Р, мл., П. Грейвс-моррис аппроксимации паде основы теории Обобщения и приложения Перевод с английского Е. А. Рахманова и С. П. Суетина под редакцией А. А. Гончара Москва «Мир» 1986 ббк 22. 13 Б 41

§ 2.2. Интегральные уравнения с компактными ядрами 351 определен при всех |л.|

жүктеу/скачать 343 Kb. бет 3/4 Дата 07.02.2022 өлшемі 343 Kb. #86530

§ 2.2. Интегральные уравнения с компактными ядрами 351 определен при всех |л.|<е-\ Другими словами, ряд B.5) схо- сходится к непрерывному ядру, которое в свою очередь задает отображение каждой функции из Ч§ [а, Ь] в функцию из % [а, Ь]. Преобразуя уравнение B.1) с помощью B.4), B.5), получим B.6) SNf. B.7) Ядро уравнения B.7) конечномерно, поэтому в круге I^Ke" функ- функция / мероморфна по к и имеет не более N полюсов. Мы заключаем, что (h\f) — мероморфная функция от к. Второе пространство, которое нам нужно рассмотреть, это гиль- гильбертово пространство Л?*(а, Ь) функций, интегрируемых с квадра- квадратом на открытом интервале (а, Ь). В этом случае мы допускаем, что а=—оо или Ь—оо, или и то и другое вместе. Скалярное произве- произведение, как и выше, определяется формулой B.3). Если а и b конеч- конечны, то Ч [а, Ь]<^?*{а, Ь). Чтобы использовать это пространство в наших задачах, мы предположим, что \\g(x)\*dx< оо и \\\A(x,y)\*dxdy< Справедлива теорема [Smithies, 1958, гл. 3], утверждающая, что если А (х, z/NJ?2, то при любом е > 0 имеет место представление А{х, у)-? Un{xlVniy)+T(x,y), B.8) где |]jH|= ja )a\T(x, y)Ydxdy < e. Функции и и v принадле- принадлежат JZ72 и являются нормированными собственными функциями операторов ЛЛ+ и Л+ А соответственно. Рассуждения, аналогич- аналогичные тем, которые использовались выше (см. B.6)), показывают, что и в этом случае (h\f) является мероморфной функцией от К. Мы рассмотрели ядра, принадлежащие двум различным про- пространствам, используя их в качестве операторов (x, y)f(y)dy, B.9) действующих в соответствующих пространствах. Оператор назы- называется компактным (или вполне непрерывным), если он переводит всякое (бесконечное) ограниченное множество элементов простран- пространства в множество, содержащее сходящуюся последовательность. На- Например, легко видеть, что тождественный оператор и оператор вида Avg=w(x) g(x) с v(xHO не являются компактными. Понятие ком- 352 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой пактного оператора полезно в теории как гильбертовых, так и бана- банаховых пространств. Банахово пространство определяется теми же аксиомами, что и гильбертово, с той разницей, что норма в бана- банаховом пространстве не обязана порождаться каким-либо скаляр- скалярным произведением. В произвольном банаховом пространстве нельзя утверждать, что любой компактный оператор можно аппроксими- аппроксимировать по норме конечномерными операторами, так что представле- представление типа B.8) в общем случае не имеет места. Однако остается спра- справедливым утверждение о том, что резольвента любого компактного оператора является мероморфной функцией от А,. В обозначениях B.1), B.2), если g€<®. h?$5* (сопряженное пространство) и Л — компактный оператор, то (Л|/> — мероморфная функция от к. Таким образом, в трех ситуациях различной сложности мы рас- рассмотрели способы доказательства утверждения о том, что (h\f) — мероморфная функция от А,. Обратимся теперь к теоремам и гипо- гипотезам, связанным с использованием этого утверждения. Если ядро А можно хорошо аппроксимировать ядром SN ко- конечной размерности Л/, то естественно ожидать, что аппроксимация Паде типа [N/N] будет хорошо аппроксимировать функцию (h\f), и обычно так и происходит. Приведенный выше анализ может от- отчасти мотивировать сложившееся убеждение в том, что использо- использование диагональных аппроксимаций Паде для функции Qi\f) явля- является эффективным методом решения любых интегральных уравне- уравнений, встречающихся в приложениях. Тот факт, что метод хорошо работает на практике, можно объяснить тем, что ядра, обычно встре- встречающиеся в приложениях, допускают хорошую конечномерную ап- аппроксимацию (независимо от того, найдена фактически такая ап- аппроксимация или нет). Контрпример [Graves-Morris, 1978]. Существуют непрерывное ядро А (х, у) и непрерывные функции g(x) и h(x), такие, что последовательность диагональных аппроксимаций Паде для ряда A.4) не сходится. j_ Положим рп(х) = (п+\)*Рп(х), п = 0, 1, 2,_..., где Рп{х) — полиномы Лежандра. Пусть g {х) — рь (х) = 1IV 2 и Поскольку |Р„(х)|<1 при —1<л:<1, то ряд B.10) равно- равномерно сходится (признак Вейерштрасса), ядро А (х, у) непрерывно при —1 ^х, у ^ 1 и соответствующий оператор является ком- компактным в гильбертовом пространстве J?2(—1, 1). Определим функцию h(x) равенством h (х) = 2 КРп W = 2 {n\fcuPn (x), B.11) 0 л0 § 2.2. Интегральные уравнения с компактными ядрами 353 где коэффициенты сп определяются следующим образом. Пусть последовательность индексов nk такова, что «1=1. «fe+i = 2«fe + l. тогда cn~akl^ при nfe354 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Суммируя сказанное, можно заключить, что мы не знаем точных условий применимости описанного в §2.1,2.2 общего метода, осно- основанного на парадиагоналыгых аппроксимациях Паде, однако есть все основания предполагать, что «плохие» аппроксимации в любой последовательности встречаются редко. В заключение рассмотрим полюсы обратного оператора A—kA)~l. Ясно, что аппроксимации Паде для (h\(l—KA)~1\g) не сходятся около полюсов этой функции в обычном смысле. Удобным способом включить эти точки в рассмотрение часто является введение сфери- сферической метрики, соответствующей сходимости на сфере Римана; см. ч. 1, § 6.4. Если анализ поведения некоторой парадиагональной последовательности аппроксимаций Паде показывает устойчивую сходимость полюсов аппроксимаций к некоторой точке, то практи- практически это всегда означает, что в этой точке функция (h\f) имеет по- полюс. Определение расположения полюсов (h\f) позволяет найти те значения к, для которых разрешимо однородное уравнение y)f(y)dy. B.13) Анализ, основанный на соотношениях B.6), B.7), показывает, что уравнение B.1) имеет единственное решение при всех к, за исключе- исключением некоторой последовательности значений {k=kn, п=\, 2, 3, . . .}, для которых \К\>1А{х, у)(-1; уравнение B.13) не имеет решения ни при каких к, кроме А,=А,„, п=\, 2, 3 Определение этих значений с помощью аппрокси- аппроксимаций Паде включает решение неоднородного уравнения B.1) с не- некоторым произвольным g(x), анализ поведения полюсов соответ- соответствующей парадиагональной последовательности аппроксимаций Паде и определение расположения устойчивых пределов этих полюсов. При выборе функции g(x) следует учитывать, что она не должна быть ортогональна к соответствующим собственным функ- функциям. Следует также иметь в виду, что операторы типа A—L4)~\ рассматриваемые здесь и в предыдущем параграфе, могут совсем не иметь полюсов. Например, для интегрального уравнения Воль- терра X ^(x, y)f(y)dy при А ? J?2 решение (h\f) является целой функцией от к. Это озна- означает, что ряд Тейлора этой функции сходится при всех значениях к. В таком случае, вероятно, нет необходимости использовать аппрок- аппроксимации Паде, кроме как с целью ускорения сходимости. § 2.3. Методы, основанные на проектировании 355 В качестве основных учебников по теории интегральных урав- уравнений можно назвать книги [Smithies, 1958; Riesz and Nagy, 1955; Tricomi, 1957]. Дальнейшие детали, касающиеся связи с аппрокси- аппроксимациями Паде, можно найти в работах [Baker and Gammel, 1961; Vorobjev, 1965; Graves-Morris, 1973]. § 2.3. Методы, основанные на проектировании В этом параграфе мы опять обсуждаем решение стандартного неоднородного интегрального уравнения (x, y)f(y)dy, C.1) которое здесь удобно записать, используя формализм гильберто- гильбертовых пространств и обозначение Дирака: \f)=\g)+M\f). C.2) Имеется в виду гильбертово пространство 3?г функций на конеч- конечном или бесконечном интервале {а, Ь)\ под А понимается линейный оператор в этом гильбертовом пространстве. Теория, которую мы обсуждаем, имеет общий характер и часто бывает полезна в случае банаховых пространств. Основная задача, которую мы хотим ре- решать, заключается в вычислении интеграла =\h*{x)f(x)dx, где — решение уравнения C.1, 3.2). Методом итераций полу- получаем степенное разложение решения \f> = \g> + kA\g> + k*A>\g>+.... C.3) Следовательно, .. C.4) C.5) где С/ = <А| А'\ g>, г = 0, 1, 2, .... Эти разложения сходятся при Ш||Л[!<1 и являются только формальными при | А,|| А || > 1. Из C.4) видно, что исходные векторы ф\ и \gy в\одят в фор- формулу решения более симметрично, чем можно было бы ожидать исходя из первоначальной формулировки задачи. Если А (х, у) — постоянная, то разложение C.4) является геометрической прогрессией 356 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой и в этом случае аппроксимация Паде [0/1] для <Л|/> дает точный ответ. В общем случае для аппроксимации Паде [N—1/N], согласно A; 1.3.6), имеем представление Л' I, 1 = 0 где матрица С определяется равенствами Q, у == с{+/ — "kci+j+i. Ниже мы увидим, что эту аппроксимацию ряда Неймана C.4) мож- можно интерпретировать как точное решение некоторого интегрального уравнения, аналогичного исходному уравнению C.1), C.2). Рассмотрим подпространство исходного гильбертова простран- пространства, порожденное N векторами \g>, A\g>, A*\g>, ..., AN~*\g> и положим' '^н^и- }' '-1'2- ••••*• <3-8> Далее, обозначим через SN подпространство, порожденное векто- векторами |^!>, |г|5а>, ¦ • •> |^/v>> и через S'N—подпространство, порож- порожденное векторами <я1-,'|, <г|)г|, ¦••, <^|- Через R обозначим матрицу с элементами /> i ; 10 /о qv и определим проекционный оператор П= 2 {ЬХ^Ь./Ш (зло) 1. /= 1 Из определения ясно, что J .\ — J N< так что ^дг действительно является проекционным оператором: 5*N проектирует векторы исходного гильбертова пространства на подпространство 5д,. Легко видеть, что так что S"N является тождественным оператором на подпрост- подпространстве SN. Обозначим через ТN дополнение к подпространству SN в гильбертовом пространстве. В общем случае TN содержит AN\gy, ^'v+1|g-> и много других векторов. Оператор ^л. отображает эти векторы в SN, но, к сожалению, найти оценку для 1^^\\ в общем случае достаточно сложно. Оператор ^N осуществляет не орто- ортогональное, а косое проектирование и следующая аналогия поможет § 2.3. Методы, основанные на проектировании 357 понять связанную с этим трудность. Пусть SN—горизонтальная плоскость солнечных часов, a TN — вертикальный столбик-указа- столбик-указатель, который называется гномоном. Тень от гномона всегда лежит на SN, но ее длина зависит от высоты солнца над гори- горизонтом. В общем случае ясно, что II *"* II 1> 1 и 9*N можно схематически представить в виде Оказывается, что аппроксимация Паде типа [N—1/Л/] для реше- решения уравнения C.1), C.2) дает точное решение интегрального урав- уравнения Доказательство. Равенство C.11) означает, что | fN> ? SN и, следовательно, \fN> можно представить в виде N 2/Ц/ 1 = 1 Для определения коэффициентов dt подставим C.10) и C.12) в C.11). Это дает JV N 2<*|Ц>/> = 1г>+ь 2 i=\ t, I. *=1 Составляя скалярное произведение левой и правой части с + К 2 <^. \А | %> dk. 1 = 1 *•=! С учетом C.8), C.9) отсюда находим, что N и, используя снова C.8) и C.12), получаем N /V - 1 <Л|/*>=2<*А-,= 2 ct(C-% fy, i= 1 г, i=0 где элементы матрицы С определены равенствами C.7). Эти выкладки показывают, что аппроксимация Паде [N—1/jV] для Л|/ (см. C.6)) дает точное решение уравнения C.11). 358 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Завершая это обсуждение, отметим, что если бы оператор был оператором ортогонального проектирования, то мы могли бы ут- утверждать, что 9*N А-+А при ЛЛ->оо и, следовательно, аппроксима- аппроксимации Паде для решения C.1) сходятся. В общем случае это не так и сходимость аппроксимаций Паде удается доказать только для случая, когда A, \g) и ф\ подобраны так, что проектор 9*N близок к ортогональному [Baker, 1975]. Теперь мы рассмотрим развитый выше метод решения уравнения C.1), основанный на построении аппроксимаций Паде с помощью элементов пространства SN из C.8), в свете метода минимальных итераций [Lanczos, 1952]. Этот подход был указан в работе [Gari- botti and Villani, 1969a]; там показано, что знаменатель Паде для функции (h\fN) является ортогональным полиномом из теории би- ортогональиых алгоритмов. Такой алгоритм позволяет продолжить предыдущий анализ путем построения в пространствах SN и S'N би- ортогональных базисов. Исходя из векторов \b> = Ai-i\S>eSN, / = 1, 2, ..., N C.13) и \h>?S'N, /-1, 2, .... N, мы построим новые векторы |<р(>, | q>/>, удовлетворяющие соотно- соотношениям ортогональности o»,6,,/t i, / = 0, 1 Ы—1, C.14) где {wt} — некоторые нормировочные постоянные. В случае когда |?>=|Л> и Л=Л+ (т. е. g(x)=h(x)* и А(х, г/)=Л (у, х)*), простран- пространства SN и S 'N по существу совпадают и анализ сильно упрощается, приводя к обычной ортогональности в SN и S'N. В общем случае биортогональный алгоритм проще всего реализовать путем введения последовательности полиномиальных операторов ро(Л) = 1 C.15а) р1(А)=А-а0 C.15Ь) i(A)-$iPi_l(A), /=1, 2 C.15с) где постоянные аь р; в C.15) выбираются так, что а'—Щ5ог р'-<ф;„|ф,--.>=^7- (ЗЛ6) По индукции можно доказать, что векторы, определяемые равен- равенствами C17) § 2.3. Методы, основанные ни прдекгпирЛвйнии 359 где i=0, 1,2, . . ., удовлетворяют условиям биортогональности C.14). Доказательство не вызывает затруднений и подробности мы опускаем. Если А — оператор конечной размерности /V, то векторы AN\g), AN+1 \g)... являются линейными комбинациями элементов из SN. Из C.15) следует, что старший коэффициент многочлена Pt(A) равен единице, поэтому пространство, порожденное векторами |фо>, l . • • •. 1ф.у_1>, совпадает с SN при всех N. Таким образом, если А — оператор конечной размерности /V, то вектор |cplV> яв- является линейной комбинацией векторов |сро>, . . ., 1фд,_х> и из условий биортогональности C.14) вытекает, что |фv>=0. Анало- Аналогично устанавливается, что в этом случае <ф^|=0. В общем случае мы можем считать, что, обрывая процесс орто- гонализации после /V шагов с достаточно большим N, мы получим достаточно много доминирующих собственных функций (доминиро- (доминирование здесь определяется относительной величиной собственных значений). Как бы то ни было, мы можем формально завершить ортогональный процесс условиями 1флг>=<флг1=0- Это дает «усеченное» интегральное уравнение решение которого мы получим теперь исходя из представления 1/*>-2*/1ф/>- (ЗЛ8) Подставляя C.18) в C.11) и рассматривая скалярное произведе- произведение с <ф,-1, получим /V - 1 е,-со,. = со08,.>0 + Х<Ф|И 2 . C.19) Из C.15) вытекает, что < 360 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Равенства C.20 а—с) дают систему из N уравнений для опреде- определения N неизвестных е0, в\, • ••, Gn-\- Чтобы решить эти урав- уравнения, положим [г=А,-1 и перепишем их в виде рекуррентных соотношений .—|i) *, + (! = 0, C.21а) г=1, 2, .... N—2, C.21Ь) = 0. C.21с) Для того чтобы равенства C.21Ь) приняли ту же форму, которую имеют равенства C.15с), сделаем подстановку е\ = и, умножая C.21 Ь) на со,, получим е'ш + («*—I*) 4 + e'i-Фг = 0. C.23а) Начальное и конечное равенства принимают вид е'1 + (а0—ц)е'0 + со0[1 = 0, C.23Ь) (a^v-i—|г) ^-1 + ^-2^-! = 0- C.23с) Полиномы pt([i) удовлетворяют рекуррентным соотношениям C.23а) с начальными условиями ро(ц,)=1, р1(\х) = \и—а0. Опреде- Определим новые многочлены Pt(\t) теми же соотношениями C.23а), но с другими начальными условиями: po(\i) = O, Pi(fx)=l. Тогда решение C.23) может быть представлено в виде линейной комби- комбинации Равенства C.23Ь), C.23с) дают уравнения для у и б Теперь соотношения C.24), C.22) и C.18) дают явное выражение для | fN > , и мы получаем = епшй = е = у = ^-^- со0. Значение этого результата заключается в том, что в полученной формуле явно фигурируют нули и полюсы приближенного реше- решения интегрального уравнения, полученного с помощью аппрокси- аппроксимаций Паде; они находятся в нулях многочленов Pn(tj и § 2.4. Потенциальное рассеяние 361 Pn[j;)- Переписывая равенства C.21а, Ь) в виде получим представления е __ — И 0 а0 —(i + ai + n+а2— И Таким образом, мы видим, что биортогональный алгоритм позволя- позволяет представить решение интегрального уравнения, полученное с помощью аппроксимаций Паде в виде непрерывной дроби; последова- последовательность [Л/—1/ЛП, аппроксимирующая решение уравнения, ока- оказывается последовательностью подходящих дробей бесконечной не- непрерывной дроби. Коэффициенты дроби определяются формулами C.16), параметр к сохраняет свой смысл. § 2.4. Потенциальное рассеяние Аппроксимации Паде имеют много приложений в теории рассе- рассеяния. С этой теорией связано много интересных задач, и она явля- является хорошей почвой для проверки эффективности метода. Кроме того, потенциальная теория рассеяния оказывается хорошим вве- введением в проблемы, относящиеся к квантовой теории поля. Посколь- Поскольку для элементов Г-матрицы в квантовой теории поля трудно вы- вычислить даже несколько первых членов разложения, аппроксима- аппроксимации Паде могут оказаться для этой теории важным инструментом, позволяющим делать разумные выводы на основе немногих извест- известных коэффициентов степенного ряда. В этом параграфе мы приве- приведем основные факты, относящиеся к теории рассеяния, которые необходимы нам для рассмотрения приложений аппроксимаций Паде в квантовой механике. Где возможно, мы будем следовать обозна- обозначениям и способам нормировки, принятым в книге [Newton, 1966, гл. 7], поскольку там уделяется большое внимание теории /(-матриц и функций Йоста, которые играют важную роль при изучении схо- сходимости метода Паде; см. также [Graves-Morris, 1973]. Мы используем уравнение Шрёдипгера для двух частиц с отно- относительной координатой г в качестве переменной. Принимается, что %=\ и приведенная масса системы tn=(m~l+m~l)~l равна 1/2. 362 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Рис. 1. Графическое изображение рассеяния; показана падающая волна с моментом к и расходящаяся сферическая волна. С учетом этого уравнение имеет вид Hty = — v2\|j (r) + V (г) \|з (г) = k2ty (г). D.1) Мы предполагаем, что V (г) — короткодействующий, сферически симметричный потенциал, т. е. существует положительное [г, для которого функция |eUrK(r)| ограничена при г—+оо. В этих предположениях уравнение D.1) имеет решение вида е!кг D.2) описывающее рассеяние. Одной из наблюдаемых характеристик процесса рассеяния явля- является сечение рассеяния, определяемое как число частиц, рассеян- рассеянных за секунду в единичный телесный угол при единичном падаю- падающем потоке; в терминах амплитуды рассеяния /@)эта величина вы- выражается формулой Чтобы решить уравнение Шрёдингера, запишем его в виде и используем свободную функцию Грина, которая является реше- решением уравнения (V2 + 62)G(r, r', &2) = 8(i— г') D.3) и интерпретируется как волна, распространяющаяся из точки г = г'. Нужное нам решение имеет вид G(r,r',k>) = -±g^-, D.4) § 2.4. Потенциальное рассеяние 363 так что решение уравнения Шрёдингера удовлетворяет уравнению Борна Jk\t-t'\ -т-__у(,-'Жг')^'. D.5) Нас интересует форма решения в точке г, находящейся далеко от центра рассеяния. Пусть г—единичный вектор в направле- направлении г и к' — импульс рассеянной волны в этом направле- направлении, так что k' = kr. Тогда асимптотика я]) (г) в соответствии с уравнением Борна имеет вид ')dr4.0^ D.6) при условии, что V (г) — короткодействующий потенциал. При том же условии величина |я|)(г)| ограничена на бесконечности и мы, сравнивая D.2) и D.6), приходим к определению Г-матрицы как амплитуды рассеяния T(k',k) = = — 4nf{Q)=[e-ik'rV(r)^{r)dv D.7) и матрицы импульсного представления потенциала V (к', к) = J е- ik'-rV (r) е'кг dr = <к' | V | к>. D.8) Уравнение для свободной функции Грина можно решить, исполь- используя импульсное представление; с учетом граничных условий это дает что согласуется с D.4). Из D.5), D.7) и D.9) вытекает, что T(k',k) = F(k\ k) + -L-JV(k', q)fea_^+.eT(q, k). D.10) Это уравнение называется уравнением Липпмана — Швингера для полувнеэнергетической Т-матрицы, которая определена этим урав- уравнением для всех вещественных векторов к'. Уравнение Липпма- Липпмана — Швингера для строгой теории рассеяния обсуждается в книге [Reed and Simon, 1979, с. 98]. Т-матрица на энергетической поверх- поверхности получается отсюда при |k'|=|k|. В теории трех тел полезно определить полностью внеэнергетическую Г-матрицу Г (k', k\ к") = У(к', к") + -^? JK(k', q) g_ft+fe T (q, k\ к"), D.11) 364 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой ¦-Q Рис. 2. Углы между векторами k', q и к, которые используются в описании про- процесса рассеяния. и мы вернемся к этому вопросу в § 2.8. Уравнения D.10), D.11) можно записывать следующим образом: Т = V + VGV = A —FG)-1 V ..., D.12) хотя эти выражения не дают ничего, кроме указания алгебраических операций, входящих в формулы уравнений D.10), D.11). При усло- условии обратимости фигурирующих здесь операторов и сходимости рядов эта запись может быть полезной. Для практических вычис- вычислений существенно произвести редукцию размерности D.10) путем разложения на парциальные волны. Положим ., = — -gL J Г(к', k)Pt(cosQk',k)d(cosQk'. О, D.13а) L -i Тогда К(к',Ч) = -4л2о x ^K у К) == ~~~ ~гЛ ^^j , k). D.13b) v. , D.14a) ii.k, D.14b) § 2.4. Потенциальное рассеяние 365 где y = ^(k',q) и р" =^/(/г', А). В дальнейшем используется также величина а =/.{k, q)\ эти углы показаны на рис. 2. Нам нужна еще следующая «формула сложения»: Р, (cos у) — Pt (cos a) Pt (cos f>) + m=\ Отсюда вытекает равенство 2 k', к к', k я 2_q2^.is, 4. к, представляющее собой уравнение Лшшмана—Швингера для парциальных волн [Goldberger and Watson, 1964, с. 918]. По аналогии с D.12) это уравнение можно записать в виде T = V + VGT. D.16) В качестве иллюстрации рассмотрим экспоненциальный потенциал и потенциал Юкавы. Для экспоненциального потенциала полагая Д2 = (к — к')а, получаем в импульсном представлении Соответствующая S-волновая компонента имеет вид vl = На массовой поверхности формулы принимают особенно простой вид и позволяют находить явные решения D.15). Для потенциала Юкавы V{r) = he-^tr имеем V(k\k)-—Г D.18) где Qt—функции Лежандра второго рода. Функции &kl) .. принад- принадлежат Л?2 и с этой стороны трудностей с уравнением D.15) не возникает. Тем не менее уравнение Липпмана—Швингера D.15) 366 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой сингулярно, поскольку полное ядро уравнения не удовлетворяет условию [\\S(k',q)\*dk'dq§ 2.4. Потенциальное рассеяние 367 и мы получаем уравнение для парциальной волновой Г-матрицы на энергетической поверхности <*.* = **.*(!-'¦***.*)-*. D-23) Полагая Ki1' /; = (tg &i)lk, находим, что D.24) и далее из D.6), D.7) и D.14Ь) вытекает D.25) Это равенство объясняет, почему бг называют фазовым сдвигом 1-й парциальной волны. Мы рассмотрели подход к задачам рассеяния, основанный на импульсном представлении с дальнейшим переходом к парциальным волнам. Часто оказывается, что предпочтительнее использовать парциальные волны с самого начала и тогда необходим явный вид функции Грина для парциальных волн. Пусть волновая функция представлена в виде суперпозиции пар- парциальных волн 2 |(cos6)?*'*/?,(,), D.26) тогда уравнение Шрёдингера для радиальной компоненты Rt(r) имеет вид и подстановка приводит D.27) к виду ¦^ =т7?Дг), D.28) -^г- L7F-i Чч @ + ^Ч1/ (г) = V @ ^г (г). D.29) При V (г) == 0 имеем —*Га а ^г (r)~bfe''vl?; (^)=== 0- D.30) Независимые решения этого уравнения ut (kr) и vt (kr) опреде- определяются в терминах функций Бесселя и Бесселя—Риккати следующим образом: D.31а) D.31Ь) 368 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Из D.28), D.33а) можно видеть, что радиальная компонента пада- падающей плоской волны должна быть решением уравнения D.29), исчезающим при г=0, т. е. она должна совпадать с и, (kr). В самом деле, разложение падающей плоской волны имеет вид 00 e'kr = -^Z B/+l)P,(cosOkf r)u,(kr)il. D.32) / = о Это можно проверить, используя дифференцирование (did cos 9)' и подстановку г—0. Часто полезна запись, в которой фазовые по- постоянные V учитываются в форме записи парциальных волн, так что падающая волна получается вещественной. Нам нужны следующие факты, касающиеся функций м,(х), vt(x), которые легко получаются из хорошо известных свойств функций Бесселя М*)~B/+Т)П +°(*'+3) при х —0, D.33а) -+0, D.33Ь) иЛх) ~sin f x—-j nl\ прих—+ oo, D.34a) vi(x) cosfx—-j л/j прих—«-oo. D.34b) Вронскиан для и{(х) и vt(x) определяется равенством Учитывая вид дифференциального уравнения, которому удовлет- удовлетворяют эти функции, и их асимптотику (см. D.33), или D.34)), получаем W(u,,vt) = l. D.35) Далее нам потребуется еще ряд формул, и определений. Положим Щ {х) = — еш [vt (x) — iut (x)] — D.36) IA- + — iZll ~е 2 при х—у + оо. • D.37) Функция wf (x) представляет рассеянную расходящуюся волну и имеет особенность в точке х = 0. Из D.36) следует, что W(ut,wt) = eina+1>. D.38) Отметим простейшие частные случаи "о (х) = sm х< vo (х) = — cos х, Wo (х) = ёх. § 2.4. Потенциальное рассеяние 369 С помощью функции Грина решение уравнения Шрёдингера для парциальных волн D.29) можно записать в виде l )^(r')dr'. D.39) о Функция Грина определяется следующими условиями (и) g(r, r', k2) оо eikr при г —> оо, D.40) (in) g@, л') = 0. Функция tyi(r) регулярна в начале координат и включение взаимодействия приводит только к появлению рассеянной волны. Имеем g(r,r',k*) = f1(r')ul(kr) при г < г', g(r,r',k*) = ft(r')w1(kr) при г > г', 1- ' и для того чтобы равенство D.40) было справедливо при г = г', необходимо условие \ ) \дг ]г=г'- = 1, т. е. (dg_\ _(Щ \ дг )г=г'+ \дг Мг)<(*г) Из D.38) следует, что это позволяет записать равенства D.41) в компактной форме g*»{r, r',P) = — eri'ttul(kr<)wt(kr>)/k. D.42) В качестве примера отметим, что стандартная функция Грина для рассеяния в S-волновое состояние имеет вид g@) (r, r', k2) = — k-1 sin (Ат<) eikr>. Из D.42) и D.36) следует, что вещественная функция Грина для /(-матрицы (стоячих волн) имеет вид g?{r, r', k^^u^kr^v^kr^lk. D.43) Например, для S-волны имеем g. 370 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Подставляя D.42) в D.39), получим асимптотическую формулу 1 00 / 1 \ ikr я/ л i|)?sy(r) = sin( kr — y л/) — k~4 2 \ul(kr')V{r')^l(r')dr'. ^ ' о D.44) Так же как при анализе формулы D.6), полагаем Т| = - k~i J ut (kr') V (/¦') ^ (г1) dr'\ D.45) о тогда ikr —— Ш -ikr +— inl УГЧг) = - C + ^-g !_, D.46) где первый и второй член представляют соответственно расходя- расходящуюся и сходящуюся волны. Сохранение массы приводит к ра- равенству |1+2/1,1 = 1, и обычно полагают S/ = l + 2ix/ = e'/e' и Tl = ei6ls\n8l. D.47) Конечно, фазовые сдвиги в D.47) те же, что в D.25) ввиду D.26), D.28) и D.34а), что приводит к D.46). Чтобы завершить обсуждение вопроса о функциях Грина пар- парциальных волн, нам нужно рассмотреть функцию Грина для реше- решения Йоста уравнения Шредингера D.29) для парциальных волн. Эти решения имеют на бесконечности асимптотику вида i(.k,r)~elkr и /(— k, r) ~e~lkr D.48) и представляют соответственно расходящуюся и сходящуюся волны. Оба решения являются нефизическими, поскольку не удовлетворяют закону сохранения энергии; соответствующие формулы имеют вид и /,(—*, /¦) = e-rtr+$?i (Л Л k*)V(r')ft(-k,r')dr'. D.49b) о Нам требуются функция Грина с условием g(r, r', k*)=0 при г>г' D.50а) и рассуждения, подобные гем, которые использовались при выводе ft(k, г) = ^' + 5 gt(r, r', *•) V{г'))t(k, r')dr' D.49a) § 2.4. Потенциальное рассеяние 374 формулы D.42), но с привлечением D.35) вместо D.38) дают &(г, Л fc«) = l{M*r')M*r) —иДЛОМЛг)}. r г', что приводит к следующим интегральным уравнениям Вольтерра: f(k, /-) = по" лагая г = 0, получаем г|эг @) = 0. Таким образом, мы имеем формулу *i- f(k, 0) е ' (*01> представляющую S-матрицу в терминах функций Йоста. Решению уравнения Липпмана — Швингера D.15) уделяется большое внимание, поскольку оно является прототипом уравнений квантовой теории рассеяния. Естественным методом решения этого уравнения является использование близких к диагонали последо- последовательностей аппроксимаций Паде для ряда Лиувилля — Неймана (см. § 2.2). Первый численный результат, полученный таким путем для потенциала Юкавы в работе [Caser et al, 1969], был весьма об- обнадеживающим. Мы хотим еще раз обратить внимание на то, что при использовании аппроксимаций Паде коэффициенты разложе- разложения Лиувилля — Неймана должны вычисляться с большой точно- точностью (см. ч. 1, § 2.4 и (Schfartz, 1966]). В этой главе мы обсуждаем различные варианты этого прямого подхода к решению уравнения Липпмана — Швингера. Известно, что ядро уравнения Липпмана — Швингера для потенциала Юкавы компактно при соответствующем выборе банахова пространства [Lovelace, 1964; Graves-Morris and Rennison, 1974]. В свете результатов § 2.2 это делает понятным тот 372 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой факт, что применение аппроксимаций Паде в этих обстоятельствах дает хорошие результаты. Для решения уравнения Липпмана — Швингера и других свя- связанных с ним уравнений применялось множество различных вариа- вариаций метода Паде. В § 2.7 мы покажем, что прямое применение ап- аппроксимаций Паде гарантирует сходимость для случая обычных зна- знакопостоянных потенциалов. В § 2.8 мы обсудим вариационный метод Паде, который обычно позволяет уточнить результаты, полученные прямым методом. Интересный подход к задачам рассеяния при низ- низких энергиях основан на двойном использовании уравнения Лип- Липпмана— Швингера D.19) для внеэнергетической парциальной волновой /(-матрицы При &2^0 ядро уравнения регулярно в гильбертовом простран- пространстве и уравнение легко решается в этой области значений k2 путем обращения соответствующих матриц. Прямой метод аппроксима- аппроксимаций Паде в этой области сходится (см. § 2.7). Это дает возмож- возможность вычислить решение при фиксированных р, q и N различных отрицательных значениях fe2. Затем решение экстраполируется в интересующую нас область &2>0 с помощью Af-точечных аппрок- аппроксимаций Паде Schlessinger and Schwartz, 1966]. Аналогичный способ экстраполяции полезен также для уравнения Бете — Сал- питера (Haymaker, 1968; Haymaker and Schlessinger, 1970]. Уравнения Фаддеева описывают трехчастичное потенциальное рассеяние; это интегральные уравнения, содержащие двойной ин- интеграл с ядром, имеющим полярные и логарифмические особенности. Физически интересные случаи включают обычно пару уравнений. Характер сингулярности ядра для уравнений Фаддеева весьма сло- сложен, и метод решения, основанный на аппроксимациях Паде для соответствующего разложения Лиувилля — Неймана, имеет в этом случае ряд важных преимуществ [Tjon, 1970, 1973, 1977]. Дальнейшие детали, касающиеся применения аппроксимаций Паде для исследования уравнения Липпмана — Швингера, можно найти в работах [Ruijgrok, 1968; Stern and Warburton, 1972; War- burton and Stern, 1968]. § 2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами Вариационные принципы, как часто оказывается, приводят к наиболее точным методам решения уравнения Шрёдингера в задачах рассеяния и задачах о связанных состояниях. Определенно можно утверждать, что основанные на вариационных принципах методы § 2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами 373 аппроксимации волновых функций приводят к удивительно точным значениям связанной энергии в приложении к методу Рэлея — Рит- ца. Сначала мы рассмотрим проблему связанных состояний в кван- квантовой механике, которая связана с решением однородных интеграль- интегральных уравнений. Эту задачу не следует путать с задачами теории рас- рассеяния, которые связаны с неоднородными интегральными уравне- уравнениями; их мы рассмотрим во вторую очередь. Проблема связанных состояний включает в себя обычно задачу определения дискретных уровней энергии; соответствующие инте- интегральные уравнения разрешимы только для специальных значений параметра, входящего в уравнения, и множество таких значений параметра дискретно. Мы рассмотрим сначала вариационный ме- метод Рэлея — Ритца, хотя он и не эквивалентен методу аппроксима- аппроксимаций Паде. Затем мы используем некоторый специальный подход, связанный с этим методом, который дает аппроксимации Паде в качестве вариационного решения. Рассмотрим потенциал V(r), который хотя бы частично является притягивающим. Метод Р^лея — Ритца показывает, что такой потенциал имеет хотя бы одно связанное состояние, и мы хотим определить минимальную энергию, соответ- соответствующую основному связанному состоянию. Уравнение Шрёдингера для волновой функции частицы в поле имеет вид Я'фаа—УаФ+^=Я„'ф+Т/11)=^ E.1) (ср. D.1)). Принцип Рэлея — Ритца заключается в том, что веще- вещественный (независимо от способа нормировки |i}>t>) функционал ГЕ1-. <Ч*1 достигает минимального значения по отношению к вариациям проб- пробной функции |tyt>; этот минимум значения [Е] является энергией основного связанного состояния и достигается, когда пробная функ- функция совпадает с волновой функцией этого состояния. Доказатель- Доказательство не вызывает затруднений, если предположить, что существует полная ортонормированная система из собственных функций опе- оператора Я. Вариационный метод заключается в выборе М функций ¦ф,(х), ( = 1, 2, ..., М, E.3) которые используются затем для построения класса пробных волновых функций м ^ОО-^ЦалМх). E-4) Например, мы можем положить 374 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Тогда функционал \Е] становится функцией от параметров {аг}; набор значений {а,}, доставляющий функции [Е] минимальное зна- значение, определяет наилучшую аппроксимацию точно волновой функции, а соответствующее минимальное значение [Е] дает оценку энергии основного состояния. В более общей форме вариационного метода каждая из функций я^ (х) может сама зависеть от некоторого набора параметров {Р/./Ь /-1. 2, .... М, которые также варьируются при определении минимального зна- значения [Е]. Например, пробную функцию вида | т]з, > = at | х |Р>. «е-Р»'»Iх I + «21х I3*' 'е~3'х' можно варьировать по пяти параметрам. С помощью метода Рэлея — Ритца были произведены очень точные вычисления энергии основного состояния атома гелия; в этом случае основным является электромагнитное взаимодействие, характеристики которого известны с большой точностью FPekeris, 1958, 1959]. Метод использовался также для вычислений энергии связанных состояний тритона на основе ядерных потенциалов; в этом случае полученные результаты применялись главным обра- образом для проверки предполагаемых характеристик потенциалов [De- [Delves and Phillips, 1969]. Теперь мы сравним принцип Рэлея — Ритца, описанный выше, с другим вариационным принципом и увидим, какой конкретный метод анализа приводит к аппроксимациям Паде как решению ва- вариационной задачи. Задачу о связанных состояниях можно перефор- переформулировать как вопрос о силе потенциала, которой соответствует некоторая фиксированная энергия связанного состояния. В ка- качестве характеристики силы потенциала введем параметр К, так что V(r) = W(r). E.5) Рассмотрим теперь функционал Прежде всего отметим, что если \tyty— решение уравнения Шрё- дингера E.1), то [—1А] = —1Д. Теперь, полагая, что G — = (Яо—f)—обычная свободная функция Грина, найдем для функционала [—1/Я] первую вариацию. Л 1 1 <% 1 ?/G?/1 foft> I <6fc | V | ifc> [<^ | UI -<$t I UGU | b> <*t\U\ 4t> [J- E-7) § 2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами 375 Поскольку точное решение | "ф> удовлетворяет условию то в этом случае г 1 = 0, и мы говорим, что значение [—1А1 является стационарным при Ясно, что нахождение условий, при которых эти формулы имеют строгий смысл, требует определенных усилий. Однако если зна- значение Aф(|?ЛгЫ достаточно близко к (ap|f/|i|)>, то формальная стро- строгость мало что прибавляет к пониманию вопроса. По существу, ва- вариационный метод состоит в определении точки возврата функцио- функционала [—1/Я] путем вычисления вариаций по параметрам, входящим в |r|)t>, что позволяет получить нужное значение параметра ин- интенсивности взаимодействия А. и тем самым найти связанное состоя- состояние с предписанной энергией. Теперь мы используем следующее множество пробных функций [Nutall, 1966, 1967, 1970а] \Ь>= 2 d{ 2 |"=0 с параметрами d0, ..., dM_v которые должны быть найдены путем варьирования. Тогда М -1 М-1 2 2 <^; '• •••' Л1 — 1. E.12) Положим Си = <Уо\и(°и)к\Цо>, ^ = 0. 1. 2,..., E.13) и, подставляя E.11) в E.12), получим следующую систему урав- уравнений: ЛГ-1 М-1 Xj Z- d'ici+j: 1=о ' J ;=o В задаче о связанных состояниях коэффициенты ск в E.13) ве- вещественны, и мы заключаем, что параметры d0, ..., й?л1_, опре- 376 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой деляются системой уравнений * d, = 0. H-i + Щ СМ СМ + [Ц cM+i ¦ • ¦ С2М-г + [Ц сгМ- ь Условие совместности этой системы уравнений E.14) = 0 E.15) определяет отношения do:d1: ... '-dM_x и значение [^]^[ Этот результат мы сравним теперь с результатом, который дает применение аппроксимаций Паде для решения уравнения Шрёдин- гера E.1); запишем E.1) в виде однородного интегрального урав- уравнения E.16) Чтобы решить это уравнение, введем в рассмотрение функцию ]^0>- и параметры Я и ц (параметр К сохраняет свой прежний смысл; см. E.5)) и рассмотрим уравнение E.17) Нам нужно решение этого уравнения, соответствующее rj =0. При имеем формальные разложения -XGU\%>+(—; '2 с2+. . ., Аппроксимации Паде, соответствующие ряду определяются соотношением Мы видим, что при таком способе аппроксимации условие tj = 0 соответствует условию QW-vm (—^) = 0. Согласно A; 1.3.2) это § 2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами 377 условие можно записать в виде = 0. E.18) См~г + ^см См' Это уравнение совпадает с E.15), и мы заключаем, что метод аппрок- аппроксимаций Паде и специальная форма вариационного метода E.10), E.11) дают идентичный результат. Вернемся теперь к задачам теории рассеяния и рассмотрим хо- хорошо известные методы Кона (для функции Грина) и Швингера (для Т-матриц). Предположим, мы хотим вычислить матричные элементы функции Грина полного взаимодействия I=. E.19) Тогда / является стационарным значением функционала [/] = (/iM>t>+UtVlg>—ty'tlE—#№t> E.20) по отношению к его независимым вариациям по \tyt) и (%'|. Находя первую вариацию б [/] = (/i|t])f) — (ty't\E—//|бт|)<) + (8i|);|g} — (бт^Е—Я|я]3(> E.21) получаем, что стационарная точка для [/] определяется условиями E.22а) E.22Ь) что согласуется с E.19). Рассмотрим следующий способ выбора пробных функций: М — 1 >= 2 dt(GUyG\g> Для соответствующего стационарного значения имеем 1 = 0 M-l 2 d't- i=0 М - I М - 1 2 2 (=0 i=0 — 2 2 d[dj . 378 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Полагая c<= при i = 0, 1, 2, ..., имеем М - 1 М - I М - 1 [/]= 2 (dt + d't)c,— 2 2 didj(c{+J—tet 1 = 0 1 = 0 /=0 М -1 = 0, если с,= X, ^(с,.,, —Хс(+у+1), /=о М-1 ^т- = 0, если q= X, d,{c{+/—lcl+J+1), ш< /=0 Мы получили систему из 2Ж линейных уравнений относительно 27W неизвестных dj, d), /=0, 1 М—1. Вводя матрицу (ср. C.7)), решение можно записать в виде [/l-IS'S'MC-V:/. E.24) 1=0 /=И Это равенство представляет вариационное решение задачи E.20) с вариациями вида E.23). Тот же результат получается при исполь- использовании аппроксимаций Паде для разложения полной функции Грина в терминах свободной функции Грина /= и формулу A; 1.3.6), получим Л1 - I М-1 [М-1/М];= 2 2 ^(C-^jCj, что совпадает с E.24). Интересно провести эти вычисления для какого-либо случая, в котором известно аналитическое представление полной функции Грина. Для экспоненциального потенциала V(r)=X exp {—г/а} S-волновое радиальное уравнение может быть решено подстановкой х=ехр (—г/а). Полная S-волновая функция Грина имеет вид [Bas- devant and Lee, 19691 § 2.5. Связь аппроксимаций Паде с вариационными принципами 379 где ^ = ехр (—7->/2а), r\ = 2aV:—X, v--=2aik. Входящие сюда функции Бесселя можно разложить в ряды по степеням г\; это дает 00 g(r, r',k*)= 2 Vci(r, г', k*), E.25) i =0 где Ci— известные функции от г, г', №. Тогда нули многочлена Q[Af-i/Afj щ приближенно представляют полюсы функции g. Эти нули не должны зависеть от г и г', что вытекает как из формальных рассуждений, связанных с интегральными уравнениями, так и из физических соображений, поскольку эти нули представляют зна- значения параметра интенсивности взаимодействия для связанных сос- состояний. Поэтому можно выбрать произвольные разумные значения г и г', например г=г'=а (это мы уточним в следующем параграфе), и тогда условие q[m-i/a»1(X)«0 E.26) становится уравнением, связывающим k и X. Это уравнение дает значения параметра К, соответствующие связанному состоянию с данной энергией или, наоборот, энергию связанных состояний при данной интенсивности взаимодействия. Вариационный метод Швингера применяется для вычисления элементов Г-матрицы T=(h\V+V{E—H)-iV\g). . E.27) с помощью вариаций функционала E.28) Как и в случае принципа Кона, можно показать, что стационар- стационарное значение этого функционала по отношению ко всем возмож- возможным вариациям функций |г|?4> и Hg> + GV|iW>. E.29) В этом случае имеем Это доказывает, что E.28) действительно определяет вариационный функционал, соответствующий Г-матрице. Для задач теории рас- рассеяния полезно формальное разложение элементов Т-матрицы 380 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой где ф | и \g> обычно представляют плоские волны или их пар- циально-волновые компоненты. Имеем Применение аппроксимаций Паде [М—ММ] для ряда Т/К приводит в точности к тому же результату, который дает вариационный метод Швингера в случае вариаций вида М-1 Ki>= 2 d,{GV)'\g> i0 2 i=0 и М- 1 «Р<1 = 2 dtt> ' ?0 = min [E]. Предположим, оказалось, что для пробной волновой функции ji|}(> известны значения некоторых моментов высокого порядка E-30) § 2.5. Связь аппроксимаций Поде с вариационными, принципами 381 Метод Бессиса [Bessis, 1976] основан на использовании такой информации. Рассмотрим следующую «суперпробную» функцию: М-1 1Ч>,>= 2 diH'\ ! 1=1! где |i|)t>— обычная пробная волновая функция и {d,} — вариацион- вариационные параметры. Теперь применим вариационный принцип в сле- следующей форме: mtn <»''"'»'> . E.32) Эта запись указывает, что вариация но параметрам {ф} произво- производится в первую очередь. Конечно, состояние с наименьшей энергией связи Ео определяется уже вариациями только по |il^>, однако на практике все вычисления являются приближенными и предвари- предварительная минимизация по параметрам {dt} имеет определенный смысл. Учитывая формулу E.30), определяющую ц,, находим М-1 М-1 Г/71 _ '=0 /=0 II М-1 М- 1 2 2 1 = 0 /"=0 М - 1 !Л - 1 2 2 did — м-1 м-1 ( • @.66) 2 2 did*< **'¦+/ /¦=0 /'=0 Из условия стационарности [Е] вытекает, что 1^1=0 при i = 0, 1, ..., М — 1, E.34) и, подставляя E.33) в E.34), получим следующую систему линей- линейных уравнений: М-1 М-1 2 d/><+y+i-[?] 2 d/Hf+y^O. E.35) f= 0 1 = 0 Моменты (и,- вещественны, и значение [Е] определяется условием совместности этой системы 382 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Плоскость Ш ?2 ?j ?o Рис. 1. Спектр полной функции Грина, или в другой форме На Им ИЛ1-1 Им ¦ • • ИгМ-1 1 [Е] [Е]* = 0. E.36) Принцип Бессиса состоит в нахождении минимального решения [Е] уравнения E.36), которое затем минимизируется по всем пробным функциям \tyt), удовлетворяющим условию E.30). Приведем эквивалентное описание этой схемы в терминах аппрок- аппроксимаций Паде. Чтобы найти полюсы матричных элементов полной функции Грина в ^-плоскости, естественно использовать переменную w=E~l; тогда имеем Ы(?Hl\ +wH + w*№+ ... |^> = E-37) Мы видим, что уравнение E.36), полученное вариационным методом, представляет полюсы аппроксимаций Паде типа [M/MI для функции (ф^/:—Я)~Ч^<) (см. E.37)); эти полюсы лежат на отрицательной вещественной до-оси и в приведенной выше схеме используется тот полюс, который находится ближе всего к началу координат. Спектр функции Грина полного взаимодействия показан на рис. 1. Вероятно, этот метод более всего полезен при т=2, когда зна- значение [?] определяется квадратным уравнением [?]• Но Hi + [?] Иг Но Нз [Ч Hi Нг Иг Мз = 0, которое имеет явное решение в терминах (л0, ,щ> |_i2, j.i3. Даже в этом случае принцип Бессиса применим к задаче минимизации по \tyt) достаточно сложных нелинейных функций. Однако вариационная проверка показывает, что точность этого метода должна быть по крайней мере не хуже, чем в случае простого принципа Рэлея — Рит- ца. § 2.6. Оценка погрешности аппроксимаций Паде 383 В этом параграфе мы сконцентрировали внимание на связи ап- аппроксимаций Паде с вариационными принципами и обращали мень- меньше внимания на оценки аппроксимаций, которые могут быть получе- получены в тех или иных предположениях. По этому поводу см. [Nutall, 1966, 1967, 1970а, 1977; Bessis and Villani, 1975; Giraud, 1978; Giraud and Turchetti, 1978]. Детали, относящиеся к теориям возму- возмущения Бриллюена — Вигнера и Рэлея — Шрёдингера можно найти в обзоре [Killingbeck, 19771 и работах [Amos, 1978; Benofy and Gam- mel, 1977; Young et al., 1957; Schofield, 1972; Goldhammer and Feenberg, 1956]. § 2.6. Оценка погрешности аппроксимаций Паде в вариационных принципах Вариационные методы, имеющие простую форму погрешности, такие как метод Кона, неожиданно приводят (апостериори) к оцен- оценке погрешности метода аппроксимаций Паде для решения инте- интегральных уравнений. Мы возвращаемся к формализму § 2.3, свя- связанному с интегральными уравнениями F.1) Для эрмитово-сопряженного уравнения аналогично имеем — Щ\\—"кА\Ъ). F.3) Стационарное значение [J] определяется условиями №>=!/> и ОД= и <г|^ | не удовлетворяют F.4), то им соот- соответствует вариация функционала б[У]-[/] —Л F.6) Напомним, что если /V — 1 = 2 dtA*\g\ F.7а) i = 0 A'-l ^|= 2 d'i384 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой — вариационное решение F.3), то [Л — аппроксимация Паде для (h\f) и [6Л — погрешность аппроксимаций Паде. Рассмотрим разности |ЭД> = |т]5()_ |/> F.8а) и <8г|)('| = (г|);|—(/'|. F.8Ь) Из F.3), F.5), F.6) и F.8) после простых преобразований получаем б[Л=—(ЭД|1— XA\&\\>t). F.9) Используя симетричную запись этого выражения, находим оценку, справедливую при условии I^KII^II |б[/]|< К'ч;|A-1^)Цii(i^^)i%>и ш F10) Согласно F.1) и F.8а) имеем Из E.24) и предыдущих равенств следует, что О с. .. \g> Ca — lCi .. A\g> Ci — Kc, .. cN-i cN где detC = и ct= ^ A\g> c, ... c N cN+l F.14a) § 2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния 385 Аналогичным образом, полагаем - = <х; | ?>-. При выводе оценки F.15) в действительности использовалась до- дополнительная информация, доставляемая значениями величин вида (g\(№yKk\g), которая не используется в самой конструкции ап- аппроксимаций Паде. Оценка справедлива внутри круга сходимости ряда Неймана, соответствующего интегральному уравнению. Важ- Важным свойством формулы является наличие множителя \K\2N, отра- отражающего условие точности порядка аппроксимации. С ее помощью можно находить оценки аппроксимаций Паде для функций, которые могут быть представлены как матричные элементы решений инте- интегральных уравнений 1 = 0 (внутри круга сходимости этого ряда). Оценка легко обобщается на случай аппроксимаций Паде \N+J—l/N—J] с /=0, 1,2,.. ., N. Эта идея получила существенное развитие в работе [Barnsley and Baker, 1976]. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в ра- работах [Barnsley and Robinson, 1974 а—с], [Robinson and Barnsley, 1979]. § 2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния и т. д. В этом параграфе мы рассмотрим задачи рассеяния, связанные с чисто притягивающими или чисто отталкивающими потенциалами в квантовой механике. Мы сможем доказать, что аппроксимации Паде для /(-матрицы рассеяния вперед и для амплитуды рассеяния 386 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой парциальных воли сходятся. Эти результаты справедливы также в случае уравнения Бете — Салпитера для одночастичного обмена при рассеянии с равными массами. Следующее условие на потенциал является ключевым [Таги, 1966b; Masson, 1967a, b; Garibotti and Villani, 1969 a, b]: V(r)=XU(г); U(r)^0 при всех г. Это условие позволяет определить при всех г вещественную поло- положительную функцию U(гJ; в трехмерном импульсном пространстве справедливо представление U 2 (p, q) = \ е-1 (P-q) тц 2 (Г) dr. В случае одного переменного для 1-й парциальной волн.,] имеем uf(p, q) = /(-матрица определяется согласно D.19) K = V + VPGK=V+KPGV=W+XUPQK. G.1) Соотношение G.1) является формальным интегральным уравнением. Соответствующее разложение Борна — Неймана имеет вид K=W+l*UPGU+k3UPGUPGU+. . . G.2) Этому разложению легко придать строгий смысл в импульсном пред- представлении для одной или трех переменных. Учитывая форму разло- жепия, естественно ввести в рассмотрение ядро U2 PGU2. Это ядро вещественно, симметрично, принадлежит пространству J?2 и, со- согласно теории Гильберта — Шмидта, представимо в виде 1 I I 00 ц— pQu~ = у ф/ (р) ф» (q) 1=0 Здесь используется трехмерное импульсное представление, К{ вещественны, (ф^ (р)} — вещественные ортогональные функции из J^2 и ряд сходится в среднем. Преобразуем ряд G.2), оставляя без изменения первые два слагаемых K = W + %*UPGU + W ¦ V Ф, w ' ., Ф,- \и 2 . G.3) ll=0 J Отсюда следует, что вычет функции К (р, р)/Х в i-м полюсе - I1 (P, q) Ф, (q) § 2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния 387 является вещественным. Таким образом, функция К(р, рУК имеет в качестве особенностей только полюсы на вещественной оси; соот- соответствующие вычеты отрицательны на положительной полуоси и положительны на отрицательной полуоси. Аналогичный результат справедлив в размерности один для функции Kt{p, рУЬ. В этом смысле можно утверждать, что /(-матрица рассеяния вперед и парциальная волновая /^-матрица на энергетической поверхности представимы рядами Гамбургера. Мы заключаем, что в обоих слу- случаях имеет место сходимость последовательности аппроксимаций Паде [М—ММ]. В этой связи отметим, чторядG.2) рассматривается как ряд с нулевым первым членом; тогда сохраняется основное ус- условие, согласно которому аппроксимация Паде типа [L/M] для ряда G.2) осуществляет аппроксимацию до порядка L-\-M включительно. Напомним, что, согласно D.23), парциальная волновая Т-мат- рица на энергетической поверхности получается дробно-линейным преобразованием /(-матрицы Т k, ky Стандартные рассуждения, основанные на условии точности по- порядка аппроксимации, показывают, что при условии L-^LM имеем Как отмечалось в § 2.2, для функции Ki(k)/X предпочтительнее ис- использовать аппроксимации Паде типа \М—\IM\\ они соответствуют унитарным аппроксимациям Паде типа \М1М] для парциальной волновой S-матрицы. В качестве следствия мы получаем, что диа- диагональные аппроксимации Паде для парциальной волновой S-мат- S-матрицы на энергетической поверхности или для Т-матрицы, соответ- соответствующей рассеянию со знакопостоянным потенциалом, унитарны; последовательность таких аппроксимаций сходится. С помощью представления G.3) было также доказано, что числитель и знаме- знаменатель диагональных аппроксимаций Паде для S-матрицы сходятся по отдельности к функциям Йоста (см. D.52)) [Garibotti and Villani, 1969; Baker, 1975]. Применяя аналогичный подход, мы получим близкие результаты для уравнения Бете — Салпитера. Подробное обсуждение теории рассеяния, связанной с этим уравнением для двух частиц с исполь- использованием поворота Вика, содержится в классической статье [Schwartz and Zemach, 1966]; из этой работы мы заимствуем необхо- необходимые нам обозначения. Поворот Вика (поворот на 90° в энергети- энергетической комплексной (р0)-плоскости) применим к уравнению Бете — Салпитера ниже трехчастичного порога; в случае двухчастичного пропагатора он позволяет избавиться от сингулярностей в уравне- уравнении. Волновая функция, которая теперь включает относительную 388 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой временную координату, удовлетворяет интегральному уравнению )q(x'), G.4) где x = (r, t), I (x') определяет взаимодействие и G(x, х') — функ- функция Гринэ для двух частиц с равной массой Л4п Jp(x-x') " Р Ч /у ^я\ где = |/(г-г'J-(/ — О*. Q = ^P2—k\ \х\ = Vr2 — t2. Взаимодействие определяется одночастичным обменом х|-.оо G.6) и экспоненциально убывает при |jc|->oo. Необходимой частью в ана- анализе как релятивистского, так и нерелятивистского случая явля- является вещественная функция Грина, представляющая стоячие волны; в обозначения стоячих волн включается нижний индекс г. Соответ- Соответствующие волновые функции удовлетворяют уравнению a|V (х) = ел-г + J d'x'Gr (х, х') I (х') г|зг (*'), где °(* *')=*§ *р{х-Х')х /ej-^p1 — {p0—&)* + ] [p0 ) ] х[(р„-о)J-т2]}= G.7а) — GlX х'\ -I ' (r-th |г-г'| -.fft | г —г' |\ __ — и(х, х )-г-32я(о|г-г'| ^ е > _в> (О Согласно G.4), G.5Ь), асимптотика г|)(х) при |х|—> оо по на- направлению к' имеет вид г|> (х) ~ е'к' § 2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния 389 В соответствии с этим определяется Г-матрица 1**-'"'-гПх)У(х). G.8а) Аналогичным образом Натолл [Nutall, 1967] определяет ^-мат- ^-матрицу (она называется также релятивистской /(-матрицей или матрицей реакций) R = TeLI***-*'"'(*)^(*)• G.8b) Уравнение G.8а) дает борцовскую аппроксимацию для Т-матрицы Произведем теперь поворот Вика t = Te~i390 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой логичное G.3), и применяя те же рассуждения, можно показать, что матрица рассеяния вперед R(k, k)/A. представима рядом Гамбургера по степеням параметра интенсивности взаимодейст- взаимодействия К. Аналогично, рядом Гамбургера по степеням К представима матрица Я (к', к)/А. на энергетической поверхности. Соответствую- Соответствующие последовательности аппроксимаций Паде типа [М — \/М] сходятся. Далее, парциальная волновая Г-матрица получается как R[ (k, k) дробно-линейным преобразованием вида 1 a«. «j -! _ ikRi {kt k). следовательно, диагональные аппроксимации Паде для Tt(k, k) также сходятся. Парциально-волновые разложения G.9), G.10), по-видимому, неприменимы для решения уравнения Бете — Салпитера непосредст- непосредственно. Предпочтительнее использовать их вместе с каким-либо ва- вариационным принципом типа принципа Швингера. Так или иначе, с их помощью можно установить сходимость диагональных и еубдиа- гональных последовательностей аппроксимаций Паде для Tt(k,k); они позволяют также производить вычисления в импульсном пред- представлении. Остаются еще три возможности для выбора, связанных с поворотом Вика, методом вычитания и выбором между Т- и R- матрицами. Наиболее простой подход связан с использованием уравнения для Т-матрицы без применения поворота Вика и вычи- вычитания. Положим к—(к, 0), тогда согласно G.8а) имеем GЛ1) Подставляя G.4) и G.5а) в G.11), получаем T{k', k) = V(k', k) + , 16ГОВ С &дУ (k', q) T (q, k) "•"^ZitjO [q1-(?. где +m«-iel [q«-(<70- V W' k)^ Внеэнергетическая матрица получается отсюда заменой k на k" T(k'; со; k") = V(k', k") + d*qV{k', q)T(q; со; k") , „ Разложение на парциальные волны имеет вид T{k'\ со; k")= 2 B/+1)/>«(созвр., „.)*,(©', р'; со; со", р"), G.14) § 2.7. Знакопостоянные потенциалы в теории рассеяния 391 где *' = (р', ш'), р' = \р'\, Л" = (р", со"), Р" = |р"|. Следуя рассуждениям § 2.4 (см. D.13), D.14), D.15)), подстав ляем G.14) в G.13); это дает *,(«>', р'; со; со", /?*) = »,(©', //; со", р") + , 4w Г* g2 rf392 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Ядро уравнения Бете—Салпитера с поворотом Вика со вещественно и положительно при со < т и при таких ю можно J_ определить оператор Я2 . В этом случае Г-матрица может быть Lt _L ± ( ± ±\: представлена в виде T = V + VGV + VG2 \G2VG2 +{G2VG* ) + + ¦ • ¦ j G^V, где G2VG2 —вещественное симметричное ядро при &2< 0. Тогда функция Т/k (от к) представима рядом Стильтьеса и соответствующие диагональные аппроксимации Паде сходятся. Таким образом, Г-матрица рассеяния вперед и парциальная волновая Г-матрица в нефизическом случае имеют формальное разложение и полюсы соответствующих аппроксимаций Паде, как оказывается, определяют значения параметра интенсивности взаи- взаимодействия для связанных состояний с данной энергией. Строгие результаты этого параграфа могут быть обобщены на случай, когда потенциал V{r) не сохраняет знак, но представим в виде V(r) = V1(r)+Vt{r), где Vt(r)— знакопостоянный потенциал, а задача, связанная с Vi(r), допускает аналитическое решение (как в случае прямоугольного или кулоновского потенциала потенциаль- потенциальной ямы). Собственные состояния гамильтониана, включающего Vi{r) (но не У2(/")). используются как базис, a V2(r) рассматривается как возмущение. Используя некоторый формализм теории возмуще- возмущения, таким образом можно получить строгие результаты о сходимо- сходимости аппроксимаций Паде для амплитуды рассеяния. Подробности можно найти в работах [Michalik, 1970; Alder et al., 1973; Giraud et al., 1976; Khali], 1977]. Таким образом, в этом параграфе мы рассмотрели случаи, когда удается доказать сходимость прямого метода Паде для уравнений Бете — Салпитера и Липпмана — Швингера. Вычислительная прак- практика показывает, что этот метод с большим успехом можно приме- применять к уравнению Бете — Салпитера для нуклон-нуклонового рас- рассеяния, хотя в этом случае нет никаких доказательств сходимости. Имеются правдоподобные гипотезы о природе сил, отвечающих за нуклон-нуклонный обмен, и результаты вычислений в высшей сте- степени интересны с точки зрения их проверки [Gersten et al., 1976; Fleischer and Tjon, 19751. § 2.8. Вариационные аппроксимации Паде В § 2.5 были рассмотрены методы, связанные с минимизацией определенных функционалов, таких как \Е] в принципе Рэлея — Ритца по отношению ко всевозможным вариациям пробных функций. § 2.8. Вариационные аппроксимации Паде 393 Мы видели, что метод аппроксимаций Паде и вариационный метод дают один и тот же результат при некотором специальном выборе базиса пробных функций. В связи с этим естественно предположить, что результаты, полученные с помощью аппроксимаций Паде, можно было бы уточнить с помощью вариаций по подходящему набору па- параметров, таких как {рг, }}вE.Щ [Alabisoet al., 1970, 1971, 1972а]. В задачах о связанных состояниях и задачах рассеяния (§ 2.4, 2.5) полная функция Грина парциальных волн (см. E.25)) и соответ- соответствующие ей аппроксимации Паде рассматривались как функции от г,г' и k2. Удобно использовать также импульсное представление g(k', k",k*)=llul(k'r)ul(k"r')g(r,r',k*)drdr'. (8.1) о о Дело в том, что функции, представляющие элементы Г-матрицы и соответствующие им аппроксимации Паде, зависят от г, г' (или k, k') и k2. Однако, как отмечалось в §2.2, полюсы точной функции Грина и точной Г-матрицы зависят только от параметра k. Поэтому естественно вычислять значения аппроксимаций Паде для тех, г, г' (или k, k'), которые отвечают стационарным точкам функционала [/] из E.20) (или [Г] из E.28)). Например, полюсы Ш—1Ш]-аппрок- симаций Паде для [Т] зависят от пары импульсов k', k". В случае рассеяния простейший подход состоит в том, чтобы использовать значения k'=k"=k на энергетической поверхности. Однако наилуч- наилучшее решение вопроса заключается в использовании значений k', k", удовлетворяющих условию д [Т] _ д [Т] -W—dlT-u- (8-2) Рисунки 1 и 2 показывают, что это приводит к значительному уточ- уточнению результатов, которые получаются при использовании аппрок- аппроксимаций низкого порядка. В работе [Alabiso, Butera and Prosperi, 1971] указывается, что относительное увеличение точности становит- становится меньше с ростом порядка аппроксимации. Поскольку вычисли- вычислительные трудности (связанные главным образом с определением коэффициентов степенного ряда) так или иначе вынуждают исполь- использовать аппроксимации невысокого порядка, то применение метода вариационного уточнения аппроксимаций можно рекомендовать во всех случаях. Для дальнейшего развития этого подхода, который, вероятно, окажется полезным в квантовой теории поля, вернемся к уравнению (8.2). Эмпирическим фактом является то, что использование вне- энергетического импульса в качестве вариационного параметра дает исключительно плодотворный подход к задачам теории рассеяния. Однако оказывается, что оптимальное значение этого параметра не соответствует значениям на энергетической поверхности даже при- 394 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Е -6,0 -6.5 0,0 1.0 2,0 Рис. 1. Энергия первого связанного состояния S для потенциала V(r)=—29 ехр(—г), вычисленная при помощи аппроксимаций Паде [1/1] и 12/2] для функции Грина g (г, г, №) в E.25) по аргументу г [С. Alabiso et al., Lett. Nuovo Cirri., 3, 831, A970)]. -6,0 -6.5 1,0 2,0 3.0 Рис.2. Энергия первого связанного состояния S для потенциала V(r)=—29ехр(—г), вычисленная при помощи аппроксимации Паде [1/1] и [2/2] для функции Грина g (к1, к1, кг) в G.1) по аргументу k1 [С. Alabiso et al., Lett. Nuovo Cim., 3, 831 A970)]. близительно.Такое расхождение эмпирического факта и физической интуиции кажется недостатком метода и, по-видимому, наиболее естественный подход к ряду конкретных задач теории рассеяния свя- связан с матричными аппроксимациями Паде. Простейший метод вычисления амплитуды рассеяния с помощью матричных аппроксимаций Паде основан на разложении (8.3) § 2.8. Вариационные аппроксимации Паде 395 в котором все коэффициенты tt представляют собой B х2)-матрицы, k — импульс на энергетической поверхности и k'— внеэнергетиче- ский импульс (его можно использовать в качестве вариационного параметра). Разложение (8.3) можно понимать как совокупность четырех рядов Борна по степеням силового параметра К для не- некоторых конкретных амплитуд парциальных волн. Возможны дру- другие интерпретации этого формализма, например интерпретация, связанная с амплитудой рассеяния вперед (к\Т\к), и т. д. Матричные аппроксимации Паде для ряда (8.3) позволяют найти приближенное выражение для амплитуды рассеяния; затем параметр k' варьиру- варьируется для определения стационарного значения этого приближенного выражения. Это дает аппроксимацию для величины (k\T\k). Теперь мы покажем, что этот метод имеет эквивалентную вариа- вариационную формулировку (аналогичные результаты рассматривались в § 2.5). Как и выше, мы обозначаем через U(г) потенциал, соответ- соответствующий единичному значению параметра интенсивности взаимо- взаимодействия, так что данный потенциал имеет вид V(r)=XU(г). Теорема 2.8.1 [Nutall, 1973I. Пусть имеются два набора вол- волновых функций различных состояний в задаче рассеяния gu gi, ¦ ¦ •> gN " К, h2, . . ., hN, которые мы будем представлять векторами |g> и (h|. Пусть значение величины Та ,i = (Jia\T\gfi'>(\^a, Р^Л/) полу- получено матричным методом Паде с помощью аппроксимации типа [М—ММ] для следующего ряда с матричными коэффициентами ТА =2 l'. i- О Тогда то же самое значение для Та р дает метод Швингера E.28), если в качестве пробных функций использовать линейные комбинации функций вида gi. &. •••• g^ GUgu GUgit ..., GUgN, (GUygl, .... (GU)*gN, .... (GU) и hi, K, .... hmN, GUK, GUhl, ..., Доказательство. Чтобы упростить вычисления, мы приведем доказательство для случая М=2; в случае произвольного Af рас- рассуждения полностью аналогичны. Таким образом, мы рассматрива- рассматриваем пробные функции вида ¦И - 1 М - I \Ь>= 2 d?>(GUy\gl>-\- 2 df'(GUy\g2> 0 U 1=0 396 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой И М-1 М-1 <*; I = 2 %и <К | (UGY + 2 ~df ф, | (UG)'. (8.4) i=0 i=0 Пусть а, Р = 1, 2 и [Та,р\ = <ъ;\У\8>> + <К\У\Ъ>-<М\У-У0У\ъ> (8.5) — вариационный функционал Швингера. Стационарное значение определяется условиями д [Тд. р] ^_ д [Та, pi д [Тд, Г\ _ д [Та, ц] _ где г —0, 1, ..., М—1; это приводит к уравнениям <К | U (GU)< | ^>-<ф; | (U-WGU) {GU)' I ffi> = 0. (8-6) <*;|(f/-X?/GI/)(GI/)'|ft> = 0, (8.7) -Kh, | (f/G)' (U-WGU) | г1),> = О, (8.8) — = 0, (8.9) t —0, 1, ..., M — 1. Из (8.6), (8.7) после упрощений получаем 2М линейных уравнений для определения Л1', df\ / = 0, 1, ... .... М — \ М-1 М-1 ^}1— 2 dHW'—w(i'V+l>}— 2 dfl^V'—Щ1Ч,/+1>} = о, /=0 ' ' /=0 М-2 М-1 1=0 ' ' ,=0 Эту систему можно условно записать в блочной форме /7\, г-КТ[:\ Ttf ,-т+'Д элементы входящих сюда (МхМ)-матриц-блоков имеют вид (Та, р),, / = ^+(Г И (T§ 2.8. Вариационные аппроксимации Паде 397 Подставляя (8.10), (8.11) в (8.4), (8.5), получаем следующее пред- представление для стационарного значения функционала [Та^]: J I ч 1 /\,1 ,1 lit. /\,ii 3 \ / ' 1 ft \ \T 1 — IT Т \\ ' ' ' \ Р I /Q 1 О\ U a, Plsl — K1 а.-\' a,t)\ т 7Т<+> Т 1Т<+> \Т I' (O.IZ) Х-' 2, 1 Л/ 2. 1 ' 2, 2 Л' 2. 2/ \' 2, В/ Это представление совпадает с компактной формой представления Натолла для Bх2)-матричных аппроксимаций Паде. В случае (Л^ХЛ^)-матричных аппроксимаций Паде вид этой формулы, по, существу, не меняется, и результат, относящийся к общему случаю, получается теми же рассуждениями. Теорема Натолла утверждает, что метод Af-мерных матричных аппроксимаций Паде типа \М—ММ], рассматриваемый как вариа- вариационный метод, соответствует 2МЛ/-мерному пространству пробных функций; этим отчасти обусловлена замечательная точность метода. Интересно заметить, что вариационный двумерный метод мат- матричных fO/11-аппроксимаций Паде дает точный результат для рас- рассеяния в поле потенциала, имеющего вид прямоугольной ямы при gl = h'lcxjl(kr), (см. D.31а); g2— внезнергетическая пробная волновая функция, зависящая от вариационного параметра q) [Fratamico et al., 1976; Graves-Morris, 1978]. Пусть потенциал У(г)=Кв(Ь—г) имеет вид прямоугольной ямы ширины b с параметром интенсивности взаимо- взаимодействия К. В системе единиц с U=2m=l для импульса внутри ямы имеем (?2 = ^_х. (8.13) При этом условии внутри ямыgz(q) является точной волновой функ- функцией, поскольку функционал (8.5) не зависит от значений волновой функции вне ямы. Принцип Швингера утверждает, что если точная волновая функция является линейной комбинацией базисных функ- функций, то стационарное значение функционала [Та е] и соответствую- соответствующая пробная функция |г|)(> точно определяют амплитуду рассеяния и волновую функцию. Следовательно, в точке q, определяемой ра- равенством (8.13), функционал [Та> р] имеет точку возврата и дает точ- точное значение амплитуды рассеяния. Отметим, что (8.13) не обяза- обязательно определяет единственную точку возврата функционала [Tai р]; отметим также, что выбор порядка аппроксимаций Паде не является существенным: аппроксимация типа [0/1] уже дает точ- точный результат. Вывод состоит в том, что Bх2)-матричный вариационный метод Паде, вероятно, не менее эффективен, чем любой другой метод для задач рассеяния с простыми потенциалами типа Юкавы. Какие 398 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой 3,6 3,4 3,2 3,0 Л. \\ _ \ - I /п/и / 1 Г2/2] I ТОЧНЫЙ ГРАФИК 1,0 2,0 3,0 Рис. 3. Сила взаимодействия X, соответствующая связанному состоянию при s= I в зависимости от значений р1 для аппроксимаций Паде [1/1] и [2/2] для S-волновой матрицы Бете — Салпитсра. методы следует предпочесть для анализа практически более важных знакопеременных ядерных потенциалов, пока не известно. В связи с последующими приложениями в квантовой теории по- поля вариационный метод Паде для уравнения Бете — Салпитера рас- рассмотрен в работе [Alabiso et al., 1972 b]. В уравнении G.15) имеется четыре возможных вариационных параметра со', р', со", р". Эм- Эмпирически установлено, что выбор со'=со"=0 является, как пра- правило, оптимальным, так что остается использовать энергетические переменные. Авторы предпочитают использовать уравнение Бете — Салпитера с однократным вычитанием, поворотом Вика и единствен- единственным симметричным вариационным параметром р'=р". Результаты работы подтверждают вывод о том, что вариационное уточнение су- существенно для успешного применения аппроксимаций Паде низ- низкого порядка. На рис. 3 эти результаты показаны для первого свя- связанного S-волнового состояния с s=l, соответственно со =—т> и т=ц- = 1 (см. G.5) и G.6)). График зависимости силы взаимодействия К, соответствующей этому состоянию, от вариационного параметра р' показывает, что точка возврата находится около значений р'= = 1.25; это дает наглядную иллюстрацию значения вариационного метода. Вариационные методы весьма успешно применялись на практике вместе с уравнением Бете — Салпитера для нуклон-нуклонного рас- рассеяния. Множество специальных приемов использовалось для того, чтобы привести задачи к форме, поддающейся анализу; за подроб- подробностями мы отсылаем читателя к работам [Fleischer et al., 1973; Fleischer and Tjon, 1980; Bessis and Turchetti, 1977]. Дальнейшие детали, касающиеся матричных аппроксимаций Па- § 2.9. Сингулярные потенциалы 399 де и вариационной техники, можно найти в работах [Turchetti, 1976; Benofy and Gammel, 1977; Benofy et al., 1976; Bessis et al., 1977; Mery, 1977; Pindor, 1979 b]. § 2.9. Сингулярные потенциалы Важным преимуществом аппроксимаций Паде является то, что они применимы для анализа задач, связанных с сингулярными по- потенциалами. Некоторые потенциалы, такие как У(г)=/1г, столь быстро растут при л->0, что любое отрицательное значение X по- порождает связанные состояния с бесконечной энергией; это может быть выведено из принципа Рэлея — Ритца. Как физические обычно рассматриваются только положительные значения к. С математиче- математической точки зрения это выражается в том, что разложение Фробениу- са для радиального уравнения Шрёдингера приводит к неразрешимому уравнению для а. Потенциалы, расту- растущие в нуле быстрее, чем V{г)—Хг~г, называются сингулярными по- потенциалами. Уравнение Шрёдипгера все же имеет решения, описы- описывающие рассеяние с сингулярными отталкивающими потенциалами; в этом случае оказывается, что 4>t(r) имеет при г=0 существенную особенность. Обзор [Frank et al., 1971] содержит исчерпывающий список наиболее известных примеров сингулярных потенциалов; там же можно найти подробности, касающиеся свойств этих по- потенциалов. Применение аппроксимаций Паде в задачах с такими по- потенциалами основывается на предварительной регуляризации по- потенциала путем обрезания [Garibotti, 1970]. Содержание общего ме- метода будет совершенно ясно из следующего конкретного примера. Пусть Определим соответствующий обрезанный потенциал Ve{r) = kr-4Q(r—г), (9.2а) = *,/•-*, г>8, = 0, r400 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой 10" 100 1,0 0,01 1,0 2,0 3,0 4,0 Рис. 1. Логарифмическое изображение графика К(/¦)=/—4,обрезанного при г—О.Ь. значениями k\ имеем /@, r)= , r')dr', @, r')dr'. Введем обозначение fA(k, r) = /@, r) + k4jt(O, r). Тогда fA(k, r) = \+ikr+\(r'—r)Ve(r')fA(k, r')dr' (9.4а) (9.4Ь) (9.5) и итерационное разложение решения при г > е дает jA(k, r)=\+ik при r>e (конечно, в нашем конкретном примере выкладки существенно упро- упрощаются, однако и в более сложных ситуациях таким способом мож- можно непосредственно получить численное решение). Теперь мы долж- § 2.9. Сингулярные потенциалы 401 ны определить вид решения около точки г=0. Формулу для fA(k, r), справедливую в этой области, проще всего получить с помощью (9.4). Имеем fA{k, O)=l Следовательно, fA-k, o) = c и, согласно D.52), получаем ' \-\-ikf \ih(V % Обычно мы принимаем, что положительные значения к дают поло- положительный, отталкивающий потенциал и отрицательный сдвиг фазы. Но сейчас (только в этом параграфе) для упрощения обозна- обозначений нам будет удобно принять, как это делается в ядерной физи- физике, что в таких обстоятельствах положительна длина рассеяния а. Тогда длина рассеяния как функция силового параметра к и пара- параметра срезки е имеет вид а (в, b) = KUh-^A. (9.6) Теперь мы должны предположить, что длина рассеяния а{к), соот- соответствующая потенциалу У (г), получается как предел при е->0 длины рассеяния а(г, к), соответствующей потенциалу Vx (г). Тогда имеем а(к)=к2. Отметим следующие важные свойства решения, со- соответствующего обрезанному потенциалу, которые вытекают из (9.6): — ряд Стильтьеса, представляющий функцию, регулярную в точке к=0 и имеющую полюсы в точках вида к=—(епл/2J, где п — целое нечетное число. (ii) lim (-г- ) а{г, к) = 0 при всех п > 0. (iii) а {г, к) <а{к) при е > 0. 402 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой 0,2 И/2 0,4 0.8 Рис. 2. Аппроксимации Паде [N/N\, соответствующие длине рассеяния для регу- ляризованного потенциала V (r)—hr~*Q (г—е) (из работы [Graves-Morris, 1973]). где pN-i и qN—полиномы степени N—\ п N соответственно. Положим и для нулевого и бесконечного значения параметра е получается следующий неожиданный результат: Это свойство находит отражение на рис. 2, где показан график aN(e,X)/X'2 как функции от e/V2. Значение длины рассеяния а(к) — i_ = № , соответствующей исходному потенциалу, представленное горизонтальной линией с единичной ординатой, является предель- предельным значением для aN(e, Теперь мы можем понять, что происходит в случае произвольного сингулярного отталкивающего потенциала при малых энергиях. Рассуждения из §2.7 показывают, что функция к~1а(г,к) пред- ставима рядом Стильтьеса по параметру К. Используя функции Йоста или уравнение Липпмана — Швингера, можно получить раз- разложение а (е, X) по степеням параметра^.. Соответствующие этому раз- § 2.9. Сингулярные потенциалы 403 ложению аппроксимации Паде, согласно теоремам гл. 5, ч. 1, удов- удовлетворяют условиям Следовательно, lim адг(е, >i) = a(e, X). N -*¦ оо Конечная цель всех этих рассуждений заключается в том, чтобы найти значение а(Х) = lim а (г, Х) = hm lim aN(e, X). (9.7) е-> О е -«-О Л/ -* со Пример, связанный с потенциалом V{r)=Xr~i, показывает, что пре- пределы по е и N в этой формуле нельзя поменять местами, поскольку aN@, ^.)=0. На самом деле равенство aN@, Х)=0 справедливо для всех сингулярных потенциалов. Для бесконечного значения е то же самое вытекает из простых соображений, связанных со сте- степенными рядами, и, комбинируя, получаем aN{0,X)=ay(oo,X)=0. (9.8) Для пояснения характера предельного перехода мы приводим табл. 1. Элементы aN(et) представляют аппроксимации Паде типа [N/N] для длины рассеяния, соответствующей некоторому сингу- сингулярному потенциалу, обрезанному при г=е;. Зависимость от X в записи не указывается. Каждый столбец имеет при Л/->оо предел а(е,), а каждая строка имеет нулевой предел. Формула (9.7) указывает, что сначала нужно найти приближен- приближенные значения пределов a(et) по столбцам, а затем вычислять значе- значение длины рассеяния а@), переходя к пределу при ег->0. Непосред- Непосредственное применение этой процедуры малоэффективно и существует значительно лучший метод. Поскольку все элементы таблицы положительны, то из (9.8) следует, что в каждой строке есть максимальный элемент, соответ- соответствующий конечному положительному е. Пусть максимум а.у(е, X) достигается при е=е(Л^) и если есть несколько таких е, то выбирает- выбирается максимальное из них. Тогда мы имеем а@)= lim а„(г(Ы)). (9.9) ,V -*¦ GO Формула (9.9) определяет устойчивую процедуру. Для доказательства этой формулы фиксируем ц > 0 и пока- покажем, что 404 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Таблица 1. [ЛГ/Л^-АППРОКСИМАЦИИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ДЛИНЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОБРЕЗАННОГО ПОТЕНЦИАЛА я,(е,) а,(е2) а,(е3) ••• -> О a@) при N>N0(i\). Отметим сначала, что согласно нашему предполо- предположению о непрерывности функции а(е) в точке е=0, существует е, зависящее от ц, такое, что \а(г)—а@)|<т)/2. Тогда можно найти N0(r\) такое, что при всех N>N0(r\) имеем Наконец, при всех е,- в N-й строке таблицы имеем неравенство вытекающее из способа выбора е (Л^). Из этих неравенств следует, что при N>N0(t\) справедливы неравенства и формула (9.9) доказана. Эти рассуждения формально доказывают сходимость метода в форме (9.9). Способ выбора последовательности aN{&(N)) делает этот метод эффективным. Рис. 2 иллюстрирует схему на примере 1/()?4 По-видимому, имеются большие возможности для приложений этой техники в различных теориях, где встречаются расходимости. Краткий обзор таких приложений содержится в работе [Graves- Morris, 1973]. Обсуждение вопросов сходимости можно найти в работе [Bessis et al., 1974]. Глава 3. СВЯЗЬ С ЧИСЛЕННЫМ АНАЛИЗОМ §3.1. Квадратура Гаусса Существует тесная связь между квадратурами Гаусса и аппрок- аппроксимациями Паде, которая будет описана в этом параграфе. Проблема квадратуры обычно ставится как проблема нахождения формулы I{g) для численного интегрирования произвольной функции g(x) по мере Стильтьеса dtp (и) на интервале (а, Ь). Для гауссовой квад- квадратуры I{g) представляет собой взвешенное среднее {g}. (l.l) i= I a Это — m-точечная формула, в которой используются узловые точ- точки «; и веса ш>1, i=\, 2, . . ., т\ ет {g} — ошибка интегрирования, которая должна быть мала. Для того чтобы определить узловые точки и веса, образующие 2т параметров, потребуем, чтобы форму- формула A.1) была точной на 2т полиномах и", и1, и% и%т~1. Это означает, что ь )u'd0, t=l, 2, . . ., т.; pa- 406 Гл. 3. Связь с численным анализом зумеется аппроксимация Паде существует и не вырождена. Прирав- Приравнивая коэффициенты при (—z)J' в формуле A.3), получаем соотно- соотношения A.2); такой подход полностью объясняет эти соотношения. Таким образом, мы видим, что полюсы аппроксимаций Паде [т—I/ml функции /(z) совпадают с точками и,-, а вычеты {wjui) определяют веса Wj. Ошибка интегрирования дается явно через характеристическую функцию для квадратурной формулы, определенную [Takehasi and Mori, 1971) соотношением о r I+ги l ' ; Следуя методам ч.1, § 5.3—5.6, введем переменную w = — г. Пусть яо(ш)=1, а полиномы пт (w) определяются соотношением A; 5.3.20) -l/mH— l/w), m=l, 2, ... . Напомним,-^то соотношение A; 5.3.18) показывает, что полиномы пт{и) ортогональны по мере d (u) 1- I/ml 1(г)Г1 I+ги V 'I W—U d {u)_plm-um]{ J Используя условие порядка аппроксимации для Ет{г), получаем A.5) Если записать A + иг)-1 =1— иг + и2г2+ . . . +(— \)т{иг)т1{\ + иг) и воспользоваться ортогональностью, то A.5) приводит к равенству §3.1. Квадратура Гаусса 407 из которого сразу же вытекает, что Ет (г) = О (г'2т). Дальнейший анализ соотношения A.6) показывает, что 2 Л КI Замечая, что а г" ) i Г и*— я. И я. (и) (w)-nm (и) — полином от и степени т—1, мы приведем A.7) к виду A.8) а Соотношениями A.5) —¦ A.8) задаются различные представления ха- характеристической функции. Коэффициент при zk в разложении функции Em(z) дает ошибку интегрирования по квадратурной фор- формуле Гаусса. В частности, для наименьшего ненулевого коэффициен- коэффициента имеем ь а Отметим, что пт(и)/С(т—\1т)— m-й ортогональный полином с единичным старшим коэффициентом, как и ожидалось для оптималь- оптимальной квадратурной формулы. Для более подробного изучения этой темы мы отсылаем читателя к работам [Allen et al., 19741, [Karlsson and von Sydow, 1976] и (Brezinski, 19771. Перейдем теперь к выяснению природы погрешностей, возника- возникающих при интегрировании по квадратурным формулам. Это необ- необходимо для того, чтобы по результату численного интегрирования дать правильный ответ. Приближенные значения определенного интеграла можно найти по формулам интегрирования, использую- использующим mlt m2, m8, . . . точек. При этом может быть достигнута сколь угодно большая точность. Предположим, что интеграл 1 Ух A.10) о существует. Его приближенное значение находится по т-точечной формуле трапеции 408 Гл. 3. Связь с численным анализом в которой m точек расположены на равном расстоянии /i=l/m от соседних. Из предположения о существовании интеграла /{/} вытекает существование функции ф(/г), непрерывной при 01 при п-*-оо. Если производные/'2"' растут быстрее, чем BлтJп, то естественно ожидать, что правая часть формулы A.15) расходится. Расходимость будет, например, в том случае, если /(г) является логарифмической функцией. Компактную формулу Эйлера — Маклорена, экви- эквивалентную развернутой формуле A.15), можно использовать для построения асимптотического разложения гамма-функции (см. ч. 1, § 5.5). Связь между этими результатами в контексте настоящего параграфа подробно обсуждается Харди [Hardy, 1956, ch. 13]. В подобных случаях A.15) понимается как асимптотическое равен- равенство в том смысле, что если суммирование в правой части ограни- §3.1. Квадратура Гаусса 409 чить конечным числом членов, то при т-*-оо разность в A.15) ведет себя как конечная сумма степеней величины т. Такая процедура может оказаться очень эффективной на практике, в чем можно убе- убедиться, взяв в формуле A.15) в точности два члена Мы рекомендуем читателю обратиться к книге [Hardy, 1956) и работе [Ninham and Lyness, 1969) по поводу дальнейших подробно- подробностей, связанных с асимптотическими рядами. Рассмотрим следую- следующий специальный случай: f(x) = x-i'*(\ — x)-i'ah{x), A.16) где h(x)?C°° [0, 1]. Для этого случая найдено [Lyness and Ninham, 1967], что (LIT, Из A.17) вытекает, что cp'(/i)=oo при h—О, хотя lim cp(/i) хорошо ft-»-0 определен. Это обстоятельство, если разложение A.17) рассматри- рассматривать от переменной т~1/4, прямо указывает на то, что в данном случае рациональная интерполяция была бы, вероятно, эффектив- эффективнее линейной интерполяции. Представляется очень курьезным, но аппроксимации Паде и другие методы рациональной интерполяции оказываются падежными и эффективными всякий раз, когда линей- линейные квадратурные методы сходятся недопустимо медленно. Мы от- отсылаем читателя к работе [Joyce, 1971], где приведен исчерпываю- исчерпывающий обзор как линейных, так и нелинейных методов ускорения схо- сходимости квадратурных приближений. Для более подробного зна- знакомства с Паде-методами процитируем работы [Chisholm et al., 1972), [Genz, 1972, 1973, 1974) и [Werner and Wuytack, 1978). Упражнение 1. Найти такую форму соотношения A.15), кото- которая применима для интегрирования на отрезке \а, Ь). Упражнение 2. Какие изменения в рассуждения, соответствующие формулам A.2) — A.8), необходимо внести для того, чтобы получить квадратурные формулы для интервалов @, оо) или (—оо, оо)? Упражнение 3. Доказать, что аналог формулы A.5) для погреш- погрешности в случае аппроксимаций Паде [L/M] функции Стильтьеса A.3) 410 Гл. 3. Связь с численным анализом имеет вид где J = L—М ^—1, QW-1/M] (г)—знаменатель аппроксимации Паде [М—1/М] ряда ¦^ ^ J 1 + ги /=о Jo [Chui et al., 1975]. § 3.2. Неравенства Чебышёва для функции плотности Вернемся к теме § 5.5, ч. 1. В этом параграфе считались заданны- заданными только первые /г+1 моментов ц,0, ц,ь . . ., \ih неизвестной функ- функции плотности Стильтьеса ср(ц) = J u'd§ 3.2. Неравенства Чебышёва для функции плотности 411 § 5.5, ч. I, состоит в том, чтобы ввести коэффициенты c, = (-iy>, = (-iy/y, / = 0, 1, 2, ... и функцию - i оо со с формальным разложением f (г) = 2 ci2''= 2 /у (—^У- Следую- щий шаг заключается в построении аппроксимации Паде функции /(г) по известным коэффициентам ее разложения. Нам понадо- понадобится аппроксимация Паде Эта аппроксимация Паде соответствует распределению М + 1 ЖЬии(«)= 2 М(«—«() B-5а) с функцией плотности м+\ (")= 2 M(«—«I). B-5Ь; i 1 поскольку справедливо равенство = J 1+ги ' v '* — СО — СО Если бы мы выбрали аппроксимацию Паде [М/М], то нашли бы что м B-6) этой аппроксимации Паде соответствует распределение м d^M+i (и)= ^<$ (и) "Н 2 К& (и—и'д B.7а) с функцией плотности м йи+i («О = *#(«)+ 2 ty (u — u't). B.7b) (= i Отметим, что выражения B.5) и B.7) для i|jm+1(h) и ^м+1(и) являются аппроксимациями функции ty(u). 412 Гл. 3. Связь с численным анализом Для того чтобы получить оценку B.2), построим сначала по- полиномы g(z) = G(z, ы>)= B.8) h(z) = H(г, w) = Л\м/м] B) giM/M + i] (a,)_g[M/M] (да) Д1М/М + 1] (zy B.9) Функция g{z) = G (z, w) связана с ядром Кристоффеля—Дарбу и обращается в нуль при z = w. Функция h(z) выбрана так, что f(z)g(z)-h(z) = O(z*»")\ B.10) это соотношение вытекает из уравнений Паде. Функции g(z) и h(z) являются полиномами от г степени М-\-\, зависящими от пара- параметра w. Таким образом, можно написать, что (г) V Р/ • 19 1П Tu^fti+Xj' BЛ1) это выражение зависит от w и имеет одинаковые с функцией / (г) 2/И -f-1 производных в начале координат. Отметим, что для неко- некоторого k, 1<^<М + 1, lk = — w~1- Лемма 1. СоотношениеB.11) определяет (М + \)-точечную квад- квадратурную формулу, которая является точной на полиномах сте- степени не выше 2М. Доказательство. Из B.10) и B.11) получаем ?1 B12) /= 1 Равенство B.12) определяет квадратурную формулу с узлами ?,, ^2, ...,t,M+i и весами pr, p2, ..., рж+1. Условия порядка аппрокси- аппроксимации, содержащиеся в равенстве B.12), состоят в том, что и' dff (и) = 2 Р/ (W. « = 1. 2, ..., 2М; — 00 гем самым полиномы степени не выше 2М интегрируются точно. Лемма 2. Нули полиномов В^м/мЦг) и B^M/M + '](z) чередуются между собой. Доказательство. Используя B.4), B.6) и Q-тождество, полу- получаем М + 1 М у kj V *": 1'.. С(М+1/М) г*м + 1 B.13) § 3.2. Неравенства Чебышёва для функции плотности 413 Так как f(z) — ряд Гамбургера, то и нули полиномов В[М/м + '1 (?) и В1м/М1(г) — вещественные и про- простые. Пусть {г,, 1=1, 2, ..., М + 1} — нули 51^/^ + 4B), а Ь,', ( = 1, 2, ..., М} —нули В1мш1(г). Так как в^/м + пдсм/лп _ полином, то знаки вычетов функции {BW^ + ii^ д[м/лп (г)}-1 чередуются между собой. Поскольку /(г) — ряд Гамбургера, то величины kf и К'[ в B.13) положительны. Свойство чередования нулей вытекает непосредственно из этих наблюдений. Лемма 3. Функция g (г) имеет вещественные нули. Доказательство. В нуле z = zt полинома В1М1М + 1Цг) sign {g (г)} = sign {BiM'M + ^(w)} sign {BlM'Ml (z,)}. Таким образом, функция g (z) имеет М |-1 перемен знака, поэтому она имеет М вещественных нулей. Следовательно, оставшийся нуль также веществен. Теорема 3.2.1. В соответствии с определениями B.8), B.9) и B.11) положим + - н (г- "О = у 9i /2]4v g(z) О(г, ш) ^ 1+ *?,¦ ^t1*' Яз лелл вытекает, что соотношение B.14) определяет зависящее от w распределение («)= 2 Р*6(« — W B.15) и функцию плотности М + I г|)(м)= 2 Р/е (" — ?/)• B.16) Точка u = tk = —w1 является точкой роста функции ^(ы), а гИС&+)>ф(?*+) w ^ (С*—X Ф (С*—)• B.17) Доказательство. Определим полином rik) (и) соотношениями B.18а) B.18Ь) , B.19) 414 Гл. 3. Связь с численным анализом 1,0 с* с* +1 Рис. 1. Полином гк(и). где нули функции g{z) занумерованы так, что Полином гш(") можно выбрать таким образом, чтобы он удов- удовлетворял условиям B.18) и B.19) и имел степень не выше 2М. Так как dty(u) имеет М-\-\ точку роста, то, используя B.15) и B.18), находим Поскольку квадратурная формула имеет точность 2Л4, то Ввиду того что ij/ («) > 0 и гш («) ^ 0, имеем ^ /¦<*» (ы) dq> (м) > ^ /-(ft) (ы) с(ф (а). — 00 —СО Так как г(й)(ы)>1 при —оо<ы<^+, то Отсюда вытекает, что ном t{k) (и), для которого . Используя другой поли- полиполучаем, что if(^ft—)^ф(?л—)> и теорема доказана, § 3.2. Неравенства Чебышёва для функции плотности 415 Эти технические приемы находят разнообразные применения в физике и химии, где функции плотности обычно оказываются по- положительными. В заключение этого параграфа упомянем прежде всего проблему Маркова. Если задать только первые fe+1 моментов |л0, ц,и . . ., |яй неизвестной функции плотности Стильтьеса ф(м), предполагая, что в принципе все моменты конечны и задаются по формуле \af = \ u'dq>(u), / = 0, 1, 2, —i то по этим данным находятся некоторые условия на функцию ср (и), но функция ф(м) однозначно не определяется. Для заданной функ- функции h(u) и произвольной величины х, удовлетворяющей неравен- неравенству —1«О<1, проблема Маркова состоит в том, чтобы найти X X inf С h{u)d(p(u) и sup С h(u)dq>(u). — I Мы отсылаем читателя к книге [Shohat and Tamarkin, 1963, ch. 3], где приводится решение этой проблемы при различных условиях на функцию h(u). Метод решения содержит технические приемы, подобные приведенным в настоящем параграфе. Другая интересная проблема возникает в теории равновесия в классической или квантовой статистической механике, в которой состояния систем описываются с помощью функции ехр (—$Е)сЬр(Е), через распределения энергии Е. Для нас представляет интерес слу- случай, когда |J = 1/?T, k— постоянная Больцмана, Т — температура, и, таким образом, р\>0. Проблема состоит в том, чтобы найти оценку интеграла Стильтьеса если заданы 2М первых моментов распределения ), / = 0, 1, 2 2М — 1. Эта проблема была решена в работе [Gordon, 1968] с помощью тех- технических приемов настоящего параграфа. Однако итоговые оценки допускают большую погрешность, поэтому они полезны только для конечных систем. Возможно и другое решение этой проблемы, если воспользоваться методами § 1.2. В качестве исторических ссылок приведем работы П. Л. Чебышёва [Tchebycheff, 1874I, Стильтьеса IStieltjes, 1884] и А. А. Маркова [Markov, 1884]. В последнее время 416 Гл. 3. Связь с численным анализом эти же технические приемы были применены для оценок термоди- термодинамических величин в работах [Isenberg, 1963], [Gordon, 1968] и [Corcoran and Langhoff, 1977]. § 3.3. Метод коллокации и т-метод Экспоненциальная функция ехр х удовлетворяет дифференци- дифференциальному уравнению с граничным условием У(О)=1- C.2) Если искать решение этого уравнения в виде ряда у(х) = ос = 2 cft-**> т0 коэффициенты ck определяются соотношениями (*+1)с»+,—с* = 0, * = 0, 1, 2, ..., C.3) и со=1, которые вытекают соответственно из C.1) и C.2). Обыч- Обычное полиномиальное приближение L-ro порядка функции у (х), а именно у (х) = 2 ckxk> является точным решением модифициро- ванного по отношению к C.1) уравнения |—j/ = ™<- C.4) с тем же самым граничным условием C.2). Из явного вида решения вытекает, что x = l/L!. Для получения более точного полиномиаль- полиномиального приближения функции у{х), которое будет использоваться в точке х—г, уравнения C.1) и C.4) заменяются уравнением ^--у = тп(х), C.5) где п(х) — полином L-ro порядка, а произведение тп(х) мало в не- некотором смысле. Говоря более подробно, в т-методе Ланцоша [Lanc- zos, 1957, р. 438] требуется, чтобы (^ C.6) — сдвинутый полином Чебышёва, обладающий известным мини- минимаксным свойством (см. ч. 1, § 6.6) на отрезке О^л^г. Мы предпо- предположим здесь для простоты рассуждений, что х и г — вещественные положительные числа. Если z — отрицательное или комплексное число, то возникает отрезок х=аг, где O^cc^l. Введение т-члема в правую часть уравнения C.1) приводит к тому, что решения ищутся §3.3. Метод коллокации и т-метод 417 в виде полиномов пол:. Эти решения, как ожидается, точны на отрез- отрезке О^Сл^г. Если я (а:) — сдвинутый полином Лежандра C-7) то полиномиальное решение уравнения C.5) в точке х -г оказывается аппроксимацией Паде [М/М] для точного решения уравнения C.1) в точке x=z [Luke, 1958, 1960]. Мы обсудим выбор C.7) прежде, чем доказывать последний результат. Одна из причин, по которой соотношению C.7) отдается пред- предпочтение перед C.6), заключается в том, что в этом случае легче най- найти явное алгебраическое решение. Известно (ч. 1, §6.6), что поли- полиномы Чебышёва ^„(а:) удовлетворяют минимаксному спойству в классе !Рп всех полиномов степени не выше п, п^\, с единичным старшим коэффициентом: inf sup \pn(x)\ = 2~{"-1) C.8) достигается при рп(х)=Тп(х). В этом смысле полиномы Лежандра удивительно малы. Хорошо известно [Isaacson and Keller, 1966, p. 219], что при условии обычной нормировки имеем sup |/>„(*) 1 = 1 C.10) — 1<А-<1 и в силу C.9) старший коэффициент равен JML = ^=n + о (n-i)]. (З.п) Используя C.11), равенства C.9) и (ЗЛО) можно перенормировать для того, чтобы сравнить с C.8). Все нули полиномов Лежандра лежат на интервале [—1, 1], кроме того, маловероятно, чтобы оп- оптимальный полином для правой части уравнения C.5) не зависел от специфической структуры уравнения. Таким образом, выбор я(х) = Р"м (х/г) можно считать вполне удовлетворительным. Немного более общим, чем выбор п-=Р*м(х/г), является выбор n(x) = xJGM(J + l, J + l, x/z). C.12) Для краткости обозначим GM(J-\-l, У-j-l, x/z) — RJM (x/z); это— полином Якоби, нормированный так, что он имеет единичный старший коэффициент. Полиномы Якоби Ом (р, q; x) ортогональ- ортогональны на интервале @, 1) с весом w(x) — {\—х)р~9х9~'1\ таким обра- 418 Гл. 3. Связь с численным анализом зом, полиномы RJM (x/z) ортогональны на интервале @, г) с ве- весом xJ. Частный случай при i = 0, когда R"M (x/z) = P'M (x/z), пред- представляет особый интерес, так как он соответствует выбору C.7). Из работы [Abramowitz and Stegun, 1964, p. 775] находим м (J + М)\ у. \\пмг (J + 2M—m)\ /*\ ¦«-"'_ щ — 0 M / „ \ ь C.13) В силу C.12) уравнение C.5) принимает вид C.14) Нам необходимо найти его полиномиальное решение у (х) — = 2 <1кхк в предположении что это возможно. Приравнивая ко- эффипиенты при степенях хк в обеих частях уравнения C.14), получаем (k-l)dk+i— dh = xc^jJ)z''l+J для k = J, J + l L, C.15a) (k~l)dk+i—dk = 0 для k = 0, 1, ..., J — l. C.15b) Из C.15b) вытекает, что dk = jfdj для /г=0, 1, ..., J — \, C.16a) а из C.15а) получаем, что м dk=-i Z c'M- ^ {r+klJ)] z~r для k = J, J+l, .... L, C.16b) r = k—J так как J (x) — полином и dL+^ = 0. Подстановка выражения для С(М, j> из C.13) в C.16) показывает, что do=--cz-MU1FA-- M, —(L + M); —г). C.17) Так как в силу граничного условия C.2) имеем do=l, то х задается по формуле T=-rM[L!1F1(-M, -(L+M); -г)]. C.18) На этом этапе становится ясно, что решение уравнения C.14) есть полином по х в точке z = x\ решение является рациональ- рациональной функцией по г и степень знаменателя равна М. Продолжая вычисление решения и используя C.16Ь), полу- § 3.3. Метод коллокации и х-метод 419 чаем м Тогда из C.16) и C.19) вытекает, что М I.-I \z-MM\L\ у у г/+л (— I)/ (jL-f- /И — /)! = (-t)z-mL!1F,(—L, -(L + M); г). C.20) Исключая т из C.18) и C.20), приходим к функции которая является рациональной функцией от г типа [L/M]. Можно показать, что на самом деле это аппроксимация Паде [L/M] функ- функции ехр г. Это можно устаповить как ссылаясь на A; 1.2.12.), так и доказав с использованием присутствующих производных, что у (г) — ехрг = О(г/-+Л1 + 1). C.22) С помощью интегрирующего множителя уравнение C.14) упро- упрощается и приводится к виду C.23) Положим e(x) = J(x) — ехрл:; так как (Г то интегрирование C.23) дает 2 e(z) = ez [e-*xxJRJM (-)dx = о \ г I 0 I = xe*zJ+' j e-ztRJM (t) tJ dt; C.24) в этой формуле учтено условие е @) = 0. Из формулы Родрига C.9) вытекает, что 1 \e-*lRJM(t)tJdt=O{zM); C.25) о следовательно, e(z)=O(x2i+1)=O(zz+'M+1), что подтверждает C.22). Итак, уравнение C.14) при J—L—М определяет аппроксима- 420 Гл. 5. Связь с численным анализом цию Паде 1/.-/Л1) функции ехр г для L^M; явное решение задается формулой C.21). Очевидно, что оптимальное решение получается при J=--0. Выбор J—L, УИ=О дает в качестве решения обычный полином Тейлора. Посмотрим теперь более точно, что же было получено в процессе нахождения аппроксимирующего решения для уравнения C.1) описанным выше методом, который был представлен как т-метод Ланцоша. Этот метод является также методом коллокации [Wright, 1970]. Точки {xt, t = l, 2, . . ., L) выбираются на отрезке [0, г]; они не обя- обязательно различны и на самом деле являются нулями полинома п(х). Аппроксимирующее решение уь{х) является полиномом по- порядка L, который удовлетворяет условиям -% уй = 0 при х=х„ 1 = 1, 2, .... I. C.26) Отсюда непосредственно вытекает, что Тем самым мы вернулись к исходному уравнению C.25) и пока- показали, что описанный выше метод является методом коллокации. В основе метода коллокации лежит построение коэффициентов dj при тех мономах х], которые входят в полином у^(х)= 2 djXJ. Этот метод можно рассматривать и как явный метод типа Рунге—Кутта, если использовать гауссовы точки \х{) из отрезка [0, г]. Метод выдает в квадратурах решение уравнения приводя его к виду г= 0 при Xj—z\j. Таким образом, мы имеем L явных уравнений для L неизвестных коэффициентов {сг, г—\, . . ., L). Функция и ее про- производная находятся явно в узловых точках. Итак, метод коллокации и явный метод Рунге — Кутта в контек- контексте этого параграфа эквивалентны; оба приводят к решению, ко- которое является рациональной функцией от г. Если удастся пока- показать, что это решение удовлетворяет условию аппроксимации C.22) и если г совпадает с длиной шага (обычно обозначаемого через К), то это решение является аппроксимацией Паде. Кроме того, эти § 3.3. Метод коллокации и %-метод 421 методы эквивалентны некоторым методам типа метода Галеркина, в которых внутренние произведения выражаются через квадратуру Гаусса — Лежандра. Таким образом, это все методы коллокации, но в различной форме. Связь между явными методами и аппрокси- аппроксимациями Паде вновь проявится в следующем параграфе. Если мы попытаемся применить этот метод к гипергеометриче- гипергеометрическому уравнению ^^^ф=о, C-27) то немедленно столкнемся с тем, что C.27) — уравнение второго порядка. Однако переписав это уравнение в виде мы увидим, что его можно свести к дифференциальному уравне- уравнению первого порядка, если (а—1)(|3—1) = 0. Выберем Р=1 и рассмотрим решение уравнения (х-х')^+(у-1-ах)у = (у~1)у@). C.28) Применим т-метод к уравнению где полином Р (х) порядка М еще предстоит задать. Уравнение C.29) соответствует следующей модификации уравнения C.27): которая однако прямо не лспользуется. Для того чтобы проинтегрировать C.29), перепишем его в виде C.30) Интегрирующий множитель равен х">-1 A — xy~vha, таким обра- образом, C.30) принимает вид C.31) 422 Гл. 3. Связь с численным анализом Интегрируя C.31) и проверяя условие согласованности в точке # = 0, приходим к равенству UxtJ + v-'(l—iy^P^+(y—l)ty-*(l—t)*-vy{O)\dt. C.32) X X О Для функции F(x) = ,iFl(a, 1, у; х) выполняется подобное ин- интегральное равенство с т = 0; следовательно, для функции е(л;) = = у{х) — F(x) имеем X р I y\ i-1-vH v-17—1—а \ riJ +V— 1 П f\a~vP ( -L\ At о *¦ г ' Таким образом, с t v\ •— ¦?¦/+ W I \ у\у— i —a \ vJ + у— ^ ('I v?\y-—уp i y\ иy (?i '^'^^ о ^ЛI ¦— с V / 1 V / ул] Ил. ^t-'.OOl О В качестве полинома P(jc) разумно выбрать полином Якоби, орто- ортогональный с весом r/+v~I; предполагается, что J-)-v>0. Из ра- работы [Abramowitz and Stegun, 1964, p. 774] находим м Р(Х) = при у=1 это соотношение сводится к C.13). Рассуждения, почти полностью аналогичные тем, которые исходили из C.13), показы- показывают, что t-i = z-Vi (—(« + *<). —М' — (V + L + M — 1); г), C.34) и мы получаем QWMi(z) = tF1{—{a + L), —M, — (y + L + M—l); z). C.35) Числитель Р^!/мЦг) в общем случае не имеет какого-либо ком- компактного вида. То, что эта формула является формулой для зна- знаменателя аппроксимации Паде, вытекает из C.33) и C.34), так как е (г) = О(гу + |+м + Л1) = О(г?- + м + 1). Интересно сравнить при- приведенный здесь вывод формулы C.35) для знаменателя Паде функции ^i (ос, 1; у; г) с методом ч. 1, § 1.2 и методом из тео- теории непрерывных дробей, основанными на A; 4.6.14). Того, кто желает получить более полное представление о яв- явных формулах, которые можно вывести с помощью технических при- приемов этого параграфа, мы отсылаем к работам [Luke, 1964, 1969J. Дальнейшие подробности о связи между т-методом, методом колло- кации и явными методами типа метода Рунге — Кутта приводятся в работах [Butcher, 1963, 1964], [Ehle, 1968], IMason, 1967], [Axelsson, 1969, 1972] и [Chipman, 1971]. § 3.4. Метод Кранка — Никольсона 423 § 3.4. Метод Кранка—Никольсона и близкие к нему методы решения уравнения диффузии Основная задача, возникающая в связи с уравнением диффузии (или уравнением теплопроводности), заключается в том, чтобы найти непрерывную функцию и(х, f), удовлетворяющую уравнению и граничному условию и(*,0) =/(*), —оо<х<оо. D.1Ь) Эти уравнения определяют математическую задачу (т. е. выделяют основную задачу в чистом виде), с помощью которой описываются многие идеализированные диффузионные процессы, в том числе процесс распространения тепла в стержне. Условием и(х, O)=f(x) температура задается в начальный момент времени /-=0; задача состоит в том, чтобы найти распределение температуры в последую- последующие моменты времени t>0. Хорошо известно, что с помощью функции Грина, соответствую- соответствующей уравнению D.1), решение этого уравнения находится в виде u(x' '>в Таким образом, задача нахождения решения уравнения D.1) сво- сводится к задаче численного интегрирования при каждом ?>0. Существует, конечно, значительная заинтересованность в том, чтобы решить уравнение D.1а) другими методами; это может ока- оказаться полезным в том случае, когда метод, связанный с функцией Грина, неприменим. Например, когда само уравнение или гранич- граничные условия немного изменены. В связи с задачами ядерной физики можно было бы рассмотреть следующее уравнение в частных про- производных для функции плотности распределения нейтронов и(\, t): -[5 - ?*" = s(x, 0«. D-2) вариация по диффузия член, отражающий времени наличие источника Мы могли бы рассмотреть процесс распространения тепла в стержне конечных размеров, на концах которого поддерживаются заданные температуры и в котором имеются разнообразные источники тепла; температура и{х, t) удовлетворяет уравнению вида ||-? = s(., 0. 0<*<1, D.3а) 424 Гл. 3. Связь с численным анализом граничным условиям на концах стержня и следующему условию на начальную температуру: и(х, 0) = /(*). D.3с) Из физических соображений очевидно, что условий D.3b) и D.3с) достаточно для однозначного решения уравнения D.3а). Граничные условия, записанные по необходимости в математической форме, не всегда являются такими очевидными. Для численного решения уравнения D.2) и D.3), а также других уравнений такого типа существуют разнообразные методы, напри- например метод Галеркина. Однако простейший из них заключается в замене производных разностями. Прежде всего в D.3) делается ди- дискретной переменная х. Выберем N точек внутри интервала 0<Ос<Х так, чтобы сетка имела шаг AS=L/(N+l), а используемые точки имели вид xt=iAx, i=l, 2, . . ., N. Аппроксимационная схема (метод ломаных) задается следующим образом: и{хи и a*2 x=xg (AxJ После чего для функций U1 (t), ?/a(<), ..., VN(t) решаются уравнения 1 dUj _ t/y+j—2t//+ Ui-i _ s ^fi ^^ . ^4i4j полученные дискретизацией пространственной переменной. Ясно, что U0(t)=T0(t) и UN+1(t)—TL(t). Важно доказать, что эта система уравнений сходится. Это утверждение означает, что при Лл:->-0 и Af->-oo решение, найденное по аппроксимационной схеме с помощью точных арифметических действий, стремится к точному решению. Однако здесь мы даже и не будем пытаться доказывать этот резуль- результат. Уравнение D.4) можно переписать в матричном виде N /), 1 = 1, 2, .... Л/, D.5) где / @ = kS (xt, t) + k {8пи0 (t) + 8iNUN + l (t)\/(Ax)\ § 3.4. Метод Кража — Никольсона 425 ¦*/-! X,. Рис. 1. Графическое изображение пространственно-временных точек, соответст- соответствующих D.6). Если бы мы обратились к системам более высоких размерностей, таких как трехмерная задача D.2), мы бы пришли к уравнению D.5). Однако члены, соответствующие источникам, были бы другие и, что более существенно, матрица А была бы многомерной матри- матрицей с очень редким расположением элементов. Почти все элементы матрицы с редким расположением элементов равны нулю. Это озна- означает, что при операциях с такими матрицами можно использовать специальные приемы, позволяющие избегать излишних арифмети- арифметических действий. Конкретная проблема, которая имелась в виду при этих общих рассуждениях, состоит в том, чтобы рассмотреть слу- случай, в котором матрица А есть многомерная матрица размера N3x X N3, не обязательно симметричная. Уравнение D.5) служит типичным примером того, во что пре- превращается уравнение, подобное уравнению диффузии, после диск- дискретизации пространства. Очевидным методом является также диск- дискретизация времени. Воспользуемся некоторой последовательностью моментов времени /0=0, tlt К, гя, . . . и положим Ath=tk+1—th. Аппроксимация состоит в следующем: dt 1'='*^ Д/А Тогда уравнение D.5) заменяется на уравнение N uUf -f D.6) которое схематично описано на рис. 1. Рассмотрим теперь уравнения, в которых все граничные условия и член, соответствующий источнику, положены равными пулю. Основные проблемы, которыми мы будем заниматься, не связаны с наличием этих членов; тем самым их присутствие в значительной сте- степени несущественно. Таким образом, уравнение D.6) временно за- 426 Гл. 3. Связь с численным анализом меняется на уравнение U<*+1) = (/ + AM)U(ftl1 D.7) где U(ft> = (t/ift>, Uik\ Uf\ ..., ?/#>) — вектор величин, взятых в момент времени tk. Для того чтобы понять, как действует мат- матричный оператор (I -\-AtA), рассмотрим случай N = 3. Используя формулу D.4), имеем где /2—1 О В.Ц-1 2 -1 V 0 —1 2 Для произвольного N надо положить Собственные значения матрицы В3 легко найти: это 2 и 2+1/2. В общем случае собственные значения матрицы BN положитель- положительны и равны (|i) i=l, 2, .... N. D.8) С помощью некоторого рекуррентного соотношения, аналогич- аналогичного соотношению A; 4.4.5) для трехдиагональных определителей, получаем, что полином det (Ву—XI) связан со сдвинутым поли- полиномом Чебышёва порядка iV. Отсюда вытекает формула D.8). Существенным является то, что собственные значения опера- оператора (/+ЛМ) равны ' (Ax)J ' Так как оператор (I+AtA) в формуле D.7) используется итера- итерационно, то для устойчивости существенно, чтобы |А,|<1. В про- противном случае при итерации ошибки округления будут экспонен- экспоненциально расти. Это условие устойчивости влечет за собой нера- неравенство °<ЩА<2' D.9) из которого вытекает, что необходимым условием для устойчиво- устойчивости является ограниченность шага Д^ At<2(AxJ/k. D.10) Поэтому явный метод, определенный соотношением D.7), называется условно устойчивым. Ограничение сверху на шаг At, заданное не- § 3.4. Метод Кранка — Никольсона 427 равенством D.10) и вызванное требованием устойчивости, оказывает- оказывается неудобным. В дальнейшем мы найдем путь для того, чтобы избе- избежать его. Из физических соображений, относящихся к задаче D.3) о рас- распространении тепла, известно, что первоначальное поведение ре- решения соответствует неустановившемуся распространению тепла в стержне и что затем система оказывается в устойчивом состоянии. Это наводит на мысль, что с помощью некоторого метода последние шаги по времени Д^ можно выбрать гораздо большими, чем первона- первоначальные. В самом деле, в более поздние моменты времени истинное решение проявляет себя как доминирующее по причине того эф- эффекта, который вызывает величина ехр(—Х1 Д/)— вариация по вре- времени между узлами, kt— наименьшее из собственных значений D.8). Системы, в которых поведение численного решения управля- управляется некоторым большим собственным значением, а поведение ис- истинного решения управляется гораздо более малым собственным значением, называются негибкими системами. Ясно, что приведен- приведенный здесь явный метод решения для таких систем не годится. Направим наши усилия на то, чтобы найти выход из этого за- затруднительного положения. Будем считать уравнение D.5), взятое без членов, соответствующих источнику, идеальным для этой цели. Это уравнение имеет вид N dUi v л 11 -W==Z.A'JUf D-11) /=i где А — известная постоянная матрица с отрицательными собствен- собственными значениями. Уравнение D.11) имеет решение ш. D.12) Таким образом, вопрос сводится к тому, как вычислить матрицу ехр(ЛД0- Метод 1. Первое, что приходит в голову,— воспользоваться частной суммой Тейлора. Главное возражение против такого метода заключается в том, что он неустойчив. Он также является трудоем- трудоемким в смысле вычислений. Вычисление произведения матриц разме- размерами NxN требует произвести O(N3) операций умножения. Таким образом, наличие г-\-\ членов ряда требует О ((г—l)N3) операций умножения (если игнорировать пользу от того, что матрицы имеют редкое расположение элементов). Метод 2. Во-вторых, можно попытаться найти матрицу {ехр(—A At)}'1, используя частные суммы Тейлора. Этот метод является устойчивым, но таким же трудоемким, как и первый. Подобные методы, требующие операции обращения матрицы, назы- называются неявными методами по причинам, которые станут ясны иозд- 428 Гл. 3. Связь с численным анализом нее. Напомним, что операция обращения матрицы требует произве- произвести 0(Ыя) операций умножения и деления (если использовать метод исключений Гаусса). Таким образом, объем операций в этом случае имеет обычную величину. При прямом решении матричных уравне- уравнений требуется произвести О( -^N3) операций. Такая экономия всегда важна на практике. Напомним также, что существуют специальные методы с 0BN) числом операций для трехдиагональных матриц, возникающих в одномерных задачах (а также в задачах больших раз- размерностей). Метод 3. При достаточно большом п можно воспользоваться формулой П + A/я) A At]", которая уменьшает усилия, затрачивае- затрачиваемые на вычисление. Однако такой метод является не стабильным, и третий подход состоит в том, чтобы использовать выражение [1—(\/n)AAt]n. В то время как [1—A/л)/Щ-«->ехр [AM] при я->оо, только первые два члена ряда Тейлора этих функций совпа- совпадают. Таким образом, это устойчивый метод первого порядка. Ирак-' тически этот метод применяется через я-кратное использование выражения A—Л6/)-1 с некоторым, более малым чем At, шагом вре- времени 8t=At/n. Метод 1 можно считать методом, использующим аппроксимацию Паде [г/0] функции exp (AAt), а метод 2 рассматривать как метод, основанный на аппроксимации Паде [0, 1]. Метод 3 состоит в пов- повторном использовании аппроксимации Паде [0/1]. Это наводит на мысль привлечь другие аппроксимации Паде. Очевидным кандидатом является аппроксимация [1/1]. Тогда ап- аппроксимирующее к D.12) уравнение принимает вид такой метод называется методом Кранка — Никольсона. Это метод второго порядка: он является точным до порядка (АО2- Если ? — собственное значение матрицы А At, то D.14) — собственное значение матрицы A—-^AAf)'1 (I -|—=-Л At). Посколь- Поскольку 1<0, то D.14) показывает, что |Е (?)|<1. Эта черта метода наибо- наиболее важна, так как отсюда вытекает, что ошибка округления не увеличивается в процессе итерации решения. Такой процесс явля- является Л-устойчивым или абсолютно устойчивым. Это является ве- весомой предпосылкой для удовлетворительного численного решения. § 3.4. Метод Кранка — Никольсона 429 Подобные вычисления для методов 1 и 2 показывают соответственно неустойчивость и устойчивость. Определение. Предположим, что величины {уп, я=0, 1,2,...} получены как численное решение тестового уравнения у'=%у, так что ynmy(nh). Численный метод называется А-устойчивым, если уп-*~0 при п-^-оо для любых фиксированных k и Л, таких, 4ToRe^<0 и /i>0. Другой желательной чертой метода является L-устойчивость, иногда называемая левой устойчивостью, тугой устойчивостью или тугой А -устойчивостью для того, чтобы добавить таинственности и неразберихи. Определение. Предположим, что величины {уп, я=0, 1,2,...} получены как численное решение тестового уравнения у'='ку, так что упжу (nh) и yn+1=f(hX)yn, где ReX<0 и h>0. Численный метод называется L-устойчивым, если он А -устойчив и f{hk}->-0 при Re(/uH—°°- Эти определения даны в духе теории обыкновенных дифферен- дифференциальных уравненией [Gear, 1971], lLambert, 1974]. В определении L-устойчивости [Axelsson, 1969] используется результат о том, что некоторый численный метод решения обыкновенного дифференциаль- дифференциального уравнения тесно связан с рациональной аппроксимацией f{hl) функции ехр(/Л), как мы видели это (см. D.12) и D.13)) для систем таких уравнений. Примеры D.2) — D.14) показывают, что А-устойчивость эквивалентна требованию \f(hk)\430 Гл. 3. Связь с численным анализом t - ****** - * * I I х>-\ xi xi*l Рис. 2. Графическое изображение теплового потока в точках дс,- для двух после- последовательных моментов времени. и с помощью диаграммы, изображенной на рис. 2. Стрелками пока- показано направление теплового потока, в соответствии с которым про- происходит потеря или увеличение тепла в точке х* в последователь- последовательные моменты времени. Кроме того, к методу Кранка — Никольсона можно прийти, если искать более точное приближение величины dUt/dt в уравнении D.11) с помощью разностей, взятых с центром не в точке th, а в точке th-\—^Atk. Доводы такого рода можно считать скорее выражением подхода с позиций здравого смысла, либо отнести этот метод к методам второго порядка, а также к ме- методам, происходящим от правила трапеции. Это наиболее точный А -устойчивый линейный неявный многошаговый метод. Хотя метод Кранка — Никольсона и не является L-устойчивым, он все же по многим причинам хорошо себя зарекомендовал. До сих пор мы концентрировали свои усилия прежде всего на том, чтобы достигнуть точности (максимизируя порядок локального приближения), а также устойчивости численного решения уравне- уравнений диффузионного типа. Однако все же хорошо вспомнить практи- практический смысл той проблемы, которой мы занимаемся. Наша цель заключается в том, чтобы выбрать наиболее удачную рациональную аппроксимацию для функции ехр х на отрезке [0, At\. Аппроксима- Аппроксимация Паде как раз и является единственной «наилучшей» аппрокси- аппроксимацией при Д/-И) (ср. с § 3.6). Практическое соображение состоит в том, чтобы построить рациональную функцию достаточно эконом- экономным способом. Исходя из этого, желательно, чтобы матричная ап- аппроксимация функции ехр (А А/) имела бы вещественные линейные множители. Таким образом, методы аппроксимации Паде уместно использовать в тех ситуациях, когда разностные схемы не сраба- срабатывают. Только эксперимент покажет, какой из методов в наиболь- наибольшей степени удовлетворяет тем разнообразным и противоречивым требованиям, которые предъявляются к какому-либо конкретному уравнению. Мы отсылаем читателя к книгам [Crank, 1975], [Carslaw and Jaeger, 1959] и [Bell and Glasstone, 1970] для знакомства с основа- § 3.5. Обратное преобразование Лапласа 431 ми теории параболических уравнений, примеры которых обсужда- обсуждались в этом параграфе. С целью изучения методов решения таких уравнений процитируем книги [Varga, 1962], Юеаг, 19711 и [Lam- [Lambert, 1975], а также обзор [Argyris et al., 1977]. В качестве выбороч- выборочной библиографии по теме настоящего параграфа приведем работы [Baker, 1960], [Baker and Oliphant, I960], [Ehle, 1968, 1973, 1976], [Cavendish et al., 1972], [Fairweather,, 1971], [Norsett, 1974], [Sie meniuch, 1976], [Saff et al., 1976], [Smith et al., 1973] и [Saff et al., 1977]. § 3.5. Обратное преобразование Лапласа Задача построения обратного преобразования Лапласа состоит в том, чтобы найти функцию / (t) по заданной функции / ((). В принципе эти функции связаны соотношениями ^Ш i T(p)erfdt E.1) E.2) о Соотношением E.1) функция f(t) определяется по J(t) непосредст- непосредственно, если выбран подходящий контур интегрирования, на котором подынтегральное выражение осциллирует допустимым образом. Определенное затруднение при решении указанной задачи связа- связано с тем, что малые колебания функции f(p) оказываются результа- результатом больших колебаний f{t). Здесь мы обсудим только метод Паде, который не включает в себя выбор подходящего контура и неявно предполагает некоторую гладкость. Распространение волн в дефектной упругой среде подчиняется следующему уравнению для функции колебания у(х, t): Для того чтобы записать начальные условия, состоящие в том, что поперечные колебания вызываются сдвигом конца стержня в на- начальный момент времени ^=0 (т. е. соответствующая этому процессу функция имеет единичный скачок при ^=0), воспользуемся функ- функцией Хевисайда Q(t) и положим yOc=O,t)=ye(t)=Q(t). E.4) 432 Гл. 3. Связь с численным анализом С помощью преобразования да ^-Р< y(x,t)dt о уравнение E.3) приводится к более простому уравнению 'р) при х>0' решение которого имеет вид ^J i{^}. E.5) Для того чтобы найти решение у (х, t), требуется применить к функ- функции E.5) обратное преобразование. Функция у(х,р) мероморфна по р при Re/O-T-1 и аналитична при Re /?>0. Следовательно, фор- формула E.1) имеет смысл, если ш>0. Мы опускаем как несуществен- несущественное описание выбора переменной, который на практике применяет- применяется для того, чтобы привести E.5) к каноническому виду. Метод Паде требует трех простых шагов. Шаг 1. Разложить функцию E.5) в ряд Тейлора ру{х, р) = со + с,р + с2р2 + ... и построить ее диагональные аппроксимации Паде Ш/ЛТ] (р). Ко- Коэффициенты зависят от л: и от параметров с, т. Шаг 2. Представить эти аппроксимации Паде в виде где /><*>(*) = 0. E.6) 1 = 0 Если Re р\м'\хр>0 для какой-нибудь пары (г, М'), то аппроксима- аппроксимация Паде [М'/М'] оказывается непригодной, так как она имеет пло- плохую аналитическую структуру. Для полюсов этой аппроксимации Паде не выполняется условие близости к существенной особенности функции E.5) и к естественно проведенным разрезам, соответствую- соответствующим этой функции, которые располагаются в левой полуплоскости. Кроме того, наличие полюса в правой полуплоскости привело бы к решению, не имеющему физического смысла: это решение неогра- неограниченно возрастало бы со временем. Шаг 3. В качестве аппроксимации обратного преобразования принимается обратное преобразование функции E.6) § 3.6. Связь с рациональной аппроксимацией 433 Это выражение представляет собой сумму экспонент, амплитуда колебаний которых уменьшается со временем t. Интересно сравнить этот метод с методом аппроксимаций Бейкера — Гаммеля (§1.2) с экспоненциальным ядром. Мы не претендуем на то, что описанный в этом параграфе метод является наилучшим для построения обратного преобразования Лапласа. Усовершенствования этого метода основаны на некоторых наилучших или близких к наилучшим рациональным аппроксима- аппроксимациям к функции /(р) из E.1) [Longman, 1974], [Brezinski, 1979]. Сошлемся па работу [Talbot, 1979], где приведен некоторый другой метод, а также дай список методов, при которых достигается хоро- хорошая точность в общих случаях. § 3.6. Связь с рациональной аппроксимацией Время от времени мы подчеркивали в предыдущих параграфах, что аппроксимации Паде обычно не являются наилучшими рацио- рациональными аппроксимациями. В общем случае заведомо трудно найти наилучшие рациональные аппроксимации как в принципе, так и численно. Для функции f(z) с особенностями, содержащимися в конечном числе областей, теорема Рунге, говоря упрощенно, показывает, что существуют рациональные аппроксимации, которые имеют по- полюсы только в заранее указанных точках из областей с особенностями f(z) и которые сходятся к f(z) в дополнении к этим областям, т. е. там, где/(г) голоморфна. Для того чтобы показать какие возможно- возможности заключаются в рациональной аппроксимации, докажем две вводные леммы, а затем уже строго сформулируем и докажем теорему Рунге. Необходимость рационального приближения вытекает из простого примера, который показывает безуспешность полиноми- полиномиальной аппроксимации в этом частном случае и для которого рацио- рациональная аппроксимация дает точное решение. В заключение мы при- приведем теорему Уолша и некоторые однотипные результаты, показы- показывающие, что аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями. Лемма 1. Пусть &) — открытая, связная и ограниченная об- область, граничная кривая С которой состоит из наружной граничной кривой Си и внутренних граничных кривых Си С2, . . ., Сп. Пусть функция f (z) голоморфна в Я) и непрерывна на С. Тогда существует некоторая последовательность рациональных функций {Ph(z)}, по- полюсы которых лежат на С, и такая, что Ph(z)-+f(z) равномерно на компактных подмножествах &>. 434 Гл. 3. Связь с численным анализом Доказательство. Используя теорему Коши, имеем где С—Со—Сх—С2—. • ¦—С„; эта запись означает, что контур Со обходится против часовой стрелки, а остальные контуры обходятся по часовой стрелке, как показано на рис. 1. Мы доказываем сходимость на компактных подмножествах обла- области &>; отступим по крайней мере на расстояние S от границы С. Ясно, что в F.1) имеем \t—г|^б>0. Для того чтобы извлечь рациональную аппроксимацию из пред- представления F.1), выберем "П>0, разделим С на р дуг Гь Г2, . . ., Г^, каждая длины не больше К, и выберем произвольные точки th? Th. Положим 4=1 * F-2) Равенство F.2) определяет рациональную аппроксимацию. Пусть 1{С) обозначает длину кривой С, М=тах |/(г)| на компактном под- подмножестве области &>, о котором идет речь. Тогда легко получаем погрешность рациональной аппроксимации >. F.3) В F.3) величину ц можно выбрать произвольно малой; в частности, выберем ti< — произвольная связная, открытая, огра- ограниченная область, и пусть функция / (г) голоморфна в 3>. Тогда су- существует последовательность рациональных функций, которая сходится к /(г) равномерно на компактных подмножествах &). Доказательство. Мы можем исчерпать &) последовательностью вложенных открытых областей {®„} таких, что для всех п F.4) § 3.6. Связь с рациональной аппроксимацией 435 Проще всего это сделать с помощью сетки в декартовой системе координат в г-плоскости с размером ячейки 1~т (см. рис. 2). Тогда пусть $т состоит из тех открытых квадратов сетки, вклю- включая их общие стороны, для которых $т<^<3). Возьмем т больше некоторого минимального т0 так, что $т открыто и связно при m > ma. Тогда существует подпоследовательность последователь- последовательности {<§т, т> тй), обозначаемая через {@>п\, которая удовлет- удовлетворяет условию F.4); для каждого г ? 3) можно найти nz такое, что г^2)„2. Кроме того, граница й)„, обозначаемая через Сп, состоит из простых замкнутых ломаных. Пусть б„ — расстояние между й)„_! и Сп\ из условия F.4) вытекает, что Ьп > 0. Для произвольных цп > 0, используя предыдущую лемму, получаем рациональные функции.Sn(г) с полюсами на Сп такие, что где %п— длина Сп и М„ = тах |/(г)| при z?S)n. Следовательно, ве- величины Х.„ и Мп ограничены. Какой бы ни была величина Ьп, вели- величину т]п можно выбрать достаточно малой, так что последователь- последовательность Sn(z)->/(z) равномерно на компактных подмножествах S), и мы можем считать, что |/(z)-Sn(z)|<2-«. F.5) Построение функции Ра (z) в лемме 1 состоит из выбора полюсов на границе &> — области голоморфности функции Дг). Обычно эти полюсы не являются особенностями f(z). Построение в лемме 2 состоит из выбора полюсов функции Sn (z) внутри области голоморф- голоморфности f(z), но вне компактной подобласти сходимости. В теореме Рунге аппроксимации избавлены от этой непривлекательной черты благодаря тому, что полюсы Sn(z) помещаются в заранее выбранные точки в дополнительных областях. Более подробно см. [Roth, 1938] и [Gauthier, 1977]. Теорема 3.6.1 [Runge, 1885]. Пусть функция f(z) голоморф- голоморфна в S>, где S> — ограниченная открытая область, дополнение которой состоит в точности из т \-\ компонент Sr0, f(z) равномерно на компактных подмножествах Я) и все полюсы функций Rn(z) расположены а заранее выбранных точках {zk}. Если т=0, то вместо рациональных функций в качестве {Rn (г)} можно взять полиномы. Доказательство. Доказательство будет дано для случая пС^\. Используя метод леммы 2, предположим, что п достаточно велико, 436 Гл. 3. Связь с численным анализом так что границу n-й области, заключенной между ломаными линия- линиями, можно записать в виде /"* /"* У f> f> где внешность кривой СОп содержит§~0, а внутри кривых Сгп, С2п, • ¦ ¦ . . ., Стп содержатся соответственно ?и ?2, . . ., ?т- Пусть Sn(z) — рациональная аппроксимация, имеющая но построению простые полюсы на каждой из п+l кривых Chn. Эти полюсы «за- «заменяются» кратными полюсами в т+1 точках z0, zu . . ., zm без сколько-нибудь заметного изменения в точности приближения. Для того чтобы «перевести» полюс из точки г=а на кривой Ch в точку z=b, которая ближе к точке z=zh, воспользуемся тожде- тождеством 1 1 а — Ь (а — Ь)Р-у (а—Ь)Р г—а = г — Ь """(г — ЬJ' ' ' ' •" (г — Ь)Р > {г—a) (z — b)P ' откуда получаем J V г-а ++. (z-b)J \a—b\P ~ \г-а\.\г-Ь\Р Для любого 2^й)„_! и Ь, такого, что 2\b—a\<\z—b\, F.6) имеем Р " :^- F.7) Выражение F.7) является ключевым в теореме, так как из него видно, что полюс в точке z=a может быть «заменен» кратным по- полюсом высокого порядка в точке z=b. Кроме того, любой кратный полюс, помещенный в точку г—а (т. е. произвольный полином от (z—а)'1), может быть аппроксимирован подобным образом. Если бы можно было взять b—zh, то теорема уже была бы доказана. Однако в общем случае при b=zh условие F.6) не выполняется. Вместо этого на ломаной линии L, соединяющей точки а и zk, не- необходимо найти последовательность точек bo=a, bu b2, . . ., bN=z, такую, что \bj—bj_t\§ 3.6. Связь с рациональной аппроксимацией 437 Рис. 1. Область голоморфности функции /(г) (не заштрихована); показаны гра- граничные контуры Со, Си С2- I Im z Рис. 2. Декартова сетка и область точках z0, zt zh, такую, что )Sn{z)-Rn(z)\<2'-\ F.8) В совокупности соотношения F.5) и F.8) показывают, что |/(z)— — #„(г)| < 21"" для г^й)л_,. Это завершает доказательство для 438 Гл. 3. Связь с численным анализом случая т > 0. Доказательство в случае т = 0 мы оставляем чита- читателю в качестве простого упражнения [Hille, 1962, р. 229]. Интересно сравнить теорему Рунге и теорему Лорана о рацио- рациональной аппроксимации, сходящейся внутри кольца голоморфно- голоморфности. В последнем случае имеются два кратных полюса: один в центре кольца, другой в бесконечности. Таким образом, к настоящему моменту мы установили возмож- возможность равномерной сходимости рациональных аппроксимаций к функции, область голоморфности которой аналогична области, изо- изображенной на рис. 1. Мы пока далеки от того, чтобы доказать, что некоторая подпоследовательность аппроксимаций Паде сходится в области такого вида. Однако можно легко показать, что в неко- некоторых случаях полиномиальная аппроксимация не дает результата, и объяснить, почему так важна теорема Рунге. Покажем, что полином pn(z)=Q является наилучшей полино- полиномиальной аппроксимацией порядка п функции f(z)=z~1 в кольце l^|z|^2. Для этого предположим, что полином рп (г) дает более точ- точное приближение. Тогда max \pn(z)-z-4~r§ 3.7. Аппроксимации Паде для уравнения Риккаты 439 jL-voo сходятся к /(г) равномерно на компактных подмножествах круга |г|<р, не содержащих полюсов f(z). Кроме того, полюсы /?(L/M»(e, г) сходятся к М полюсам /(г), лежащим в кольце r<.\z\ (е> Z) = 2 rk (e) zk при | г |< е. 6=0 Используя интегральное представление, получаем г*(8)-с* = ай 3 || Вновь из-за того, что R(Lim(z) — наилучшая рациональная ап- аппроксимация в круге |z|(e, г) — f (z)\ < ma\\[L/M]f(z)—f(z)\ при |г| = е, поэтому Следовательно, /"ft(e)~>cft при е->0, fe=0, 1 L+M. Если С(иМ)ф§, то коэффициенты {ck, k=0, I, . . ., L+M} однозначно определяют функцию [L/M\. Если при k=0, 1 L + M величи- величины |rft(e)—ch\ достаточно малы, то RiL/M)(&, г) однозначно определя- определяется по коэффициентам rh(e) для таких значений k и R[L/M)(e, г) равномерно сходятся к [UM]j(z), если соответствующий знамена- знаменатель не обращается в нуль. Это требование выполняется по условиям теоремы. Значение этой теоремы Уолша заключается в следующем: ее можно интерпретировать как утверждение о том, что аппроксима- аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными аппрок- аппроксимациями. Имеются интересные результаты, близкие к этой теоре- теореме, которые мы приведем без доказательства в виде следствий. 440 Гл. 3. Связь с численным анализом Следствие 1. Утверждение теоремы 3.6.3 остается справедли- справедливым, если под функцией №1/М)(г,г) понимать наилучшую рацио- рациональную аппроксимацию на замкнутом вещественном интервале О^ (вместо круга ||^) Следствие 2. Пусть f(z) —вещественнозначная функция, имею- имеющая т-\-п-\-\ непрерывных производных на отрезке [0, б] при не- некотором 8>0. Для каждого е, 0<е<б; через R{L/M)(e, г) обозначим наилучшую рациональную аппроксимацию типа (L/M) функции f(z) на [0, е]. Тогда при е-МЗ /?(Z-/M>(e, z)-^ALIM\f(z) на некотором замкнутом интервале [О, е0], О<ео^б, где для [ЫМ \f(z) используется классическое определение, а не определение Бейкера. Следствие 1 представляет собой результат, подобный теореме Уолша. Следствие 2 показывает, что аппроксимации Паде, опре- определенные классическим методом, возникают как предел наилучших рациональных аппроксимаций [Chui et al., 1974]. Для более подробного знакомства с последними результатами типа теоремы Уолша мы отсылаем читателя к работам FChui et al., 1975, 1978] и [Walsh, 1965 a, b, 1970]. Поучительными и интересны- интересными являются примеры, в которых показана неединственность на- наилучших рациональных аппроксимаций с комплексными коэффи- коэффициентами для вещественнозначных функций на вещественных интер- интервалах [Saff and Varga, 19781. В качестве полезной ссылки общего характера на тему о рациональных аппроксимациях приведем [Hille, 1962]. § 3.7. Аппроксимации Паде для уравнения Риккати Уравнением Риккати называется обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение вида A(x)fx + B(x)u + C(x)u* = D(x). G.1) Уравнения такого типа естественным образом возникают при ана- анализе однородного обыкновенного дифференциального уравнения второй степени. В качестве примера рассмотрим одномерное урав- уравнение Шрёдингера, представимое в виде Ф"—D(*)q>=0. G.2) Подстановкой и(х)=ц>' (х)/ц(х) уравнение G.2) приводится к урав- уравнению которое является частным случаем уравнения G.1). На самом деле общее уравнение Риккати вида G.1) всегда можно привести к линей- линейному однородному обыкновенному дифференциальному уравнению § 3.7. Аппроксимации Паде для уравнения Риккати 44_1 второго порядка [Ince, 1944, р. 24]. Если присутствующие в G.1) функции А (х), В(х), С(х) и D(x) являются полиномами, то уравне- уравнение может быть решено с помощью некоторого варианта метода Фробениуса, использующего непрерывные дроби. Отметим, что под- подстановка в G.1) приводит к уравнению A(x)f'-B(x)f+D(x)f*=C(x), G.3) которое также является уравнением Риккати. В этом смысле урав- уравнение Риккати «сохраняет свой вид при указанной замене функ- функции» х). Метод решения мы разъясним на наглядном примере. Рассмотрим уравнение Риккати (ax+b)y' + (cx+d)y+ (ex+g)y^h, G.4) где а, Ь, с, d, e, g и h — постоянные. Сделаем подстановку у(х) =—,—-—-г-., G.5) а v ; ск-\-а.— и(х) \'•") которая приведет к уравнению (ах+Ь)и'+(сх+а—и) (d—a+u)+h(ex+g)—c(ax—b)=O. G.6) Уравнения G.5), G.6) согласуются с предположением |*H-oo, _ G.7) при условии что величина а выбрана равной a=d—a+eh/c. G.8) Тогда G.6) приводится к уравнению (ax+b)u'+ (cx—d+2a)u—u2=a(a—d)-~gh+cb. G.9) Сравнение G.4) и G.9) показывает, что при подстановке G.5) вид уравнения Риккати G.4) сохраняется. Постоянные а, Ъ и с не изме- изменяются d-+2a—d, e-+0, g-+—l, h-+a (a—d)—gh+cb. G.10) Поэтому, многократно применяя подстановку вида G.5), решение произвольного уравнения Риккати типа G.4) можно дать в виде не- непрерывной дроби. В качестве примера такого уравнения Риккати рассмотрим уравнение xy'—(x+n—l)y=—l. G.11) 1) Зинн-Жюстен, частное сообщение. 442 Гл. 3. Связь с численным анализом Впервые решения дифференциальных уравнений такого типа в виде непрерывных дробей были получены Лагерром lLaguerre, 1879, 18851; он использовал уравнение G.11) для случая л = 1 в качестве явного примера. Уравнение G.11) имеет решение у(х) = е*Еа{х), G.12) где со со En(x)=\e-xtt-»dt = xn-1 \e-"u~"du G-13) 1 X при Rex>0. Следуя G.5) и G.9), сделаем подстановку у (*)=_,-7-иМ; GЛ4) тогда из G.10) находим, что и(\) удовлетворяет уравнению хи' — (х-\-п + 1)и — и2 = п. G.15) В качестве шага индукции рассмотрим уравнение xu'r—(x + n + 2r— \)ur — u* = r(n + r— 1); G.16) отметим, что G.15) в точности совпадает с G.16) в случае г=\. Учитывая G.5), сделаем подстановку Используя G.8), находим аг= — п — 2г, G.18) а из G.10) вытекает, что функция иг+х(х) удовлетворяет урав- уравнению xur.l — (x + n+2r+l)ur+1 — u*ril = {r+l)(n + r). G.19) Из G.19) следует, что по индукции уравнение G.16) распростра- распространяется на все положительные целые г. Из G.14), G.17) и G.18) находим решение уравнения G.11): — х — п х—п — 2 х — п— 4— "' ' х—п—2 (г,-\-1)— ' ' ' 1 п -2—х-\-п-\ 4- ' " " У(х) = Относительно переменной г=-х~1 М-я подходящая дробь дроби G.20) является аппроксимацией Паде функции у (Hz); условия порядка аппроксимации выполняются благодаря G.5), G.7) и G.8). В действительности непрерывная дробь G.20) есть в точности дробь A; 4.6.8), хотя метод ее построения совершенно иной. Про- Проделанный анализ ясно показывает, что точное, завершенное выра- §3.7. Аппроксимации Паде. для уравнения Риккати 443 жение для решения уравнения Риккати может быть получено толь- только в исключительных случаях. В общем метод, содержащийся в соотношениях G.4), G.5), G.8) и G.10), приводит к представлению ре- решения у(х) уравнения Риккати в виде непрерывной дроби при усло- условии, что можно согласованно наложить условия порядка аппрокси- аппроксимации. Необходимое условие для такого согласования, в случае когда коэффициенты А(х), В(х), С(х) и D (х) в уравнении G.1) — полиномы, заключается в том, что степени этих полиномов удовлет- удовлетворяют неравенствам deg{D(x)}Глава 4. СВЯЗЬ С КВАНТОВОЙ ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ §4.1. Возмущенные гармонические осцилляторы Эта глава состоит из трех параграфов. В первом приводятся аргументы в пользу применения метода аппроксимаций Паде для суммирования разложений, которые возникают в квантовой теории поля при возмущениях. Во втором параграфе обсуждаются два ти- типа модели пион-пион рассеяния, для которых метод аппроксимаций Паде открыл новые перспективы в теории возмущений. В послед- последнем параграфе дается набор приложений Паде-методов к критиче- критическим явлениям и указывается, каким образом это связано с кванто- квантовой теорией поля. Здесь мы не в состоянии передать в полной мере содержание мно- многочисленных книг по квантовой теории поля. Основы квантовой ме- механики, которые используются в этом параграфе, изложены Дираком в «The Principles of Quantum Mechanics» [Dirac, 1958J. Элементы тео- теории поля и квантовой электродинамики имеются в книге [Schweber, 1961]. Особенно мы рекомендуем читателю книгу «Cargese Lecture in Physics» [Bessis, 1972] для знакомства с современной трактовкой основ квантовой теории поля. Квантовая электродинамика (КЭД) имеет дело с фотонами и электронами. Состояние вакуума в ней постулируется как состояние с наименьшим уровнем энергии. Характерной чертой КЭД является возможность образования виртуальных пар электрон-позитрон. Это явление лежит в основе вакуумной поляризации, эффект от которой точно проверяется на энергетических уровнях водорода. Взрывы черных дыр могут оказаться более драматичной реализацией этого явления. Дайсон [Dyson, 1952] рассмотрел конфигурацию, состоя- состоящую из большого числа близко расположенных электронов и на некотором расстоянии от них такого же большого числа близко рас- расположенных позитронов. Пример такой конфигурации мы приво- приводим на рис. 1. В собственной энергии взаимодействия этой вирту- виртуальной системы преобладает благодаря малому расстоянию энергия отталкивания в каждой из групп. Таким образом, конфигурация имеет большую положительную собственную энергию, соответствую- соответствующую очень малому промежутку времени и оказывающую незначи- незначительное влияние на любое вычисление. §4.1. Возмущенные гармонические осцилляторы 445 Рис 1. Конфигурация виртуальных электронов и позитронов. Предположим, что некоторая произвольная величина в кванто- квантовой электродинамике вычислена по возмущенному ряду в точке %—е2 и что ряд в этой точке сходится. Тогда его радиус сходимости не меньше е2 и, таким образом, ряд сходится в точке %=—-^е2. С физической точки зрения это соответствует изменению знака взаимодействия пары электрон-позитрон. Система, изображенная на рис. 1, имеет теперь большую отрицательную энергию, и такая конфигурация становится чрезвычайно вероятной. Это физическое явление образно называется «взрывающимся» вакуумом. Следст- Следствием этого является то, что любой возмущенный ряд в КЭД рас- расходится. Если какой-нибудь ряд в КЭД ассоциирован с некоторой функцией, аналитической при \k\.|2 = Ф„(У) = с/Тг/Яп(у), A.1b) где ст, т = 0, 1, 2,... — нормирующие постоянные. Объединен- Объединенная волновая функция осцилляторов равна \т,п> = уя, „ (х, у) = сяс/Т* +"' Нт (х) На (у); A.2) 446 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля это — собственная функция гамильтониана Решение A.2), не зависящее от времени, возмущается с помощью мгновенного взаимодействия A.4) Такое взаимодействие приводит к уравнению Шрёдингера, зави- зависящему от времени: При t < 0 его решения совпадают с невозмущенными решениями так что при / = 0 |- возмущенная волновая функция равна Поэтому S-матрица для такого взаимодействия задается интег- интегралом перекрытия S(m'n\ /пл)= $ 1С',г(^!/)^\,„(^ЙЛA!/. A.5) — со — со Заданная формулой A.1) и нормированная волновая функция, соответствующая основному состоянию, равна Если подставить это в A.5), то получим, что амплитуда перехо- перехода из основного состояния в основное равна A.6) A.7) A.8) По формулам A.6), A.7) или A.8) функция S00(g2) определяется для всех вещественных значений g. Далее, из A.7) вытекает, 4ToS00(g2}-> ->-1 при вещественных g->0. Однако формула A.7) не определена при Re^2<0; очевидно также, что S00(g'2) имеет особенность в точке ga=0. Хотя A.8) дает явное выражение для Sw{g2), удобнее проин- § 4.1. Возмущённые гармонические осцилляторы 447 тегрировать в A.6) по х и получить л — оо з ,Н-4 *{} T/(-g^) + — ее 2/-(-sV)" г Уя I \ / 3 Используя рекуррентные соотношения для гамма-функции и фор- формулу ¦§¦), получаем Эти формальные действия с расходящимися рядами законны в силу теоремы Карлемана. Мы видим также, что Soo^g2) есть ряд Стиль- тьеса с нулевым радиусом сходимости. Формула A.9) для асимпто- асимптотического ряда показывает, что теория возмущений конечного порядка при достаточно малой константе взаимодействия может да- давать вполне приемлемые результаты. Однако при произвольном вза- взаимодействии такие результаты не могут быть получены простым сум- суммированием рядов. Как известно, для ряда A.9) сходятся диагональ- диагональные аппроксимации Паде, и численные результаты красноречиво подтверждают это [Baker and Chisholm, 19661. Проведем еще раз подобный анализ, используя представление Гейзенберга, в котором пространственная переменная х и импульс рх являются зависящими от времени операторами. Тождественно 448 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля по времени они удовлетворяют соотношению коммутирования lx(t), p (t)]=i. Его решения таковы х (t) = х0 cos / \-рхп sin/, Отсюда следует, что [х{(), x'(t)] = — is\n(t — t'). A.11) Рассмотрим теперь операторы p-\-ix * р — ix которые играют роль операторов рождения и уничтожения. Сле- Следуя Дираку, найдем, что собственные состояния гейзенберговских операторов даются выражением г)" | 0> и имеют собственные зна- значения Л„ = « + 1/2. Тогда оператор х = (ц—Tf)/j/2 соответствует квантованному полю, а его иропагатор дается формулой A.11). Следовательно, мы видим, что взаимодействие, описываемое га- гамильтонианом A.4), аналогично некоторому взаимодействию вида gijn|xp и подобно электрон-фотонному взаимодействию в К.ЭД. После этого естественно ожидать сингулярность возмущенных разложений в КЭД в нуле параметра взаимодействия. Ангармонический осциллятор Рассматриваемый здесь одномерный квантово-механический ангармонический осциллятор порождается гамильтонианом Ч-Рх\ Р>0. A.12) Проблема состоит в том, чтобы найти собственные значения энер- энергии и собственные энергетические уровни для уравнения Шрё- дингера ^) *=-?*• A.13) Если Р = 0, то решение дается формулой A.1а), а теория возму- возмущений дает метод для вычисления Е и г|з (лг) в виде рядов по р. Решение уравнения A.13) асимптотически ведет себя следую- следующим образом: ф() е-1Т*7з при х—^оо. Мы видим, что вид волновой функции резко меняется приР=0. Удобнее рассмотреть другую задачу с гамильтонианом § 4.1. Возмущённые гармонические осцилляторы 449 и решать уравнение Шрёдингера Можно доказать, что для этой задачи возмущенное решение анали- тично по а в точке а=0 и что разложение сходится при малых |а|. Для большей общности рассмотрим гамильтониан Н=р2+ах*+$х*, A-14) который имеет энергетические уровни Е=Еп(а, |3). Мы уже уста- установили, что функция Еп(си, 1) аналитична в точке а=0. Сделаем в уравнении A.13) замену переменных х-^-х'—Кх. Каж- Каждое решение уравнения A.13) приводит к целому классу решений уравнения A.14); мы находим ?„ (а, C) = к~2 Еп (акх, |ЗА,в). Выбирая а=\, (iX6=l, получаем ?дA, P) = |i'/8?n(p-2/s, 1), A.15) откуда вытекает, что функция ?„A,|}) определена в Р-плоскости с некоторым разрезом, оканчивающимся в точке Р=оо. Кроме того, это соотношение наводит на верную мысль, что точка C =0 является кубической точкой ветвления. Так как функция ?„A, f>) вещест- вещественно-симметрична, то разрез проходит по полуоси —оо<;р^0. I Ьдчеркнем, что следствием этого является то, что возмущенный ряд. для функции ?n(l, P) имеет нулевой радиус сходимости. Можно до- доказать, что ?„A, |3) есть рядСтильтьеса пор, для которого сходится диагональная последовательность аппроксимаций Паде. Для более подробного изучения теории ангармонических осцилляторов и ее связи с теорией поля мы отсылаем читателя к книгам [Bender and Wu, 1968] и (Simon, 19701. Статья [Loeffel et al., 1969) является важной в плане подтверждения сходимости метода Паде для $хг- ангармонического осциллятора. Для рх8-ангармонического осцил- осциллятора возмущенный ряд расходится так быстро, что проблема мо- моментов не определена [Graffi and Grecchi, 1978). За дальней- дальнейшими деталями мы отсылаем читателя к работам [Killingleck, 1980), [Graffi et al., 1971], [Greffi et al., 1970] и [Ruijgrok, 1972]. В картине Гейзенберга Рх4-возмущение в уравнении A.12) со- соответствует (р4-теории поля. Вывод состоит в том, что возмущенное разложение в такой теории поля всегда расходится и необходимо использовать аппроксимации Паде. В самом деле, полученные не- недавно точные оценки для коэффициентов показывают, что в случае четырех измерений коэффициенты возмущенного ряда расходятся как с'к ~ {ш2 У [к + т) ' "Ри k ~~* °° [Brezin, 1977J. 450 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля § 4.2. Пион-пион рассеяние В этом параграфе мы обсудим, как с помощью аппроксимаций Паде проверяются основные положения теории элементарных ча- частиц. Отвлекаясь от физической стороны дела, остановимся прежде всего на том, каким образом свойства аппроксимаций Паде оказы- оказываются полезными для таких приложений. В типичной ситуации мы не в состоянии вычислить с произвольной точностью произволь- произвольно много членов степенного ряда. В пионной динамике в настоящее время доступны самое большее пять членов, а для получения даже нескольких точных десятичных знаков членов более высокого по- порядка требуются трудоемкие вычисления. Отсутствие места не поз- позволяет достаточно полно обсудить техническую сторону теории эле- элементарных частиц. Вновь мы отсылаем читателя к книге «Cargese Lectures in Physics» JBessis, 19721. Разнообразные вычисления проведены с помощью аппроксима- аппроксимации Паде для систем нуклон-нуклон и мезон-нуклон. Прототипом вычисления адронного спектра с помощью аппроксимаций Паде яв- является расчет (ф4-модели пион-пион рассеяния с помощью таких аппроксимаций. Возмущенный ряд порождается лагранжианом Я = у (д»<РаГ + j m2q4 +1X (фафа)?. B.1) Элементы Г-матрицы порождаются графами Фейнмана, изображен- изображенными на рис. 1; формально СП T(s, t, u)=2T*(s, *> «)• 1 = 0 Каждая независимая замкнутая петля любого из графов соответ- соответствует некоторому четырехмерному пространственно-временному интегралу, а каждая внутренняя линия представляет собой некото- некоторый пропагатор. Сомножитель X. ассоциирован с каждой вершиной — пересечением четырех линий. Если графом изображается некоторый процесс рассеяния, в котором промежуточные частицы могут удов- удовлетворять классическим законам сохранения энергии и импульса (как если бы пионы были сталкивающимися бильярдными шарами), то графы оказываются расходящимися и неизбежно требуются мно- многомерные сингулярные квадратуры. Кроме того, такие графы пред- представляют интерес и с числовой точки зрения, поэтому важен ак- аккуратный расчет этих графов. Из теории графов Фейнмана известно, что Т-матрица перекрест- перекрестно симметрична. Это означает, что T{s, t, и) — симметричная функ- функция всех трех переменных s, t и и. Переменная s соответствует энер- энергии, доступной для процесса рассеяния, а переменная t — передаче импульса. Переменные s, t и и являются релятивистскими инвари- инвариантами, образованными из четырех-импульса пиона, и s+/-f м=4. § 4.2. Пион-пион рассеяние 451 T0(s,t,u) « 0. , аналогичные члены, с тремя вершинами другие члены с четырьмя вершинами Рис. I. Некоторые графы Фейнмана. Следовательно, ы является зависимой переменной. Если игнориро- игнорировать сложность изоспина, то возмущенный ряд для Г-матрицы ока- оказывается циклично симметричным Tt(s, t, u) = Tt(t, и, s) = Tt(u, t, s). B.2) Следовательно, для любой [/.ШЬаппроксимации Паде Г-матрицы такая симметрия сохраняется. Другой важной характеристикой Г-матрицы является ее уни- унитарность. С помощью разложения Лежандра образуем парциаль- парциальную волну tt(k2) = p(k2) J T(i + 4k\ —2кЦ1—х), —2k2{l+x))Pl(x)dx, -i ¦ где p(k2) — кинематический множитель, k — модуль импульса любого из пионов, взятый в системе центра масс, a x=cos 9 — ко- косинус угла рассеяния 9. Свойство унитарности Г-матрицы состоит в том, что [1+ ««(*•)] [1 + «I № =1. B.3) Так же как и в теории потенциала (см. B.4.12)), любое ограничение теории возмущений конечным порядком не сохраняет свойства уни- унитарности. Однако диагональные аппроксимации Паде S-матрицы и аппроксимации Паде [LIM] Г-матричного возмущенного ряда яв- 452 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля ляются унитарными при условии M^L (см. ч. 1, 1.5, теорема 1.5.5 и упражнение 1). Подводя итог ситуации, отметим, что все аппроксимации Паде для полной амплитуды перекрестно-симметричны, но не унитарны, в то время как диагональные аппроксимации для амплитуд парци- парциальных волн унитарны, но не являются компонентами перекрестно- симметричной амплитуды. Мы сталкиваемся с дилеммой выбора на- наилучшего метода. Фактически лучше всего использовать оба метода и сравнивать их на устойчивость и состоятельность. До сих пор предполагалось, что аппроксимации Паде используют- используются для ускорения сходимости возмущенного ряда. Однако сущест- существует другой сильный аргумент в пользу построения таких аппрок- аппроксимаций, а именно то, что они пригодны для представления ре- зонансов. Множество резонансов возникает в различных каналах упругого рассеяния пионов, таких как р-мезон в канале с /=/ = 1, где / обозначает изотопный спин, а / — угловой момент пионов. Если канале /=/ = 1 открыт, тор-мезонный вклад является домини- доминирующим в пион-пион взаимодействии при энергии относительно центра масс, близкой к 760 MeV, что соответствует кгтаЬЛ в едини- единицах массы пиона. Принято считать, что существование этого мезона есть следствие действующего пион-пион лагранжиана, такого как B.1). Следова- Следовательно, р-мезон должен соответствовать некоторой особенности амплитуды, вычисляемой по лагранжиану, и фактически р-мезон должен быть полюсом амплитуды для парциальной волны. Более точ- точно это означает, что tt(k2) при постоянном g имеет полюс около точ- точки k2—6.4. Естественно думать, что аппроксимация Паде выдаст полюс по переменной а2—• параметру взаимодействия — в точке /г2. Фактически полюс t, как функции от а2 в фиксированной точке k2 соответствует двум полюсам функции tt(k2) па двулистной поверх- поверхности, если выполнены свойства унитарности и аналитичности. Займемся теперь качественной оценкой тех достижений теории, которые основаны па лср4-лагранжиане. При /=/ = 1 амплитуда должна содержать полюср-мезона; мы предполагаем, что постоянная взаимодействия подобрана так, что некоторая аппроксимация Паде для возмущенного ряда парциальной волны имеет полюс при пра- правильной энергии. Выбор аппроксимаций для использования в не- некоторой степени ограничен, поскольку в разложении /] (k2) по К2 постоянный член и член первого порядка равны пулю. В работе [Bessis and Pusterla, 19671 с помощью [2/21-аппроксимации была вычислена величина а2 по массе р-мезона и с помощью этого зафик- зафиксирован единственный свободный параметр в теории. К предска- предсказаниям теории относятся: сдвиги фаз парциальных волн, резонансы и их ширины. Эти предсказания теории должны пройти проверку на устойчивость, например, с помощью сравнения с результатами, по- полученными применением аппроксимаций Паде [2/1] и [1/2]. В модели § 4.2. Пион-пион рассеяние 453 в целом не должно слишком сильно нарушаться условие перекрест- перекрестной симметрии. Итак, к предсказаниям теории относится то, что (>-мезон существует и устойчив, т. е. слишком узкий; /°-мезон A=0, J=2) предсказуем и очень узкий; предсказание относительно 5- волн ошибочно; не верно предсказан некоторый экзотический мезон A=2, J=2). Условие перекрестной симметрии проверяется с по- помощью неравенства Мартина и оказывается хорошо выполненным. Другой подход, использующий аппроксимации Паде для полной амплитуды, требует вычисления члена с полюсом. Говоря упрощенно, мы ожидаем, что [2/2]г (k\ cos 0) = ^Дк • const + остаток. Знаменатель аппроксимации Паде есть функция от (s, t) или, что эквивалентно, от (k2, cos Э). Нуль знаменателя определяет так на- называемый полоид, при этом нуль не зависит от cos Э. Проверка того, что полоид — плоский при физически разумных ограниче- ограничениях (—l^cosB^l) является важным тестом на состоятельность такого подхода; это условие достаточно хорошо удовлетворяется в случае Хф4-модели четвертого порядка. При таком подходе амплиту- амплитуды парциальных волн определяются так J Pt(x)[2/2]TD + 4k2, —2k2 A-х), —2 Эти величины должны быть унитарны в том смысле, что соотношение B.3) выполняется приближенно. Нарушение симметрии в Хф4-мо- дели составляет всего лишь несколько процентов. Подводя итог использованию аппроксимаций Паде малого по- порядка в Хф4-теории (как для полной амплитуды, так и для амплитуд парциальных волн), отметим, что все тесты на внутреннюю согласо- согласованность теории хорошо удовлетворяются и в то же время только не- несколько предсказаний этой модели оказываются верными. Этих ре- результатов оказалось достаточно для стимулирования дальнейших важных исследований, однако они также показали, что ^"-лагран- ^"-лагранжиан, вероятно, является неполным. Здесь мы не рассматриваем более глубокий вопрос о том, приводят ли на самом деле результаты о перенормировании возмущенных рядов в Хф4-теории в случае четырех измерений к верным результатам теории поля. В случае двух и трех измерений возмущенные ряды суммируемы методом Бо- реля к функциям Швингера [(Eckmann et al., 1974;Dimock, 1974; Magnen and Seneor, 1976; Feldman and Osterwalcler, 1976]. Самые лучшие предсказания для пион-пион рассеяния сделаны в рамках ст-модели. Метод в основном аналогичен предыдущему, 4 54 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля за исключением того, что лагранжиан равен ^ = у[(^о)Ч-(а1глв)»]—1ц»[а« + <]-1х[о»-г-<]»+са. B.14) Мы ввели некоторое скалярное поле а, которое является двухпи- онным (/=0, 7=0) резонансом. Этот лагранжиан имеет киральную симметрию только в том случае, если опустить член с о. Параметров разложения два: с и X; их величины фиксируются заданием массы р-мезона и скорости распада пиона (через частичное сохранение ак- аксиально-векторного тока). Размер графов в возмущенном разложе- разложении определяется числом петель; обычно имеется возможность ис- использовать аппроксимации Паде от одной переменной. Как это ни прискорбно, но модель можно рассчитать только ограничиваясь одпопетлевыми аппроксимациями, т. е. разрешая построение аппрок- аппроксимаций Паде [1/1]. Однако замечательно то, что даже при таком малом порядке аппроксимации энергетические уровни /=0 и /=2 для фазовых сдвигов S-волны оказываются в хорошем согласии с экспериментом. Кроме того, сохраняется такая привлекательная черта Хф4-модели как существование р- и /° -мезонов, хорошо удов- удовлетворяются также тесты на согласованность. К недостаткам метода относится то, что членов ряда не хватает для тестов на устойчивость; экзотический мезон (/=2) все еще предсказывается теорией, а р- и /°-мезоны слишком узки. Даже при этом наиболее впечатляющим в а-модели является то, что в ней сохраняются лучшие черты Хф4- теории и исправлено самое неудачное в этой теории — ошибочное предсказание относительно 5-волн. Все еще не ясно, каких именно членов не хватает в B.4) для по- построения полной теории. Несомненно, что положение в а-модели могло бы проясниться, если применить более современную технику, такую как использование импульса вне энергетической поверхности в качестве вариационного параметра [Alabiso et al., 1972 a, b] и аппроксимаций Паде от двух переменных [Graves-Morris and Sam- well, 19751, Это замечание отражает направление всей второй части книги — как свести наибольшее число задач к суммированию чис- числового степенного ряда. Для более детального изучения состояния дел в описанной моде- модели мы отсылаем читателя к обзорам [Basdevant, 1970, 1973] и [Zinn- Justin, 1970], а также к первоисточникам [Bessis and Pusterla, 1967, 1968; Copley and Masson, 1967; Copley et al., 1968; Basdevant et al., 1968, 1969; Basdevant and Lee, 1969a; Bessis and Turchetti, 1972]. § 4.3. Решеточное обрезание в 'к^-евклидовой теории поля 455 § 4.3 Решеточное обрезание в ?ор4-евклидовой теории поля или модель Изинга непрерывного спина В этом параграфе мы укажем некоторые пути использования ап- аппроксимаций Паде для изучения более глубоких вопросов существо- существования в теории поля и рассмотрим их связь с перенормированной те- теорией возмущений. Данный подход приводит здесь к сопоставлению задач теории поля с соответствующими проблемами в статистической механике. Важным шагом в этом направлении является теорема Нельсона [Nelson, 1973], которая показывает, что теорию бозонного поля можно полностью изучить в евклидовом пространстве, а соот- соответствующая теория в пространстве Минковского всегда может быть построена исходя из евклидовой теории. Некоммутирующие опера- операторы в евклидовом пространстве обычной теории поля заменяются коррелированными случайными полями. Иногда в евклидовом про- пространстве используется ультрафиолетовое обрезание решеточного типа. Лагранжиан J? (подобный D.2.1) за исключением в точности одной компоненты, соответствующей некоторому полю) и действие Л связаны соотношением C.1) где т0— голая масса, к0— голая постоянная связи, а: ф2^: означает нормально упорядоченное произведение. В соответствии с целью этого параграфа под :ф2Л' можно понимать четный полином от ф степени 2р с единичным старшим коэффициентом, другие коэффи- коэффициенты которого — числовые функции от /л2, размерности про- пространства и ультрафиолетового обрезания. В пространстве двух или более измерений эти коэффициенты становятся бесконечными, если отсутствует обрезание. Основной функцией для решеточного обрезания является функция разбиения + оо у Д dm х l F! ' • J, C.2) где v456 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля щая постоянная. Теория поля строится на основе функций Швингера d"lnZ C.3) отнормированных для подходящего (возможно, зависящего от пе- периода решетки) выбора величин л, и А, в пределе, когда период решетки стремится к нулю. Подходящей перенормировкой поля ф можно привести равенство C.2) к виду C.4) который непосредственно является формой модели Изинга непрерыв- непрерывного спина на d-мерной пространственной решетке. В пределе при бесконечном возрастании объема теория поля приводит к уже изу- изученному пределу в статистической механике. Этот предел при усло- условии, что период решетки стремится к нулю, можно представлять себе как такой предел, когда отношение периода решетки и другой длины в задаче (т. е. длина корреляции) стремится к нулю. Эта си- ситуация соответствует в точности такому приближению к критиче- критической точке, при котором флуктуации велики, а корреляции дейст- действуют на большом расстоянии. Пример дает явление ферромагнетиз- ферромагнетизма, когда при высоких температурах вещество — ферромагнетик (например, брусок железа) может сохранять самопроизвольную намагниченность при отсутствии магнитного поля. Таким образом, оказывается, что более тщательное изучение основных вопросов теории поля эквивалентно изучению в статистической механике то- того, как ведет себя некоторый процесс при приближении к критиче- критической точке. Бейкер и Кинсайд [Baker and Kincaid, 1979, 1981] уже начали такое изучение и получили замечательные результаты с помощью Паде-методов и методов из § 1.3. Для того чтобы увидеть как Паде-методы помогают в таких ис- исследованиях, мы рассмотрим некоторые приложения этих методов к задачам для критических явлений в статистической механике. Приложения такого рода оказываются среди наиболее удачно раз- разработанных приложений Паде-методов к задачам, возникающим из практики. С помощью равенства C.4) можно определить обычную свободную энергию на каждый спин /=— (pW)-4nZ, C.5) где P = i/fe7\ k — постоянная Больцмана, Т — температура. Ти- Типичные термодинамические величины, представляющие интерес, § 4.3. Решеточное обрезание в kg^-евклидовой теории поля 457 могут быть получены непосредственно из C.5). В критической точ- точке различные термодинамические величины имеют особенности в виде точек ветвления, характер которых представляет значительный физический интерес. Для всех этих величин можно построить разло- разложение в ряд, например, по К ос \lkT. После этого возникает идея использовать Паде-метод для того, чтобы найти особую точку и определить характер ветвления. Типичными величинами, с которы- которыми имеют дело в квантовой термодинамике, являются СИсхд-1\н«\К-Кс\-а, где С#—удельная теплота в постоянном магнитном поле, М — спонтанная намагниченность, х—магнитная восприимчивость, а Кс — критическая величина К- Мы заключаем, что М = 0 для е и М > 0 для К> Кс- C-7) Для модели Изинга спин-1/2 (получается переходом к пределу при А,0-»-оо при условии, что <ст;> = 1 для фиксированного /(=0) в двумерном случае точно известны некоторые критические харак- характеристики [Me Coyand Wu, 1973]; например, у=1-75, Р = 1/8, а Сяос In \К—КС1. что соответствует а-=0. Для более высоких размер- размерностей (458 Гл. 4. Связь с квантовой теорией поля Другой путь использования метода аппроксимаций Паде в моде- модели Изинга спин-1/2 связан с разложениями по сильным полям. Если в равенстве C.4) положить все #;=#, то можно разложить свобод- свободную энергию около упорядоченного состояния (все спины парал- параллельны) по степеням \х=е~2". Используя замечательную теорему из работы [Lee and Yang, 1952], в которой утверждается, что для вещественных К, К и А все особенности в [г-плоскости лежат на единичной окружности |ц| = 1 и происходят от нулей функции Z, можно показать [Bessis et al., 1976] в терминах переменной v-jgff. C.9) что намагниченность равна (l + cos80)/2 J ?Lg, C.10) где при К<.КС величина 00 положительна и определяет сектор —Q0 жүктеу/скачать 343 Kb. Достарыңызбен бөлісу: