде сходятся по емкости в комплексной г-плоскости с разрезом, де- делающим функцию однозначной и имеющим минимальную емкость среди таких разрезов в г~1-илоскости [Nuttall, 1977; Nuttall and Singh, 1977]; возможно, этот результат будет обобщен. Такую теорему интересно было бы сравнить с гипотезой Бейкера, Гам- мел я и Уиллса. § 6.7. Паде-гипотеза Слегка перефразированная гипотеза Бейкера, Гаммеля и Уилл- Уиллса общеизвестна как Паде-гипотеза, в которой речь идет о схо- сходимости диагональных аппроксимаций Паде функции, аналити- аналитической в круге. Эта гипотеза дала значительный импульс иссле- исследованию сходимости диагональной последовательности и привела к уверенности в том, что использование такой последовательности дает хорошие результаты. Прежде чем формулировать гипотезу, приведем контрпример Гаммеля [Baker, 1973b], из которого становится ясно, почему гипотеза дана именно в такой, а не в более сильной форме.
6.7. Паде-гипотеза 277 Контрпример Гаммеля. Пусть ^— I й + 2 где индексы nk определены соотношениями и, = 1, nk+1 = 2nk-\- \, а cu = akZb", если nk^.n278 Гл. 6. Теория сходимости Рассмотренный контрпример объясняет, почему приводимая ниже Паде-гипотеза пользуется доверием как верное и сильное утверждение. Гипотеза [Baker и др., 1961]. Пусть f (г) аналитична в круге j г | < R, исключая т полюсов z,, г2, ..., гт, гдеО < | zl | ^ | г21 ^... ... ^ | гт | < R, и одну точку"г„ на окружности \г\ = R. Далее, пусть для каждого е>0 найдется окрестность \г—го|<6, в которой |/(г) — /(го)|<Е, если \z\^R, что означает непрерывность f(z)e точке г0 по кругу \z\^LR. Тогда по крайней мере некоторая под- подпоследовательность аппроксимаций Паде [М/М] равномерно схо- сходится к / (z) на компактных подмножествах множества 3) = {z: |z| пусть f(z)=g(w). Окружность |до] = 1 является образом окруж- окружности l}\. G.3) Для этой окружности начало координат О является внутренней точкой (если \c\6.7. Паде-гипотеэа 279 Imz *- Rez Рис. 1. Окружность Г с центром в точке с и радиусом R. Этот результат объясняет выбор отображения G.2). Если /(г) мероморфна внутри Г, то g(w) мероморфна в круге |да|<1 и из Паде-гипотезы вытекает, что подпоследовательность диагональной последовательности аппроксимаций Паде сходится к функции g(w) в круге |и'|<11 (исключая полюсы). В этой условной теореме ут- утверждается, что та же самая подпоследовательность диагональной последовательности сходится к /'(г) для г, лежащих внутри Г. Приложение. Рассмотрим функцию f(z) = (z — aKh (z — Ь)~3^, где а, Ъ—произвольные точки в комплексной плоскости, отличные от начала координат. Паде-гипотеза утверждает сходимость под- подпоследовательности аппроксимаций Паде внутри окружности Г4, изображенной на рис.2. В этом примере г = оо — регулярная точка; поэтому некоторая подпоследовательность сходится и вне окруж- окружности Fj. Это наводит на мысль о том, что полюсы диагональных аппрок- аппроксимаций Паде функции f(z) лежат на дуге окружности, проходя- проходящей через точки О, а и Ь. Действительно, при отображении t — z (а — b)l[{z—a)b] точка г —а переходит в точку I = оо, г — b—в точку / = —1, а функция h(t) = f(z) является функцией Стиль- тьеса. Отсюда вытекает, что полюсы диагональных аппроксимаций лежат на дуге. Можно рассмотреть и другое отображение u = z~x, переводящее точки г —а и г = Ь соответственно в и = а~1 и и = Ь~1. Исключи- Исключительное множество для диагональных аппроксимаций Паде функ- функции F(u) = j{z) имеет минимальную емкость среди разрезов в
280 Гл. 6, Теория сходимости lmz Рис. 2. Окружности Ti и Га в г-плоскости. «-плоскости. Поэтому это множество—отрезок прямой, проведен- проведенный из точки а'1 в точку Ь'1. Этот отрезок есть образ дуги ок- окружности, проходящей через точки г = 0, г —а и г — Ъ. Значение Паде-гипотезы и ее связь с открытыми проблемами теории рациональных аппроксимаций рассмотрены Уолшем [Walsh, 1970].
Приложение ПРОГРАММА НА ФОРТРАНЕ 1. Спецификация. Программа PADE (С, 1С, A, IA, В, IB, L, М, X, W, Wl, W2, IK, IW) — это программа на языке Фортран-IV для вычисления аппроксимаций Паде. 2. Метод программы основан на решении линейных уравнений A.1.6.7). При успешном обращении к программе вычисляются коэффициенты числителя и зиаменачеля аппроксимации Паде и выдается значение аппроксимации в некоторой заранее заданной точке X. Неудачное обращение означает, что не выполняется простой эмпирический тест, основанный на методе исключений Гаусса—Жордаиа. Метод программы требует определенной точ- точности задания коэффициентов исходной функции. Часто требуется и более высокая точность задания; в этом случае соответственно должна измениться и схема вычислений. 3. Параметры. С — вещественный массив длины 1С; на входе С содержиi заданные коэффициенты и не изменя- изменяется на выходе. А — вещественный массив длины IA; на выходе ячей- ячейки АA), АB), ..., A(L-fl) содержат соответ- соответственно коэффициенты числителя ао,а ,, ..., а,. В — вещественный массив длины IB; па выходе ячейки ВA), В B), ... В(М+ 1) содержат соответствен- соответственно коэффициенты знаменателя b0, blt ..., Ьм. L — целое число, определяющее степень числи геля. М — целое число, определяющее степень знаменателя. W — двумерный «рабочий» массив с размерами (IW, IW), вычисляемый с двойной точность^. Wl, W2 —«рабочие» массивы длины IW, вычисляемые с двойной точностью. IK — «рабочий» массив целых чисел длины IW. 1С, IA, IB, 1W —целые числа, определяющие размеры массивов; задаются на входе и не изменяются на выходе. X — вещественная переменная, соответствующая за-
282 Приложение данному степенному ряду; X присваивается не- некоторая величина на входе, которая не изме- изменяется на выходе. 4. Указатели ошибок. Если целые числа 1С, IA, IB и IW выб- выбраны не верно (требуется, чтобы L^O, Ai^O, IW^M, IB > М, IA > L и 1С > L + M) или имеет место вырождение, то печатается сообщение об этом, а программа возвращается в исходное состоя- состояние. В случае если вычисления проводятся в полюсе аппроксима- аппроксимации, то об этом печатается сообщение; массивы А, В строятся правильно и делается искусственное присвоение PADE = 0. 5. Пример. Следующая программа вычисляет аппроксимацию Паде [4/4] функции ехр г для нахождения приближенного значе- значения числа е (е = 2.71828182...). Канал 7 используется для ввода. а канал 2—для вывода.
Программа на Фортране 283 PROGRAM BOOKPROG DIMENSION CCA0),AAE),BBE),WWA0,10),WXA0),WYA0),IKA0) DOUBLE PRECISION WW.WX.WY CCA) = 1.0 DO1 1 = 1,8 1 CC(lf1) = CC(l)/l 2 FORMATA X.33HTHE GIVEN SERIES COEFFICIENTS ARE/9F13,8) WRITEB,2)(CC(I),I = 1,9) 3 FORMAT BI3.F13.5) READ G,3) ЦМ.Х LP1=L + 1 MP1=M + 1 4 FORMATAX,//11H FORM THE [,I4,1H/,I4,13H] PADE AT X =,F13,8//) WRITE B,4) L,M,X Y = PADE(CC,10,AA,5,BB,5,L,M,X,WW,WX,WY,IK,10) 5 FORMATAX,30HTHE NUMERATOR COEFFICIENTS ARE//9F13.8) WRITEB,5)(AA(I),I = 1,LP1) 6 FORMATA X/33H THE DENOMINATOR COEFFICIENTS ARE//9F13.8) WRITEB,6)(BB(I),I = 1,MP1) 7 FORMATAX/42H THE VALUE OF THE PADE APPROXIMANT AT X IS.F13.8) WRITEB,7)Y STOP END FUNCTION PADE (C.ICAIA.BJB.L.M.X.W.WI.Wa.lK.IW) С С ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ PADE ВЫЧИСЛЯЕТ ВЕЛИЧИНУ АППРОКСИМАЦИИ С ПАДЕ [L/M].B ТОЧКЕ X. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧИСЛИТЕЛЯ НАКАПЛИВАЮТСЯ В С ПЕРВЫХ L+1 ЯЧЕЙКАХ МАССИВА А. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗНАМЕНАТЕЛЯ С НАКАПЛИВАЮТСЯ В ПЕРВЫХ N+1 ЯЧЕЙКАХ МАССИВА В. С МАССИВЫ W(iw,IW),W1(IW;,W2(IW), ОПИСАННЫЕ КАК МАССИВЫ С С ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТЬЮ, И ЦЕЛЫЙ МАССИВ IK (IW) ИСПОЛЬЗУЮТСЯ С В КАЧЕСТВЕ РАБОЧИХ МАССИВОВ. СТРОГИЕ НЕРАВЕНСТВА IW>0 С И IW.GE.M,IB>M,IA>L,IC>L + M НЕОБХОДИМЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ С УСЛОВИЙ НАКОПЛЕНИЯ НА ВХОДЕ, С DIMENSION C(IC),B(IB),A(IA),W(IW,IW),W1(IW),W2(IWIIK(IW) DOUBLE PRECISION W.W1.W2 DOUBLE PRECISION ONE,OUGHT,DET,T DATA ONE,OUGHT/0.1D 01,0.0D 00/ С СЛЕДУЮЩЕЕ ПРИСВАИВАНИЕ ДЕЛАЕТСЯ В ТОМ СЛУЧАЕ, ЕСЛИ ВОЗМОЖНО О ВЫЧИСЛЕНИЕ С ТОЧНОСТЬЮ ДО К ЗНАКОВ EPS=0,1E-1Q LP1=L + 1 ВA)=1.0 JF(L) 40,1,1 1 ]F(M) 40,6,2 2 IF(IW-M) 40,3,3
284 Приложение 24 FORMATAX,5HTHE[,M,1H/,I4, М5Н] PADE APPROXIMANT APPARENTLY.IS REDUCIBLE OR/ •49H DOES NOT EXIST. IF THIS IS SO, TRY USING A LOWER/ •50H ORDER APPROXIMANT. OTHERWISE TRY HIGHER PRECISION/ •41H THROUGHOUT OR THE NAG LIBRARY ALGORITHM.) WRITEB,24) L,M RETURN 25 DET=DET*W2(I) W(ICOL,ICOL) = ONE DO26N = 1,M .26 W(ICOL,N)=W(ICOL,N)/W2(I) W1(IC0L)=W1(IC0L)/W2(l) DO29LI = 1,M IF(LI-ICOL) 27,29,27 27 T=W(LI,ICOL) W(LI,ICOL) = OUGHT DO 28 N = 1,M 28 W(LI,N)=W(LI,N)-W(ICOL,N)*T W1 (LI) = W1 (Ll)-W1 (ICOL)*T 29 CONTINUE 30 CONTINUE С НАХОЖДЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗНАМЕНАТЕЛЯ DO 31 I = 1,M 31 B(I + 1)=W1(I) D = B(M + 1) DO32I = 1,M I1=M + 1-I 32 D=X*D + B(I1) С НАХОЖДЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЧИСЛИТЕЛЯ DO34I = 1,LP1 К=М+'1 IFПрограмма на Фортране 285 3 4 Б 6 7 С о 8 9 10 11 12 13 С с с 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 IF(IB-M) 40,40,4 IF(IA-l) 40,40,5 IF(IC-L-M) 40,40,8 DO 7 I = 1.LP1 GO TO 35 DO13I = 1,M DO12J = 1,M IF (L + l-J) 11,10,10 I1 = L+I-J + 1- GOTO 12 W(I,J)=OUGHT CONTINUE H — 1 i 1 .1 Л Л —LtIti W1(I)=-C(H) CONTINUE РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЗНАМЕНАТЕЛЯ, ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОД ИСКЛЮ- ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА-ЖОРДАНА, С ПОЛНЫМ ОБРАЩЕНИЕМ И С ДВОЙНОЙ ТОЧНОСТЬЮ DET=ONE DO 14 J = 1,M IK(J)=O DO30l=1,M T=OUGHT DO19J=1,M IF(IK(J)-1) 15,19,15 DO18K=1;M IF(IK(K)-1) 16,18,30 IF(DABS(T)-DABS(W(J,K))) 17.17,18 IROW=J ICOL=K T=W(J,K) CONTINUE CONTINUE IK(ICOL) = IK(ICOL)+1 IF(IROW-ICOL) 20,22,20 DET=-DET DO 21 N = 1,M T=W(IROW,N) W(IROW,N)=W(IC0L,N) W(ICOL,N)=T T=W1(IROW) W1(IROW)=W1(ICOL) W1(ICOL)=T W2(I)=W(ICOL.1COL) 1M1 =1-1 IF(I.EQ.1) GO TO 25 T=DEXP(DLOG(DABS(DET))/DBLE(FLOAT(!M1))) IF(DABS(W2(i))-T'DBUE(FLOAT(l))*EP5j 23,25,25 DET=OUGHT
286 Приложение 40 WRITEB,39) IC,IA,IB,L,M,IW PADE^O.O RETURN 41 FORMATAX,E16.8,40H APPARENTLY IS A POLE OF THE APPROXIMANT) 42 WRITEB,41)X PADE = 0.0 RETURN END На выход программы BOOKPROG выдается следующая инфор- информация: ЗАДАННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДА РАВНЫ 1.00000000 1.00000000 0.50000000 0.16666667 0.04166667 ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ [4/4] ПРИ X =1.00000000 ИМЕЕМ'. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧИСЛИТЕЛЯ РАВНЫ 1.00000000 0.50000000 0.10714286 0.01190476 0.0О059524 КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗНАМЕНАТЕЛЯ РАВНЫ 1.00000000 -0.50000000 0.10714286 -0.01190476 0.00059524 ВЕЛИЧИНА АППРОКСИМАЦИИ ПАДЕ В ТОЧКЕ X РАВНА 2.71828172
Часть 2 ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Глава 1. ОБОБЩЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ § 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде Рациональная функция, значения которой в ряде точек совпада- совпадают со значениями данной функции, называется многоточечной ап- аппроксимацией Паде. Соответствующая общая задача интерполяции рациональными функциями называется задачей Коши — Якоби. Многоточечные аппроксимации Паде называют также рациональ- рациональными интерполяциями, ^-точечными аппроксимациями, ЛЛточеч- ными аппроксимациями Паде или аппроксимациями Ньютона — Паде в зависимости от контекста. В случае кратных точек (узлов) интерполяции иногда говорят об осцилляторной интерполяции. На- Например, рациональную функцию вида [N/N] можно определять ./V условиями интерполяции в точке z=0 и N—1 условиями интерпо- интерполяции в точке г=оо. В качестве конкретного примера рассмотрим функцию | (г2)= при г-н. О, A.1) = 1 + О(г-1) приг-*оо. A.2) Легко видеть, что соответствующая аппроксимация [1/1] имеет вид ) ^ эта функция удовлетворяет условиям «точности порядка аппрокси- аппроксимации», которые выражены соотношениями A.1), A.2). В точке 2=1 погрешность аппроксимации составляет 1%; это примерно та же погрешность, какую дает аппроксимация Паде [1/1]; см. ч. 1, § 1.1. Анализ этого конкретного случая указывает подход к общей задаче рациональной интерполяции в узлами zOl zu гг, . . . . Пре-
288 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде дыдущий пример соответствует 3-точечной аппроксимации с го = =г1=0, 22~оо. Мы переходим к анализу общего случая, предпо- предполагая для простоты, чтс все узлы интерполяции конечны. Объем книги не позволяет подрооно рассматривать все относящиеся сюда апироксимациопные проблемы; мы начнем с общего введения к за- задачам интерполяции полиномами и рациональными функциями, обращая особое внимание на методы, допускающие кратные узлы. Прежде всего нам необходимы основные факты теории, относящей- относящейся к ньютоновской интерполяции полиномами. Раздельные разности. Пусть функция /(г) обладает всеми необхо- необходимыми для дальнейшего свойствами непрерывности и гладкости. Разделенные разности определяются последовательно согласно следующим формулам: A-зь) ,г, 1.___ f lzo< 2Ь ¦¦¦< zr_j, *r\ — f\za, zj, .... zr_f, гг.ц] ' t2»' Zi> '••' г' + 1^ гГ-гг+1 ' /" = 1, 2, ... . A.4) Формула Эрмита. Пусть функция /(г) аналитична внутри и непре- непрерывна на контуре Г, который содержит точки г0, ги . . ., zh внутри себя. Тогда /[*„, ги .... г,}-^-^ dS. A.5) 11 П Й-г») Доказательство. Формула получается из A.3), A.4) по ин- индукции. Для совпадающих гачек го = 21=...=гй естественно опре- определить /[г., г0 г.НтгРЧго). A-6) Формулу Эрмита легко распространить на случай частичных совпадений. Следствие. Функция /[г0, г1( ..., гГ] симметрична (не меняется при любых перестановках аргументов). Формула Ньютона п 1-1 /(*)= 2 /[2о. 2i г,] Ц (г — zh) i=o k=a n + /[г„ г1? .... г„, г]Ц(г-гл). A.7) А 0
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 289 При м>0 тождество A.7) представляет функцию /(г) в виде суммы полинома Ньютона и остаточного члена. Отсюда можно «вывести» формальное тождество /(г) = /[г.] + (г-гв)/[г0, г1] + (г-г,)(г-г1)/[г0, г,, г8] + ... . A.8) Равенство здесь действительно имеет место во всех случаях, когда остаточный член в A.7) стремится к нулю. Доказательство формулы A.7) проводится но индукции. В важном частном случае 20=2! = =. . .=2г = . . . формулы A.7), A.8) принимают вид г0)Пг) + -Ц^П2.)+... A-9) ¦¦..У (г-гвI ,„¦,,- (г-г,)"*1 С Щ t. A.11) В этих терминах формальное разложение Ньютона A.8) имеет вид //(+/(/ Перейдем теперь к рассмотрению интерполяции данной функции посредством рациональных дробей. Основная задача состоит в том, чтобы найти рациональную дробь rlL/M] (г) = ишм] (zyv[L/M] B)i (! л 2) такую, что и^1/мЦг), vlL/M^(z) — полиномы степени не выше L и М соответственно, и справедливы равенства ^/л*]Bг) = /B,-), ,- = 0, 1, 2, .... L + M. A.13) Предположим, что при данных L и М решение L М ц[*-/м]B)= 2 vl.-zI, dL'M4z)= 2 Щг» A.14) /=0 /.'=0 этой основной задачи существует. Предположим также, что нор- нормировка и„=1 является допустимой. Подставляя A.12) и A.14) в A.13), получим L + M + 1 линейных уравнений относительно L + M + 1 неизвестных коэффициентов иа, ut, ..., «?, Uj, . .., и^,.
290 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Обычно такая система имеет единственное решение, которое оп- определяет коэффициенты числителя и знаменателя A.12) однозначно с точностью до общего числового множителя. В противном, слу- случае говорят, что система является вырожденной. Если система уравнений вырождена, но совместна, и dLlMi (z) ф 0, то поли- полиномы uf-L/Ml(z) и и?/-/М'(г) имеют нетривиальный общий множи- множитель. Из A.19) с /(z) = r[Z-/Mi (г) вытекает, что этот общий мно- множитель может содержать только скобки вида (г—г{), i = 0, 1, 2, ..., L + M. Если скобка (г—г() действительно входит в общий множитель, то справедливость соотношения A.13) в точке г = г,- требует отдельной проверки. Если рассматриваемая система ли- линейных уравнений несовместна, то рациональной дроби типа [L/M], интерполирующей данные значения, не существует. В качестве примера покажем, что не существует рациональной дроби типа [1/1], удовлетворяющей следующим условиям интерполяции: ) = 1, /A)==3. A.15) Уравнения A.12), A.13), A.14) в данном случае имеют вид и0—ы,=1»0—о*, A.16а) A.16с) Из A.16а, Ь) вытекает, что«0=и0, ut=Vi и с учетом этого из A.16с) следует, что uo—vo=u1=v1=O. Система уравнений A.16) вырожде- вырождена; сделать эту систему совместной можно, заменяя последнее ус- условие интерполяции в A.15) на новое условие /A) = 1 и только в этом случае существует (вырожденная) рациональная функция типа [1/1], интерполирующая данные A.15). Полный анализ возможных вырождений приведен в работе [Maehly and Witzgall, I960]. Аппроксимации Паде относятся к рассматриваемому типу ра- рациональных аппроксимаций и соответствуют случаю совпадения всех узлов интерполяции, поэтому приведенный выше анализ имеет очевидное сходство с анализом вопросов существования аппрок- аппроксимаций Паде, содержащимся в § 1.4 ч. 1. Закончив краткий обзор некоторых требующих внимания моментов, связанных с интерпо- интерполяцией рациональными функциями, приведем теорему, которая дает стандартное решение задачи об интерполяции в невырожден- невырожденном случае. Теорема 1.1.1. В невырожденном случае N-точечная аппрокси- аппроксимация Паде типа [L/M], соответствующая узлам интерполяции г0, г1) ..., 2/4М (среди которых, возможно, есть совпадающие), определяется следующими формулами: _ U[L/M]
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 291 где ¦=м fin,/ L1 B !-1,/.+2 ••• 2 /*-,.,П(*-; i = M- 1 fc=O /о, Л L /-1 2 /o./II< /И- i II /=0 M-l /Л1-1./. + 1 Im-1,L+2 ¦¦¦ IM-l.L + M 11 (z /о, л+i /о, i + s • • • 'о. L + M 1 , A.17) , A.18) (используется обозначение A.11)). Формула для остатка имеет вид X /M-l, i -1, t + 2 l. + M : JLJ *.г — zk)X- • Iм. i +м 11ZM< ¦ • •' г] 'Л1-1, /+М '1гМ-1> •••'2(. + ,'И> г] fo, L+i '0, 'О, /l2oi •••> г1. + М> 2] . A.19) Чтобы полностью определить все символы в формулах A.17), A.18), A-19) следует дополнительно принять, что при j < i имеем fi,/=o, 2(*ь=о, П(•)*«!• k=t В случае вырождения достаточным условием справедливости ра- равенств u[L/M](z;)/v[L M](zi) = I (г,-) являются соотношения С^лц(о, ( = 0, 1, 2, .... / +М. Доказательство. Формулы A.17) и A.18) определяют многочлены степени не выше L и М соответственно. Из формулы Ньютона A.17)
292 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде вытекает, что X IM,L + l IM,l. + t ••• hi, I. + M l[zM< ••¦> z!.' Z] /ai-i,z.+ i /ai-i,/.+ 2 ••• fiu-i, i. + m IIzm-i> • • ¦> zu z\ /О, Л + 1 /o, i + 2 ••• lo,L + M < lZt» •••> z!.> Z] .A.20) Производя вычитание /-го столбца A.20) из последнего при /—1, 2, ..., М с учетом определений A.4) и A.11), получим A.19). Ясно, что правая часть A.19) обращается в нуль в точках z0, zlt ..., zL+M. При условии, что iA^/m] B/) ф о, i = 0, 1, ..., L + M, отсюда вытекает нужный результат. Следствие. Формулы A.12), A.18), A17) с учетом A.6) пока- показывают, что при 20 = г, = ... =г1ЛМ функция г11/мЦг) стано- становится аппроксимацией Паде; см. A.1.1.8, 9, И). Замечание. Формулы A.17), A.18), A.19) могут быть обобщены на случай биградиентов (§ 1.6, 4.1) с интерполяцией в различных узлах [Warner, 1974], [Householder and Stewart, 1969]. Формулы A.17), A.18), определяющие Af-точечную аппрокси- аппроксимацию Паде, весьма громоздки и мало пригодны для решения вы- вычислительных задач. Обсудим коротко те требования, которые предъявляются к вычислительному алгоритму. Численные алгоритмы для рациональных аппроксимаций можно разделить на те, с помощью которых решают проблему коэффициен- коэффициентов и те, с помощью которых решают проблему значений. Проблема коэффициентов состоит в определении значений коэффициентов {«о, «1, • • •, uL; v0, vit . . ., ум} в A.14), что в свою очередь позво- позволяет найти функцию Д^М1. Проблема значений заключается в вы- вычислении значения функции rtLIM~\ (z) в указанной заранее точке г, когда не требуется промежуточного вычисления коэффициентов в A.14). Например, е-алгоритм есть метод решения проблемы значе- значений для аппроксимаций Паде, поскольку он не связан с промежуточ- промежуточным вычислением коэффициентов. Q.D.-алгоритм, представляю- представляющий рациональную аппроксимацию в виде непрерывной дроби (см. §4.4, ч. 1), дает решение проблемы коэффициентов. Если требуется найти некоторую таблицу значений интерполиру- интерполирующей рациональной функции, то обычно выгоднее решить сначала проблему коэффициентов и затем вычислять значения аппроксима- аппроксимации в различных точках г. Если требуется вычислить одно значение, то иногда удобнее не обращаться к промежуточной задаче определе-
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 293 ния коэффициентов. На самом деле вычисление значений полино- полиномов и непрерывных дробей является сравнительно быстрой про- процедурой и поэтому проблема коэффициентов особенно важна. От- Отметим, что представление интерполирующей функции ALiM\ (г) в виде непрерывной дроби повышает эффективность вычислений но сравнению с использованием полиномиальных соотношений вида A.12). Важно и желательно, чтобы применяемые методы допускали сов- совпадение некоторых или всех узлов интерполяции. Методы, основан- основанные непосредственно на разделенных разностях A.3), A.4), этим качеством, по существу, не обладают. Другим желательным качеством численных методов рациональ- рациональной аппроксимации является надежность. Как мы видели выше, не существует рациональной функции типа [1/1], удовлетворяющей условиям интерполяции A.15); надежный метод аппроксимации должен указать, что эта задача неразрешима. Численный алгоритм должен различать разрешимые и неразрешимые задачи с учетом на- наличия ошибок представления и округления. Анализ этого вопроса приводит нас к понятию устойчивости алгоритма, которое тесно связано с понятием надежности. Алгоритм устойчив, если малые изменения начальных данных приводят к небольшим изменениям результата. Хороший алгоритм рациональной интерполяции должен быть в состоянии выделить те случаи, когда начальные данные приводят к неустойчивому результату. Заметим, что рекуррентные методы нахождения интерполирую- интерполирующей рациональной функции могут быть связаны с предположением о существовании промежуточных аппроксимаций. В случае суще- существования интересующей интерполяции надежный алгоритм дол- должен срабатывать, даже если какие-либо промежуточные аппрокси- аппроксимации вырождены или не существуют. Все эти качественные характеристики хорошего алгоритма вряд ли полностью совместимы, так что собрание «наилучших алгорит- алгоритмов» ниже подразумевает наличие тех или иных компромиссов. В любом случае для каждой из множества задач рациональной ин- интерполяции мы хотим иметь алгоритм, который (i) эффективен, (ir) допускает совпадение узлов интерполяции, (iii) надежен и устойчив. Рассмотрим теперь некоторые из алгоритмов, которые являются наилучшими из имеющихся. Алгоритм Кронекера [Kxoneker, 1881]. В качестве начальных данных в алгоритме используются коэффициенты интерполяционного полинома Ньютона A.8) порядка L+A1 =т(см. A.4), A.7)); положим /,[т/о](г)= 2 /[г., г, г,] П (г-гк), A.21а) i=0 k=0
294 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде и дополнительно П ft=0 A.22Ь) Рекуррентные соотношения, которые мы позже докажем, анало- аналогичны соотношениям A.3.6.12) и имеют вид A.23а) A.23b) Постоянные a,j и ру определяются из условия, что степень мно- многочлена в правой части A.23а) не выше т—/. После этого мно- многочлены A.23а), A.23) интерпретируются как числитель и зна- знаменатель следующей (/-и) аппроксимации. Проверка. Предположим, что алгоритм является невырожден- невырожденным, т.е. степень многочлена p^m-klk^{z) равна т—k при всех k. Тогда остается показать, что рациональная функция, определяемая соотношениями A.23), интерполирует в узлах z0, г1У ..., гт зна- значения, соответствующие A.21). Из A.23) следует, что Следовательно, D не зависит от /' и из A.21), A.22) вытекает, что Таким образом, в предположении невырожденности алгоритма имеем и, значит, все рассматриваемые аппроксимации обладают нуж- нужными интерполяционными свойствами. Отметим, что совпадение каких-либо двух последовательных аппроксимаций препятствует дальнейшей работе процедуры алгоритма. Важным преимуществом алгоритма Кронекера является то, чю после незначительной модификации он превращается в на-
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 295 дежный алгоритм. Если для некоторого значения / многочлен р["'-///1 (г) в A.23а) имеет степень, меньшую чем т—/, то соот- соответствующая аппроксимация [т—///] вырождена. В таком слу- случае следующая аппроксимация должна определяться соотноше- соотношениями ] B), A.23с) ](z), A.23d) где Jift(z) — многочлен степени не вышей, такой, что правая часть A.23) имеет степень, равную т—/—k. Нетрудно показать, что соот- соотношения A.23с), A.23) действительно определяют следующую не- невырожденную интерполяционную функцию в антидиагональной последовательности [Graves-Morris, 1979]. По-видимому, алгоритм Кронекера особенно полезен в случаях, когда применима точная арифметика и любой тест должен однозначно решать вопрос о вы- вырожденности. Метод обратных разностей Тиле [Thiele, 1909, гл. 3; Hildebrand, 1956]. Этот метод дает представление Л^-точечной аппроксимации Паде в виде непрерывной дроби. В основном варианте алгоритма узлы интерполяции должны быть различны; элементы дроби, соот- соответствующей случаю кратных узлов, могут быть получены по не- непрерывности. Обратные разности определяются следующими равен- равенствами: Ро^Р [*„]=/(*„), A.24а) Pi«P[*«, Zi] = (*o-Zi) {/(*„)-/(г!)}. (Ь24Ь) р[г, го] = (г-го){/(г)-/(го)}-\ A.24с) и в общем случае (для п > 1) Р» = Р[го> г? г„_1, г„], A.24d) р[г„ zj, .... г„_?, г„] = -^ )[г„, .... г„_!]-( + p[zlt .... zn_t]. A.24e) Интерполяционная функция, соответствующая узлам г„, zt, ..., гп, представима в виде гп{г) = Ра + г-:::^ , —— , Z—^1- , ••• z~z"-i . A.25) Pi +Рг — Ро + Рз — pi+ +Pn — Ри-г Отметим, что если и=2М( т. е. используется нечетное число узлов интерполяции, то A.25 определяет аппроксимацию типа \MlM\\ если я=2М + 1, т. е. используется четное число узлов, то дробь A.25) дает аппроксимацию типа Ш + 1/М]. Проверка. Докажем сначала по индукции следующее тождество: г~г° z~ i +pg_po+ps_pi+---+p[Z) го
296 Гл. 1. ОбоГчцтия аппроксимаций Ладе При п = 0 соотношение A.26) имеет вид это эквивалентно A.24). При м>0 преобразуем последний зна- знаменатель в A.26) с помощью тождества рГг' Z° 2~Ря-|=Р«+| Р«-1+ р[г> го, ...,г+ которое после простых преобразований принимает вид эквивалентный A.24е). Этим тождество A.26) доказано. Полагая в A.26) псчу?едовательно z=z0, zlt . . ., zn, убеждаемся, что при от- отсутствии случайных сокращений функция A.25) интерполирует нужные значения в м +1 узлах г0, zt гп и, следовательно, является (п-Н)-точечной аппроксимацией Паде. Метод аппроксимации Тиле более интересен с аналитической точки зрения. С вычислительных позиций следующая схема не ме- менее эффективна, чем любая другая. Модифицированный алгоритм Тэчера — Тьюки [Thacher and Tuke, 1960; Graves-Morris and Hopkins, 1981]. Преобразуем непре- непрерывную дробь A.25) следующим образом: /v>_ г/- ч 1 ai (г~ zo) «2B—гр Q3(z —гг) ¦ а«(г- ?я-|) A-27» Исходное множество (различных) узлов интерполяции обозначим через •Ьо = {го, Zi, . . ., zn}; порядок использования этих узлов г0, г\, г'ъ . . ., г'п будет опреде- определен процедурой алгоритма. Для пояснения этой процедуры рас- рассмотрим функцию /(г), определенную на интерполяционном мно- множестве So, и предположим, что функция гп(г), представленная в ви- виде A.27), интерполирует f(z) в узлах So. Определим функции go(z), gi(z) gn(z) следующими рекуррентными соотношениями: f(z)=/Bb)+go(z), A.28а) « = 0,1,2,..., я. A.28Ь) Частный случай f(z) = rn(z) соответствует gn(z) = Q. Согласно A.28) должно выполняться равенство gl_l (г,'_,) = 0 и с учетом этого из A-28) вытекает, что
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 297 В преобразованной форме A.29) эти равенства используются для вычисления коэффициентов аи а2, . . ., ап, которые должны быть конечны и отличны от нуля. Эти итерации составляют «нормальную» часть алгоритма, которая называется состоянием (а). Если в неко- некоторый момент (с /=/+1) оказывается, что#((г)=0 для всех z?St+1, где Sf + , — остаточное интерполяционное множество, то алгоритм переходит в состояние (Ь); в этом случае интерполяционная функция rt(z), возможно, существует, но вырождена. Во всех остальных слу- случаях, соответствующих состоянию (с) алгоритма, можно определенно утверждать, что интересующей нас аппроксимации не существует. Закончив построение предполагаемой интерполирующей функции A.27), необходимо проверить, что ее знаменатель, определяемый по формулам A.30), не обращается в нуль в узлах интерполяции; если это не так, то можно показать, что интересующей аппроксима- аппроксимации не существует. Отметим, что этот алгоритм является надежным в том смысле, что если аппроксимация, соответствующая началь- начальным данным, существует, то алгоритм находит ее; если этой аппрок- аппроксимации не существует, то алгоритм обнаруживает это обстоятель- обстоятельство и дает на выходе сигнал об ошибке. Исходные данные. Определяем множество S1 = {z1, 22, . . ., гп) и значения функции f(z0) при 2g St. Итерация. Итерации по параметру / = 1,2, . . . начинаются в состоянии (а) и в невырожденном случае проводятся до окончания. В случае вырождения происходит переход к (Ь) или (с). Состояние (а). Выбираем, если возможно, z) из Sj так, что gj-ЛгдФО, оо и далее полагаем af= A.29) Если j — n, полагаем t = n и переходим к окончанию; в против- противном случае повторяем итерацию с /: = / + 1. Если выбор г) из Sj с условием невозможен, то переходим в состояние (Ь). Состояние (Ь). Если gy-!B) = 0 при всех z^
298 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде то параметру t присваивается значение /—1 в соответствии с теку- текущим значением / и происходит переход к окончанию для проверки знаменателя. Состояние (с). Переход в это состояние происходит тогда и толь- только тогда, когда g/_i(z)=0, оо при всех zgSy, но g>_i(z)#O при некотором z?Sj. В состоянии (с) процедура алгоритма обрывается и дается сигнал ошибки, означающий, что нужная интерполяция неосуществима. Окончание. Если переход к окончанию произошел при / = 0, то г (z) = /0 — нужная нам аппроксимация. Если переход произо- произошел при /=1, 2, ..., п, то полагаем 9,B)=!, q,(z) = l+at(z—z[) A.30а) и <7i+iB) = ?iB) + flt+iB—2't)qt-i(z) A.30b) при t=2, 3, . . ., ^—1; если qt(z)=?O при всех zgS0, то полученный результат является корректным. В противном случае, когда qt (zj)=O при некотором /, О^С/^я, полученный результат некорректен и да- дается сигнал, указывающий, что нужной нам аппроксимации не существует. Обобщенный Q.D-алгоритм [Wuytack, 1973; Graves-Morris, 1980]. Q.D-алгоритм дает представление аппроксимации Паде в виде непрерывной дроби на основе известных коэффициентов ряда Тейлора (см. т. 1, § 4.4). Мы рассмотрим обобщение этого алгорит- алгоритма на случай, когда узлы интерполяции могут быть различны. Пусть _. /,ч со g?(z — ?о) е\ (г—zt) ?г(г — г2) el (г—г3) n oi\ ?!\Лг) = — _ j _ j _ j _ j _••• U-dl) — непрерывная дробь типа Тиле. Коэффициенты ее п-й подходя- подходящей дроби могут быть определены исходя из данных коэффици- коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона я» B) = со + сх{г—г0) + с2(г — гй)(z—гг) + ... + с„ Ц (г—г,) с помощью следующего алгоритма. Исходные данные. При J = 0, 1, 2, ..., /г—1 полагаем 2/ = zy+1-zv, A.32а) е„у+1 = 0, A.32b) ^И + ^Г' (Ь32С) ei = -^-qi+l{§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 299 мулами: i-1 1) A.33a) A.33b) A -33c) (предполагается, что все эти величины конечны). Отметим, что ал- алгоритм допускает совпадение узлов интерполяции; в этом случае он сводится к основному варианту Q. D.-алгоритма A; 4.4.31, 32). Обобщенный е-алгоритм [Claessens, 1978c]. Этот алгоритм удобен для вычисления значений интерполяционных функций; он основан на тождестве Классенса, которое в обозначениях A.12), A.13), A.14) имеет вид A.34) предполагается, что все входящие сюда аппроксимации существу- существуют и не вырождены. При совпадении всех узлов интерполяции тож- тождество Классенса превращается в тождество Винна. Схема доказательства A.34). Следуя методу § 3.4, ч. 1, положим IM, L+1 /м, L + 2 /M-I.L+l IM-U L + г , L + M A.35) /I, ? + 1 /I, t + 2 • • • /I, ЛН и заметим, что F[L/l*JM — С (L/M) в предельном случае совпадения узлов интерполяции. Форма записи FV-ijWu содержит указание на индексы 1, 2, ..., L + M узлов интерполяции, использован- использованных в конструкции. Следуя рассуждениям § 3.4, ч. 1, находим, что формула, аналогичная A; 3.4.4), в данном случае имеет вид /¦IL+l/M] (г\ p-lL/M] tg) = G 7\ (, ,. л p\.L+i/M + i]plL+i/Ml = VIL+1/M](Z)V[UM](Z) ' 1ЬЛ>) а прямым обобщением A.3.4.6) является формула (г-го).. .(z-zL+M+l) A.37)
300 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Изменяя порядок нумерации узлов, формулу A.18) можно пере- переписать в виде /ж, L flA-i, L IM, L + 1 'Л1-1, I. + 1 L+M+\ ¦¦¦ Ll II (г-г») k=L+i L+M+l ••• /o.i+i II (г— Ч) /м, Д + Л1И flu-\, L + lA + i ••• fo, L + M+i 1 Отсюда, применяя тождество Сильвестра, находим, что ). A.38) Эта формула является обобщением A; 3.4.2). Теперь из A.36), A.37), A.38) получаем соотношение 0, L+M ^0, L+M которое обобщает A; 3.4.8). Тождество A.34) получается отсюда с помощью аналогичных преобразований правой части. Обобщенный е-алгоритм представляет собой формальное тожде- тождество К + 1)-8П=1, 0.39а) которое справедливо при k = 0, 1, 2,... и /^— -т- . Дополни- Дополнительно вводятся условия и 9 = 0, /г==0, 2 A.39в) Начальные условия задаются интерполяционными полиномами A.39с) Элементы соответствующей е-таблицы (см. ч, 1,§ 3.3, табл. 1 и ч. 1, § 3.6, табл. 2 выше диагонали) идентифицируются со значениями
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 301 рациональных аппроксимаций согласно формуле еЙ = г [* + '•¦'*! (г), *=0, 1, 2, ...,/>—*. A.39A) Доказательство соотношений A.39а) — A.39d) основывается на тождестве A.34) и в нем используются рассуждения, близкие к тем, которые применяются в §3.4, ч. 1. В приведенном выше обзоре мы отдавали предпочтение тем ме- методам интерполяции, которые в предельном случае совпадения всех узлов сводятся к аппроксимациям Паде. Из алгоритмов, дающих представление аппроксимации в виде непрерывной дроби, наибо- наиболее показательным в этом смысле является, вероятно, (t—^-ал- (t—^-алгоритм Классенса [Classens, 1976]. Ряд преимуществ имеет недавний алгоритм Вернера [Werner, 1979], приводящий к интерполяцион- интерполяционным функциям типа Тиле — Вернера; этот алгоритм основан на принципах, близких к тем, которые лежат в основе обобщенного ал- алгоритма Висковатова (см. ч. 1, §4,5). Это надежный алгоритм, допускающий совпадение узлов интерполяции, и его легко адапти- адаптировать применительно к требованиям вычислительной устойчивости [Graves-Morris, 1980a]. В оригинальных статьях [Cauchy, 1821; Jacobi, 1846; Tacher and Tukey, 1960; Stoer, 1961; Wetterling, 1963; Larkin, 1967], посвященных проблемам интерполяции раци- рациональными функциями, содержится ряд методов, которые получили развитие в обзоре [Werner and Schaback, 1972]. Обзор проблем, связанных с нормальностью и вырожденностью, можно найти в [Meinguet, 1970]; за деталями, касающимися этих вопросов в контексте таблиц Ньютона — Паде, мы отсылаем к ра- работам [Gallucci and Jones, 1976; Claessens, 1978 a, b]. Обсуждение вопросов, связанных с интерполяцией в общем контексте рациональ- рациональной аппроксимации, можно найти в работах [Walsh, 1964 а, Ь, 1965 a, b; Saff, 1972; Karlsson, 1976; Gonchar and Guillermo Lopez, 1978]. Оценка рациональных аппроксимаций для рядов Стильтье- са рассматриваются в [Baker, 1969; Barns]ey, 1973]. Что касается приложений методов рациональной аппроксима- аппроксимации, то они весьма многочисленны, и мы отметим здесь только две важные области. Методы типа аппроксимаций Паде всегда вызыва- вызывали большой интерес в связи с алгоритмами вычисления нулей функ- функций. Построение аппроксимаций высокого порядка не вызывает трудностей [Merz, 1968; Zinn-Justin, 1970; Larkin, 1981]; принци- принципиальные трудности в этих задачах связаны с минимизацией числа операций в наиболее медленной части алгоритма, а также с тем, чтобы избежать неоднозначных решений, связанных с шумом [Gar- side et al., 1968; Dekker, 1969; Jarratt, 1970; Bus and Dekker, 1975]. Рациональные аппроксимации являются распространенным ме- методом предельного перехода при /i-Я) в задачах численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью сеточных
302 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде методов с шагом h. Эта техника была первоначально развита в ра- работах [Bulirsch and Stoer, 1964; Gragg, 1965]. Методы рациональных аппроксимаций в этой связи были использованы в работах [Lambert and Shaw 1965, 1966; Luke et al., 1975]. Этим мы завершаем обзор основных алгоритмов для N-точечных аппроксимаций Паде. Еще одно простое приложение, относяще- относящееся к ускорению сходимости, рассмотрено в § 1.3. Далее мы обра- обратимся к специальному случаю N=2, с которым связаны соотноше- соотношения A.1), A.2), A.3). Этот случай был подробно изучен в связи с непрерывными дробями специального вида — так называемыми 7-дробями [Thron, 1948]. Предположим, что заданы два формальных степенных ряда, соответствующих функции /(г): с0 + схг + с2г2 + . • • , A -40а) г-?+... , A.40в) 2 1=0 здесь 3? — ряд Лорана для / с центром в точке г=оо и конеч- конечной главной частью. В общем положении разложения A.40) оп- определяют коэффициенты {е{, d{, i = 0, I, ...} соответствующей обобщенной 7"-дроби A.41) где е{ф0, dj^O для i = \, 2, 3, .... Пример приведен в§ 4.5, ч. 1, упражнение 2. Теорема Джонса —Трона показывает ха- характер интерполяции, доставляемой обобщенными Г-дробями. Теорема 1.1.2 [Jones, 1977]. Пусть заданы два формальных ряда Лорана $ = 2 c»z* и J? = 2 ckzk к=-ч к— — со с данными v > 0 и ц > 0. Определим величины Дп, Фп формулами ^п... б0 б. •¦• «< ...в. \ = ck—ck, Если Дв, Фп =jt 6, mo существует обобщенная 7'-дробь
§ 1.1. Многоточечные аппроксимации Паде 303 (ср. A.30), A.31)) Т ±~ ^ ^ ^... A.42) с Fn, Gn^0 такая, что разложения ее n-й подходящей дроби Тп (г) имеют вид T,i(z) = C_vZ-v + 6'_v+,z-v+1+ .. . -\ cnz"+ ... в точке г = 0, Tn(z) = t)iz" + cM._1z^-1 -|- ... Ч-с_„.цг-л+1+ ... б точке г=оо. зтол для коэффициентов дроби справедливы представления р ф F — д"-1ф"-1 За доказательством мы отсылаем читателя к монографии Джон- Джонса и Трона из этой серии, посвященной непрерывным дробям. По существу эта теорема устанавливает необходимые условия для су- существования некоторого класса двухточечных аппроксимаций Паде. Вопросы сходимости при этом не затрагиваются. Если ряды S и 3? представляют одну и ту же функцию /(г), то есть основания ожидать, что с помощью соответствующей Т-дроби можно в определенных пре- пределах эффективно аппроксимировать /(г). Если ряды & и S пред- представляют разные функции, то конструкция «ассоциированной» Г-дроби может оказаться бессмысленной. Это легко обнаруживает- обнаруживается на примере Трона Используя рекуррентные соотношения A; 4.4.4), можно показать (см. ч. 1, §4.4, пример 1), что Т(г) = 1 при |г|<1, Т(г)=— г при |г|>1. Все полюсы и нули подходящих дробей лежат на единичной окруж- окружности. Это показывает, что происходит, когда метод Г-дробей при- применяется к искусственной задаче совместной аппроксимации рядов J^=l и J2=—z. Следующий результат является хорошим примером разложения в Г-дробь 1; z)_ Ь гф + l—a) z(b + n—a) _ 1F1 (a, b; г) Ь+z— 6-f-l+z — ""•— Ь-\-п+г —'"* где а, 6>0 и z>0 [Dijkstra, 1977; Wynn, 1962a]. Эта дробь дает аппроксимацию ряда Тейлора левой части в нуле и ее
304 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде т-2/2 m-1/l т/0 1 м Рис. 1. Элементы Л'-точечной таблицы Паде, которые используются в алгоритме Кроиекера. асимптотического разложения в бесконечности. В частном случае а = Ь имеем iF-i (а, а -- 1; г) _ а г пг ez а + г — а -г 1 -|- г — '' ' a-\-n-\-z— • • • • С помощью преобразования Куммера отсюда получаем ..... A.43) Перворшчальрюе ограничение г^О теперь снимается, поскольку не- непрерывная дробь A.43) сходится во всей комплексной плоскости [Jones et al., 1979]. Эта важная формула позволяет получить раз- разложение в Т-дробь функции ошибок, неполной гамма-функции, обобщенного интеграла Доусона. Пусть [Dijkstra, 1977] F(P, х) = 1 e'pdt, — обобщенный интеграл /loycoFia; интеграл Доусона D{x) = F B, х) связан с функцией ошибок соотношением *rt{z) = jLre-"D(-lz). С учетом этого имеем (см. т. 1, § 4.6) у (a, z) = zae~za-1xFi(\, l+a; г), A.44) A.45а) A.45Ь)
§ 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля 305 1Л(Ь 3/2. -г2), A.45с) erf(z) = ^ze-*\Fl(\, 3/2; г2). A.45d) Используя A.43), можно получить разложения в Т-дроби функций A.45 а—d), которые сходятся во всей комплексной плоскости. Дальнейшие детали, относящиеся к Т-дробям, можно найти в работах [Murphy, 1971; McCabe, 1974, 1975; McCabe and Murphy, 1976; Drew and Murphy, 1977; Waadeland, 1979; Sidi, 1980a; Jones Thron and Waadeland, 19801. Упражнение. Доказать, что последовательности Fj, G^ в A.42) порождаются следующим Q.D-алгоритмом [McCabe, 19751: на- начальные данные Q.D.-алгоритма для Т-дробей определяются равен- равенствами —5|±!, * = 0, 1, -1, 2, -2, .... Остальные элементы определяются рекуррентно по & = 0, 1, —1, 2, —2, ... и /= 1, 2, 3, ... согласно следующим правилам ромба Величины F{, G{ в A.42) определяются равенствами Fj=Ff\ Gj = Gf, / = 2, 3, 4 Q. D.-таблица в данном случае имеет вид /w» qco. f?co» G<°> F<°> . . . главная строка Ечп /}ш pay ¦ Qd) pa Первые два столбца соответствуют начальным данным; Q.D.-ал- Q.D.-алгоритм позволяет определить элементы главной строки, которые совпадают с коэффициентами дроби A.42). § 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля Ряды Паде—Лежандра имеют вид 2vn(J/,A(-2), B.1) п=0 и=0
306 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде где Р„(г), я=0, 1, 2, . . .— полиномы Лежандра и /„=(—1) псп. В § 1.6 мы рассмотрим рациональные аппроксимации таких родов; в этом параграфе обсуждается другой класс аппроксимирующих функций, применимый для рядов вида B.1) и аналогичных им. В не- невырожденном случае коэффициенты сп можно представить в виде м с„-2«*А?. « = 0,1,2 2М — 1. B.2) Если мы предположим, что представление B.2) приближенно спра- справедливо и при n=2M, 2M+1, . . . , другими словами, если предпо- предположить, что коэффициенты с„ имеют обобщенно геометрическое поведение, то в качестве аппроксимации для функции g(z) мы по- получаем выражение вида м _i_ )= 2 а,A — 2h{z + hj)~K B.3) i Формула B.3) получается с помощью производящей функции для многочленов Лежандра и представляет нетривиальную аппрокси- аппроксимацию для g(z). Чтобы найти параметры ait ht, t = l, 2, . . ., М, фигурирующие в B.3), заметим, что из B.2) вытекает соотношение к, М f (*) ^ L CnZ» = ? ГГЬ так что/iy1—это полюсы аппроксимации Паде [М—1/М] для функ- функции /(г), а — ccj/ftj—соответствующие вычеты. Таким образом, аппроксимации B.3) легко определяются, если существует аппрокси- аппроксимация Паде Ш—ММ] для функции /(г). Идеи, лежащие в основе этого подхода, берут начало с работ [Gammel et al., 1967; Baker, 1967; Common, 1969 a, b]. Несколько иной подход, основанный на теории положительных функционалов, и в иных, чем здесь, предположениях предложен М. Риссом [М. Riesz, 19231; он также приводит к неравенствам теоремы 1.2.2. Шохат рас- распространил подход Рисса на случай рядов Стильтьеса [Ahiezer, 1965]. Некоторые оценки, которые будут получены в этом параграфе, можно сравнить с соответствующими результатами § 3.2. Метод аппроксимаций Бейкера — Гаммеля основан на приведен- приведенных выше соображениях и обобщает их путем введения формальных разложений вида g(z)= 2 /«*»(*) т = 0 (что соответствует B.1)) и интегральных представлений g (z) =$"*(«, u)dq>(и), B.5)
§ 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля 307 где k (г, и) — ядро, свойства которого обсуждаются ниже, и dq> (и) — мера Стильтьеса. В частом случае k(г, и)=A+мг)~1 интеграл B.5) представляет функцию стильтьесовского типа и в этом случае применимы методы гл. 5, ч. 1. Мы начнем с рассмотрения аппроксимаций Паде для ряда Стильтьеса $^ ). B.6) n-0 Аппроксимации Бейкера — Гаммеля для функции g(z) из B.5) имеют вид j м Сцм +J/M] G\ 'V r и /7\ \ "V ~ и (у и \ (9 7\ и \г>— ?л VjK \z)~r ?i «/«1,2, ut), \*-i) i=0 i=l где 'ц=о, / = 0, 1, 2, ... B.8) и значения величин ру, / = 0, 1, .... J и и{, at, i=l, 2, ..., М еще предстоит определить. Если / = —1, то «полиномиальный» член в B.7) отсутствует. Отвлекаясь пока от вопросов сходимости рядов B.9), B.10), из B.8), получаем k(z, «) = J2o«4»(z)- B-9) Теперь из B.5), B.6), B.9) находим разложение для g(z) ее «f («)-Jlo/«*«(«). B-10) где m = 0, I B.11) Из B.10), B.7), B.9) вытекает, что коэффициенты разложений g(z) и GlM+J/Ml(z) по функциям km(z) совпадают при т = 0, 1, ..., 2M-\-J, если справедливы равенства м /.-Р.,4 2«/«f. m-0,1, .... У B.12) /= 2 «,<, m = / + l, J + 2, ..., 2УИ + 7. B.13)
308 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Иг 2.12), B.13) вытекает формальное соотношение м Таким образом, мы показали, что величины fJy, at, и{, фигури- фигурирующие в B.7), определяются разложением [M + 7/M]/(z) = tp/(-zK + g-r-2i_ B.15) аппроксимаций Паде, фигурирующих в B.6). Этим установлено, что существование аппроксимации Паде (M-\-J/M] для функции /(г) достаточ-но, чтобы формально определить соответствующую ап- аппроксимацию Бейкера — Гаммеля для функции g{z) вида B.5). Обоснование этой конструкции дает следующая теорема. Теорема 1.2.1. Пусть ядро k(z, и) аналитично по и в /^.-ок- /^.-окрестности вещественной положительной и-оси при всех г, при- принадлежащих компактной области % в z-плоскости. Далее, пусть функция \k(z, u)\ равномерно ограничена при и —»¦ оо, гб^ ве- величиной (logtt)~A + |i) с (д, > 0. Тогда GW+Jim(z)-+g(z), при z?%, М—оо. Доказательство. Представляя функцию k (г, и) в B.5) по фор- формуле Коши, получим где 1\—окружность радиуса А с центром в точке и. Поскольку функция k (г, w) аналитична по w в Д-окрестности положитель- положительной вещественной оси ш>, это представление можно переписать в виде где Г — граничный контур указанной Д-окрестности, показанный на рис. 1. Отсюда получаем dm Ш) i , - и 1 - u,-/o> , . I С k(z, да) , Р s v ' 2ш J w J и i)^ B.16,
§ 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля 309 lm Re vj Рис. 1. Контур Г в комплексной анплоскости. Аппроксимация Бейкера — Гаммеля получается заменой функции /(г) в B.16) на ее аппроксимацию Паде Г J м 1 ) = ^$k(z, W) Ep^-Z + S-j-S- ?. B.17) r L/ = о i=i J Поскольку / (z) представима рядом Стильтьеса, то полюс B.17) в точке w = u-, лежит внутри Г и из B.8) следует, что j м qim +J/M} B) _ 2 $,kj (г) -\- 2 а{к B. и{). 1=0 i=l Таким образом, в предположениях теоремы эвристические рассужде- рассуждения, связанные с соотношениями B.6), B.7), B.15), получают стро- строгое обоснование. Из B.16), B.17) вытекает формула для погрешности аппроксимаций Из теорем 1; 5.2.6 и 1; 5.3.1 следует, что выражение в фигурных скоб- скобках в B.18) стремится к нулю равномерно по ю^Г при М->оо и, кроме того, эта величина имеет порядок O(w~l) при ш->оо. Тем самым сходимость аппроксимаций Бейкера — Гаммеля доказана. В следующей теореме мы покажем, что при более сильных огра- ограничениях на ядро k (г, и) эти аппроксимации дают верхнюю и ниж- нижнюю оценки для g(z). Установим предварительно следующую лемму. Лемма. В указанных выше предположениях и обозначениях имеем lM + J/M},(--L)f(--L)}dw=0npum=0, I, 2 2M + J. B.19)
310 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Доказательство. Отметим сначала, что условие точности порядка аппроксимации обеспечивает сходимость этого интеграла около точки да=оо. Поэтому контур Г можно деформировать в конечный контур Г, охватывающий точку да=0 и полюсы аппроксимаций Паде. Из B.12), B.13), B.14) при т~-0, 1, 2, . . ., 2M+J находим ( J М \ = Ш Jr. wm~l { 2 №" + S uffes} *» = /-• B-20) Второе слагаемое в B.19) рассматривается аналогично, и лемма доказана. Теорема 1.2.2. Неравенства )}> 0, B.21) x)}^0, B.22) B.23) справедливы при всех вещественных положительных х, всех и J ^—1 тогда и только тогда, когда ядро k(x, и) при всех ве- вещественных неотрицательных х и всех / = 0, 1, 2, ... удовлет- удовлетворяет условию Доказательство. Покажем сначала, что из B.24) следует B.21). Пусть функция K{w) аналитична в А-окрестности положительной вещественной оси w и B.25) Поскольку f(z)—стильтьесовская функция, то нули выражения W2M+1Q[M+J+1/M +1] / L\ QIM + J/M] ( IS] лежат в точках w = w,, i = l,2, ..., 2М + 1 вещественной оси w. Представим функцию K(w) по формуле Ньютона A.7) 2Л1 + 1 = 2 2М+ 1 П
§ 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля 311 Подставляя это выражение в B.25) и используя лемму, получим 2М + 1 П (w-w Вместе с A; 3.5.18) это дает 2/W+l п X ' W-2M-J-? Д (w — Wtl)K[Wi f — 7 Г^ J q[M+J + i/M+i} I ___}_\ q - V w) 7Г qLM+j/M\/ J_ \ w i C(M + J/M) 2M + I J~< Д (l_^ )K[wi, Wz, ..., l/M + i] I |_ \ BIM+J/M\ I _J_ \ \ w) \ wj Поскольку /(г)—стильтьесовская функция, то величина С(М + + J-\- l/M-f 1)-C(M + J/M) положительна при нечетных / и от- отрицательна при четных J (см. упражнение 3, ч. 1, § 5.1). Ис- Используя A.5), A.7) и теорему Ролля, получаем 1I y г где да лежит на вещественной оси ш>. Учитывая B.17), B.25), на- находим, что где р положительно. Таким образом, мы видим, что условие B.24) достаточно для справедливости неравенства B.21). Неравенства B.22), B.23) доказываются аналогично; теорема 1.2.1 обосновы- обосновывает появление в B.23) функции g(z). Доказательство обратного утверждения основано на линейности B.25) по dcp (и); детали можно найти в работе [Baker, 1970]. Пример 1. Ь B-26)
312 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Условия теоремы 1.2.1 и соотношения B.24) выполняются. Соглас- Согласно B.7) аппроксимации Бейкера — Гаммеля имеют вид м Таким образом, в случае B.26) аппроксимации Бейкера — Гаммеля сводятся к аппроксимациям Паде стильтьесовской функции g(z), определяемой равенством B.5). Пример 2. k(z, u) = e-™. B.27) Условия теоремы 1.2.1 и соотношения B.4) выполняются. Ап- Аппроксимации Бейкера—Гаммеля B.7) имеют вид j м Эти аппроксимации особенно полезны, когда рассматриваемая функция экспоненциально затухает. Пример 3. * [^р. B.28) Условия теоремы 1.2.1 и соотношения B.4) выполняются при л>0. Этот класс аппроксимаций занимает промежуточное положение между примером 1 {п=\) и примером 2 (ге=оо). Пример 4. /г (г, ы) = A+2 uz + u*) \ B.29) Условия теоремы 1.2.1 выполняются. Проверим справедливость соотношений B.24), полагая х>\, ы>0. В этом случае корни ии и2 уравнения 1+2«х+и2=0 удовлетворяют условию —со <Си10 и из теоремы Коши вытекает интегральное представление , U) — — \ гг= Условия B.24) легко проверяются с помощью этого представления и, таким образом, равенство B.29) определяет ядро Бейкера — Гаммеля. Соответствующие аппроксимации -т GIM+у/л1] (х) = ^ р/у (х) + 2 аД1 + 2Uix -|- uj) /=0 (=1
§ 1.2. Аппроксимации Бейкера — Гаммеля 313 дают асимптотически точные двусторонние оценки при х>1 (см. теорему 5.2.2). Ясно, что анализ, относящийся к рядам Лежандра B.1) и ос- основанный на производящей функции B.29), обобщается на более широкие классы ортогональных многочленов, однако общих резуль- результатов в этом направлении пока не получено. Пример 5 (аппроксимации Паде — Бореля). Рассмотрим ядро о которое имеет асимптотическое разложение вида со k(z, u)~2(-uzy(piV- i = 0 и удовлетворяет условиям теоремы 1.2.1 и соотношениям B.4). Разложение B.10) в данном случае имеет вид со = 2 c,(pi)lzf, 0 2 ;=0 поэтому в схеме рассуждений будут участвовать аппроксимации Паде для функции / = 0 Разница между степенными разложениями g(г) и /(г) заключается в том, что в последнем случае появляются «множители сходимости» 1/(/I. Аппроксимации Паде— Бореля для g(z) имеют вид со (г) = J е-фИ + J/M],(zlP) dt = М ,-=о Этот метод впервые был использован в работе [Graffi et al., 19701 в связи с изучением ангармонического осциллятора; подход, при- приведенный здесь, основывается на анализе, содержащемся в [ЕРА с. 287]. Изложенный выше подход получил недавно развитие, которое полезно, если требуется аппроксимировать ряд B.10) со ?(*)= 2/-^-(г) B.30)
314 Гл. 1, Обобщения аппроксимаций Паде и имеется априорная информация об асимптотическом поведении коэффициентов fm [Baker and Gubernatis, 1981]. Схема аппроксима- аппроксимаций Бейкера— Гаммеля легко может быть модифицирована с тем, чтобы использовать такую дополнительную информацию. Напри- Например, некоторое число коэффициентов ряда 8(г)= 2 LPm(z) B.31) т = 0 может быть известно и дополнительно может быть известна форма асимптотики fn~yn при п-^оо, B.32) где уп—данная последовательность. Как скоро станет ясно, не- необходимо знать только форму асимптотики отношения Rn = fn+Jn-Jfl B-33) Отметим аналогию предположения вида B.32) и предположений ме- метода Левина из § 1.4. Мы укажем метод определения асимптотики аппроксимаций Бей- Бейкера — Гаммеля, опуская все предварительные условия, связанные с существованием и сходимостью. При условии /^—1 соотношения B.12), B.13) заменяются предположением, что коэффициенты fn могут быть представлены в виде ' м \ ( 2 а/"?1), т = 0,1, ...,/, B.34) ( \ м 2M + J. B.35) Затем предполагаем, что равенства B.35) приближенно справедли- справедливы при 2Af+7+l, 2M+J+2, ... .В таком случае, мы видим, что умножение ут на ahm, т=0, 1, . . ., 2М—1 не меняет представле- представлений B.35); тем самым асимптотика отношения Rn в B.33) — един- единственное, что нужно знать для определения асимптотики аппрокси- аппроксимаций. Равенство B.9) заменяется следующим: *(e)(z. и) =2 "•?.*.(*)• B.36) т = 0 Понятно, что в случае необходимости функция k{a) (г, и) может быть найдена аналитическим продолжением по и. Затем мы находим, что аппроксимации для g(z), определенные по коэффициентам /m, m= =0, 1 2M+J в B.30), B.35) — B.37), имеют вид = 2 а&» (г, и,) + 2 V.P.*. (*)• B-37) t = 1 т = 0
§ 1.3. Анализ рядов 315 Использование информации, содержащейся в B.32), проводится здесь в духе метода Левина, § 1.4; имеется также сходство с методом работы [Common and Stacey, 1979a]. Пример. Предположим, что требуется найти аппроксимации для ряда и известно, что fn ~ 6(гг+ 1K", при п—>-оо. Мы полагаем уп — п + \, п = 0, 1, ... и из B.36) находим, что ядро аппроксимаций B.37) в данном случае имеет вид k(a) (г, и) = A — иг) A — 2«г f и1J. Упражнение. Функция Ле Руа определяется равенством Проверить, что ядро k(z, u) = L^(zu) удовлетворяет условиям теоремы 1.2.1 и соотношениям B.24) при ^^0. Исследовать частные случаи ? = 0 и ? = 1. § 1.3. Анализ рядов Основной целью изучения аппроксимаций Паде является получе- получение информации о функции на основе нескольких известных коэффи- коэффициентов ее степенного разложения. Прежде чем обратиться к при- приложениям аппроксимаций Паде в теоретической физике, рассмотрим несколько различных методов с коллективным наименованием ана- анализ рядов. Мы начнем с метода отношений, принимая аппроксима- аппроксимации Паде в качестве известной основы, и перейдем затем к рассмо- рассмотрению С37-аппроксимаций 1|. Далее рассмотрим квадратичные ап- аппроксимации и, наконец, еще не вполне завершенный метод Левина. Методы, которые мы собираемся обсудить, основаны на предпо- предположении о том, что заранее имеется информация либо о виде инте- интересующей пас функции (который достаточно прост), либо об общем характере поведения коэффициентов ее степенного разложения. Эти методы могут составить полезный элемент рабочей техники исследо- исследователей-прикладников; они применимы в различных ситуациях, и будет интересно рассмотреть очень коротко один пример, чтобы 11 Сокращение от фамилий ученых, почти одновременно исследовавших эти приближения (Gammel, Gaunt, Guttmann и Joyce).
316 Гл. 1. Обобщния аппроксимаций Паде увидеть, какого рода интуитивная информация может оказаться полезной. В статистической механике существует целый ряд задач, в ко- которых несколько первых коэффициентов интересующего нас сте- степенного ряда могут быть найдены точно (они являются целыми чис- числами), в то время как само точное решение получить не удается. Хорошим примером является трехмерная модель Изинга. Вычис- Вычисляются первые члены разложения какой-либо термодинамической величины, такой как магнитная восприимчивость, и затем получен- полученный ряд анализируется с тем, чтобы установить поведение интере- интересующей нас величины. Особый интерес в статистической механике представляют фазовые переходы — такие явления как скачкооб- скачкообразный переход из беспорядочного парамагнетического состояния в упорядоченное ферромагнетическое при критической температуре. Ожидается, что магнитная восприимчивость f(z) как функция от z=T~1 (T — температура) имеет вид f(z)&A(l-\LZ)-v, C.1) где 1/jj, — «критическая точка», у — «критический показатель» и символ « означает, что указанное представление справедливо с хорошей точностью около точки z=\l\i и ничего больше. Извест- Известно, что /(г)=с„+с1г+с2г3+с;)г3+. . ., C.2) и задача теперь состоит в том, чтобы наилучшим образом найти приближенные значения параметров A, \i, у, используя прибли- приближенные представления коэффициентов с. ~ Л в+'>-§ 1.3. Анализ рядов 317 мой функциональной форме интересующей нас функции и не огра- ограничивает способа аппроксимации; при разумном применении он прост и надежен (см. ч. 1, § 2.3). GV-аппроксимации возникают как некоторое обобщение метода отношений, основанное на том, что соотношение C.3) эквивалентно следующему рекуррентному соотношению для коэффициентов с;: псп—M или в другой форме Ло, iOCn+iA^ , (п—\)+Ак „1с„_,жО, где Ло, i = l, Д1,! =— fx и Аи 0=—МН-у)- Обобщением этой формулы является следующее рекуррентное соотношение М-го порядка [Guttman and Joyce, 1972] rain (M. n) *ш(са)= 2 M/,2(«-02 + ^,i(«-0 + ^,o}cn_f = 0, C4) t = 0 где п — 0, 1, 2, .... /lo,2=l, y40i0 = 0 и неизвестные коэффициенты {Ло, „ At, 2, Altl, ЛЛ0, / = 1,2, ...,М) C.5) определяются из системы ЗМ + 1 линейных уравнений *!*(*,,) = 0, л = 1, 2, .... ЗМ+1. C.6) Таким образом, система C.6) определяет коэффициенты C.5); в свою очередь C.5) определяет всю последовательность коэффи- коэффициентов ct (значения первых ЗМ + l коэффициентов этой последова- последовательности были заданы согласно C.2)). В результате мы получили аппроксимирующую функцию (г) = (=0 разложение которой совпадает с разложением C.2) до порядка ЗМ-\-1. Можно показать, что функция \|эм (г) удовлетворяет обык- обыкновенному однородному дифференциальному уравнению M{z) = 0, .C.7) где м м S^i..z', R{z)=2(Attl+At,1)z! i=0 1 = 0 М - I S(z)= 2 ^/+i,oz'. i 0
318 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Если Q(z) имеет простой или двойной нуль в точке z=z0, т. е. Q(z)=Cl(z-Zo)+0((z-z0r), i или и S(zo)?=0, то г0 называется регулярной особой точкой дифферен- дифференциального уравнения. В зависимости от поведения R(z) в окрест- окрестности г0 возможны следующие типы особенностей решений: C.8а) C.8Ь) C.8с) 2), C.8d) где Ф^г), ф2 (г) и ф8(г) аналитичны в точке г=г0, р — целое поло- положительное число и р — нецелое число. Если QM (г^ФО, то гх— регу- регулярная точка дифференциального уравнения и функция Ум (г) аналитична в этой точке. Соотношения C.8 а—d) показывают типы особенностей, которые могут быть точно воспроизведены O3J -ап- -аппроксимациями, схема построения которых основана на формуле C.4). Ясно, что возможности этой схемы можно существенно рас- расширить, если использовать неоднородное уравнение О37-аппроксимации удовлетворяют критерию точности порядка, но не обязательно являются рациональными функциями. Их зна- значение состоит в том, что они позволяют учесть интуитивные сообра- соображения о предполагаемом характере особенностей рассматриваемой функции около критической точки с тем, чтобы включить в схему аппроксимации с такими особенностями. На практике редко бывает ясно, какими должны быть выбраны степени многочленов Q(z), R(z), S(z) и T(z). Однако имеется одно уравнение этого типа, для которого существует удовлетворительное решение этого вопроса [Hunter and Baker, 19791,— это уравнение вида где RN{z), SM(z) и TL(z)—полиномы степени N = М -\-2, М и L= M соответственно. Отметим, что случай RN = 0 соответствует диаго- диагональным аппроксимациям Паде, а при TL = 0 рассматриваемые аппроксимации являются D-log-аппроксимациями Паде. Важным свойством G3J аппроксимаций является то, что они сохраняют свойство инвариантности при дробно-линейных заменах перемен-
§ 1.3. Анализ рядов 319 ной. Предположим, что функция ify (г) является GV-аппроксима- цией, полученной с помощью 3M-J-4 коэффициентов данного сте- пенного ряда /(г) = 2 ciz'- Произведем замену z — wfta + bw) и i = 0 положим ) З ( = 0 Функции g(w) соответствует новая GV-аппроксимация tyg(w). Теорема инвариантности для СУ-аппроксимаций утверждает, что в этом случае мы имеем равенство Идеи, близкие к тем, что рассматривались выше, приводят также к понятию квадратичных аппроксимаций [Shafer, 1974]. Эти аппрок- аппроксимации тесно связаны с общей задачей Эрмита — Паде, которая заключается в определении полиномов Л^г), Л3(г), . . ., Ап (г) степеней не выше \ii, ц2, • • -, Мт» соответственно, удовлетворяющих соотношению Аг (г) h (г) + А2(г) f, (г) + •.. + Ап(г) /„(г) == О (г*+ где /,, /=1, 2, ..., п—данные функции; см. библиографию, относящуюся к аппроксимациям Эрмита—Паде. Пусть /(г)—за- /(г)—заданная функция и Q(z), R(z), S(z) — полиномы степени не выше q, r, s соответственно, удовлетворяющие соотношению Q(z)f(zy + 2R(z)f(z) + S(z) = 0(z*+r+s+*). C.9) Соответствующая квадратичная аппроксимация ф(г) для /(г) оп- определяется уравнением = 0 C.10) и тем самым представима в виде Ш=ШШ=Я C.11а) ) Поскольку Q(z), R{z) и S(z) — полиномы, то функция ф(г) анали- тична всюду, кроме конечного числа полюсов и точек ветвления квадратичного типа. Правильная ветвь функции г|)(г) еще должна быть указана; обычно способ выбора ветви ясен из контекста, как в следующем примере. Пример = Arctgz.
320 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Поскольку эта функция нечетна и обращается в нуль при 2 = 0, то соотношение C.9) в данном случае имеет вид . C.12) Подставляя в C.12) разложения р(г)==г_|2 + получим для определения параметров а, р, у систему из трех линейных уравнений, решая которую, находим, что Теперь из C.11) получаем, что квадратичная аппроксимация типа [q, r, s\ = [2, 2, 2] имеет вид Отметим некоторые свойства полученной аппроксимации. Функ- Функция arctg(x) определена при всех вещественных х и arctg (оо)=^= = л/2= 1.57...; для аппроксимации имеем \|;(оо)=81^3/80= 1.549... . При чисто мнимых z = iy справедливо представление arctg (ц/) = 1 In }±| = t arth((/), следовательно, arctg (у) = ± In j±| = \ + О М .i-\-1 га—- у 1 \ ° / и точки ветвления квадратичной аппроксимации определяются ра- равенством г/2=15/16. Из сказанного выше следует, что мы получили достаточно точную аппроксимацию на всей вещественной оси и до- достаточно точную информацию о расположении точек ветвления функ- функции на мнимой оси. Конечно, arctg (г) относится к функциям стиль- тьесовского типа и обычные аппроксимации Паде для нее также об- обладают хорошими свойствами сходимости; см. A; 4.6.5). Существуют ряды, для которых аппроксимации Паде являются не лучшим способом приближения. Различные примеры в этом на- направлении, такие как «шумовые» ряды и ряды, основанные на слу- случайных числах, уже приводились выше. Другой, более естественный
§ 1.3. Анализ рядов 321 пример дают ряды вида Ус(, где функция/ (г)=У. ctz' имеет при 1 = 0 (=0 г=1 точку ветвления, но значение /A) может быть определено. Следует ожидать, что в этом случае полюсы аппроксимаций Паде будут накапливаться к точке г=1 и сходимость аппроксимаций будет медленной. Прибегая к грубому упрощению, метод суммирования ряда, основанный на аппроксимациях Паде, можно рассматривать как гипотезу о том, что ряд состоит из N геометрических компонент Л с„= 2,агг'!, п-0, 1, 2, .... '= 1 где |г;|<1 и последовательность частичных сумм ряда имеет, таким образом, вид В таком случае применение аппроксимации Паде \ЫМ] дало бы точный ответ при L, M^N. Если эта гипотеза неприменима, то се можно рассмотреть G3J-аппроксимации для функции /(г)=Усгг'' и вычислить их значения при г=1; это предпочтительно в случае, когда известно расположение особенностей функции. Совершенно иной подход основан на предположении, что Sn является гладкой функцией otw= - на отрезке O^a^l. Тогда можно решать задачу интерполяции значений Sn в окрестности точки п—оо. Стандартный подход состоит в использовании рациональных интерполяций (iV- точечных аппроксимаций Паде); любые надежные методы из тех, что описаны в § 1.1, дают в этой ситуации удовлетворительный ре- результат. Интересный метод, указанный в работе [Levin, 1973] и получивший дальнейшее развитие в работах [Sidi, 1979, 1980а], основан на предположении, что Sn = Sa + R(n) 2т»п-'.п=«1.2,..., C.13) { =0 где R(n)—некоторая функция достаточно простого вида, ко- которая выбирается так, чтобы последовательности Sx -(- R (п) и Sn были по возможности близки; можно рекомендовать выбор /?(/¦)= }j"cndrt. Параметры yh г = 0, 1, ..., N, определяются си- системой /V-f 1 линейных уравнений и затем 5 определяется прямо из C.13). По существу этот анализ не требует ничего большего, чем обращение матрицы Вандермонда (см. ч. 1, §6.2, упражне- упражнение 1).
322 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Таблица 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СУММЫ РЯДА C.14) И I 3 5 7 9 5, 1.0 I.36JI1I 1.463611 1,511797 1.539768 Метод I е-алгоритм (аппроксима- (аппроксимации Пале Cf/iJJ 1.0 1.45 1.551617 1.590305 1.609087 Метод 2 Итерированный е-алгоритм 1.0 1.581258 1.629670 Метод 3 Рациональные интерполяции C/V-точечные аппроксимации Паде) 1.0 1.65 1.644895 1.644934 1.644934 Метод 4 Метод интер- интерполяции Левина 1.0 1.625 1.644965 1.644935 1.644934 Пример. Вычислить сумму ряда По аналогии с методом Паде рассмотрим ассоциированную функцию C.15) Подынтегральное выражение имеет логарифмическую точку вет- ветвления при у=1, так что интеграл имеет логарифмическую особен- особенность при 2=1. Заменяя интеграл в C.15) контурным интегралом, можно без особых затруднений получить, что /A)=я2/6 и мы ис- используем теперь ряд C.14) в качестве теста для наших численных методов. По существу, мы должны вычислить значение суммы сте- степенного ряда в особой точке функции. Поэтому можно ожидать, что простое применение метода Паде в форме е-алгоритма столкнет- столкнется с трудностями. Метод GV-аппроксимаций в принципе должен дать удовлетворительный ответ. Мы сравниваем четыре метода: е-алгоритм, его первую итерацию, метод рациональной интерполя- интерполяции Тиле и метод асимптотического разложения Левина. В табл. 1 приведены приближенные значения Sx, полученные с помощью пер- первых л=2/+1 членов ряда C.14). Можно видеть, что рациональная интерполяция с использованием переменной w=* - дает геометриче- геометрическую скорость сходимости, что является вполне удовлетворительным результатом. Метод Паде по указанным выше причинам сходится неприемлемо медленно и итерирование едва ли дает достаточное улучшение скорости сходимости. В заключение этого параграфа обратим внимание на то, что рассматриваемые здесь методы являются частными (мы надеемся, что не слишком), и подчеркнем, что каждый из них имеет свою есте- естественную область применимости. Дальнейшие детали, касающиеся GV-аппроксимаций, можно иайти в работах [Gammel, 1973; Joyce
§ 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 323 and Guttmann, 1973; Guttmann, 1975 а, Ы. Подробности, относящие- относящиеся к методам анализа рядов, можно найти в работах [Gray, Atchin- son and Me Williams, 1971; Smith and Ford 1979; Brezinski, 1980]. Упражнение 1. Проверить, что элементы второй строки (я=3) табл. 1 вычислены правильно. Упражнение 2. Доказать, что Указание. Вычислить сначала интеграл \ , 2 dw с помощью — со теоремы о вычетах. § 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных Естественной задачей является обобщение аппроксимаций Паде на случай функций, зависящих более чем от одной переменной. Оказывается, что характер проблем, связанных с многомерными аппроксимациями, отчетливо проявляется уже в двумерном случае, и мы для простоты изложения сосредоточим внимание именно на нем. Сначала мы рассмотрим различные схемы определения двумерных аппроксимаций Паде, а затем перейдем к более общим классам ап- аппроксимирующих функций. Предположим, что заданы коэффициен- коэффициенты степенного разложения ас х f(x, y)=2 Ъч,;Х1У"- D 1) Задача состоит в том, чтобы определить области о)\Г и S> на дву- двумерной целочисленной решетке и полиномы А(х, у)= 2 аи,х?у1 D.2) и В(х, у)= 2 bt, мы требуем,
324 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Поде J Рис. 1. Область решетки Чисхолма. Области