Р, мл., П. Грейвс-моррис аппроксимации паде основы теории Обобщения и приложения Перевод с английского Е. А. Рахманова и С. П. Суетина под редакцией А. А. Гончара Москва «Мир» 1986 ббк 22. 13 Б 41

§ 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 325 Рис. 2. Область решетки

жүктеу/скачать 343 Kb. бет 2/4 Дата 07.02.2022 өлшемі 343 Kb. #86530

§ 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 325 Рис. 2. Область решетки <$¦ для [2/2]-аппроксимации Чисхолма. Звездочками указаны точки решетки, соответствующие уравнениям, которые должны быть сим- метризованы. Коэффициенты числителя определяются из D.7), если известны ко- коэффициенты знаменателя, коэффициенты знаменателя bitj можно найти из D.8). Область совпадения проще всего описать с по- помощью примера; на рис. 2 это пространство показано для случая аппроксимации [2/2]. В случае у=0 для вычисления коэффициентов 6t 0, 62i „ и опре- определения аппроксимации Паде [2/2] требуется условие совпадения коэффициентов при степенях х3, х*. В общем случае шесть из восьми коэффициентов для &*, ^ получаются из условий совпадения коэффи- коэффициентов при а:3, х\ х3у и у3, у', ху3 (отмечено на рис. 2 значками о). Требуются еще два уравнения. Одно из них получается сложением уравнений D.8), соответствующих степеням х*у и ху*, другое — сло- сложением таких же уравнений для степеней х2у3 и х3у2. Эти два урав- уравнения называются симметризованными. Таким образом, аппрокси- аппроксимации Чисхолма всегда удовлетворяют условиям совпадения коэф- коэффициентов для степеней вплоть до xiJ-aya, а=0, 1, . . ., 2L. Для симметричных функций симметризация дополнительных уравнений не приводит к какому-либо эффекту и условия аппроксимации вы- выполняются для всех степеней вплоть до л:2-7, y2j и x2j~a,pya,a=l,2,. . . . . ., 2L. При условии существования аппроксимации Чисхолма обладают следующими свойствами. Они превращаются в диагональные аппроксимации Паде, если одна из переменных обращается в нуль. Они обладают свойством инвариантности при дробно-линейных преобразованиях вида Аи 1+Stt' Av l+Cv ' 326 Гл. 1, Обобщения аппроксимаций Поде Если f(x, y) = g(u, v), то [L/L}f(x, y) = [L/L]g(u, v). Они* удовлетворяют условию двойственности; если g (х, у) = = l/f(x, у), то ly) [/@,0)^=0]. Они сохраняют унитарность: если f{x, y)f*(x, у)=1, то [L/L],(x, y){[L/L]f(x, */)}• = 1. Они удовлетворяют правилу факторизации: если / (х, у) есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то аппроксимация есть произведение соот- соответствующих аппроксимаций Паде. На языке формул это означает, что если f(x, y) = g(x)h(y), то [L/L]f{x, y) = [LlL]g(x)-[LlL}h(y). Конструкция аппроксимаций Чисхолма коммутирует с дробно- линейными преобразованиями функции: пусть Тогда и и л , ч A + B[L/L]f(x, у) [L/L]g{х, у) = c + D[L/L]/(x>y) • Доказательство всех этих утверждений основано на условии точности порядка аппроксимации. Отметим, что инвариантность при дробно-линейных преобразованиях и свойство факторизации, по- видимому, существенны для любой полезной схемы. Более общая схема аппроксимаций [Hughes Jones, 1976] опреде- определяется равенствами 2 0 / = 0 /И, М2 , у) =2 ^bltJxfyf. Соответствующая область совпадения ? показана на рис. 3, 4. Если min (Mlt M2)^min(L,, L2), то имеет место более простая си- ситуация, показанная на рис. 3; в противоположном случае картина сложнее (рис. 4). Содержание этих рисунков можно легче понять в терминах метода зубцов |Hughes Jones and Makinson, 1974]. Коэф- Коэффициенты bi% j вычисляются последовательно в зубцах, которые опре- определяются как векторы вида b@) = (&i,o, 6,,о. •••' Ьт„«; &о.1. К Ь •••> Km) bU1 = (^2, 1. К I. •••' Кг, Ь К» К 3. •••> ЬитгЛ bi§ 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 327 Рис. 3. Схематическое изображение области решетки § для Canterbury-аппрок- Canterbury-аппроксимаций с /H2328 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Поде Завершая обсуждение Canterbury-аппроксимаций, укажем еще на возможность взвешенной симметризации. Естественно, что в случае симметричных функций ci% j=c^ t веса для каждой пары симметризуемых уравнений совпадают. Существуют две различные весовые схемы, которые симметрично оперируют с переменными и каждая из которых имеет свои достоинства. Одна из этих схем [Chisholm and Hughes Jones, 1975] обладает свойством инвариант- инвариантности относительно любых дробно-линейных преобразований вида Ли Си х = 1 + Ви ' у 1 + Du " Другая схема [Graves-Morris and Roberts, 1975] гарантирует от случайных вырождений, максимизируя вычислительную устойчи- устойчивость системы, и сохраняет инвариантность относительно преобра- преобразований D.9) с |Л|=|С|. К счастью, обе схемы приводят на практи- практике к близким результатам. Как уже отмечалось, рассматриваемые здесь конструкции могут быть обобщены на случай функций многих переменных с помощью геометрических соображений и метода зубцов; алгебраические фор- формулы при этом усложняются [Chisholm and Me Ewan, 1974; Hughes Jones, 1976]. Существуют две другие схемы рациональных аппроксимаций для функций N переменных, имеющие каждая свои достоинства. Обе они связаны с использованием в числителе и знаменателе аппрок- аппроксимации полиномов более высокого порядка, чем тот, который отве- отвечает условию точности порядка аппроксимации. Прежде всего для изучения функции / (х, у) можно ввести следую- следующий «разрешающий» ряд: ,' = 0 /г = О Hill ion, 1977a; Watson, 1974]. Тогда f(x, y)=F(x, у; 1) и аппрокси- аппроксимация Паде [L/M] для функции F(x, у, К) по аргументу К определя- определяет при К=\ некоторую рациональную аппроксимацию для функции f{x, у). Эти аппроксимации весьма удобны в случае большого числа переменных. Они превращаются в аппроксимации Паде [L/M] для f{x, 0) и /@, у) на соответствующих осях; кроме того, их значения могут быть получены с помощью е-алгоритма. Недостатком этих аппроксимаций является то, что для их построения требуется отно- относительно специальное множество коэффициентов. Второй метод состоит в том, что с функцией f(x, у) связывается некоторая проблема моментов [Alabiso and Butera, 1975]. Предполо- Предположим, что §1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 329 и \g'>(zЖ, где Ж—некоторое гильбертово пространство, в кото- котором заданы два коммутирующих оператора А и В таких, что f.,« = - D-12) Вектор ц><*>>=2 2< р=0 0=0 можно рассматривать как аппроксимацию вектора при условии что «">> = <ЛГ>, | g>, D.15) где <А„,| = <гИ'-'5'|, г = 0, 1, .... N, s=0, 1, ..., л. Равенства D.15) дают систему из 1/tN(N+l) линейных уравне- уравнений для коэффициентов \р^'? л; р 2j Zi^p, q (lr+р, s+q~^~Xh +» + l, « + g~b У/r+p, s + q+l) = /r, *• Эта система определяет вектор \^ш> из D.13), a пред- представляет собой рациональную аппроксимацию для функции f(x, у), заданной согласно D.12). Этот общий результат можно пояснить примером, относящимся к случаю N=1, в котором ^A)> = (/o,o/i,o/o, i)x /о, о — xfi,o—yfo.i /i,o xft< 0 {//i,i /о, Г */ь l yfo,i\~l /l, (I -"-/2,0 {//l,l /2,0 -""/3,0 f//2, 1 /1,1 -^/2, 1 У/1, 2 I X /o, 1 */l, 1 У/О, 2 /1,1 X'2, 1 У/1,2 /0,2 ^/ 1, 2 У!0,3/ Эта система аппроксимаций сходится для строго стильтьесов- ских функций двух переменных, но утрачивает свойство точности порядка аппроксимации и свойство редукции к аппроксимациям Па- де на осях. Вероятно, наилучшими многомерными аппроксимациями из рассмотренных в этом параграфе можно назвать те, которые наиболее 330 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Поде точно соответствуют специфике исследуемой задачи. Исходя из это- этого, мы рассмотрим теперь другие способы аппроксимации, которые не обязательно приводят к рациональным функциям, но которые можно построить по коэффициентам ct, }, с тем чтобы в том или ином смысле приблизить функцию fix, У)=Ъ 2 ?/,/*?• D.1) i = 0 / = 0 В контексте задач о критических явлениях мы будем искать обоб- обобщения б3./-аппроксимаций (§1.3) и D-log-аппроксимаций Паде A; 2.2.7) для функций, которые в качестве особенностей имеют по- полюсы и точки ветвления. Например, f{x, у) может быть удельной теплоемкостью вещества, зависящей от температуры и давления. В таком случае мы полагаем в A.41) х=Т~х, у~р и должны иссле- исследовать свойства функции f{x, у) около критической точки. Можно предположить [Pfeuty et al., 1974], что вблизи критической точки (хс, ус) функция имеет вид /(х, y)«(xc_x)VZ(J^), D.16) где 7 и ф — показатели, a Z (z) — неизвестная нормировочная функ- функция. Приведем в общих чертах схему аппроксимаций Фишера IFis- her, 1977; Fisher and Kerr, 1977], приспособленных для анализа за- задач такого рода. Рассмотрим полином Тейлора М*. удовлетворяющие соотношению +члены более высокого порядка. D.17) Область решетки & соответствует данным коэффициентам, обла- области 3?, o/ft и Ж определяют порядки полиномов Pjg(x, у), (*> У) и ^п|\Г (*> У) и схема нормально определена, если dim (<У) = dim {3) + dim (e?) + dim (<#*) — 1. D.18) Это следует из соотношений D.17), которые дают систему линей- линейных уравнений для коэффициентов многочленов Рх (х, у), ц^ (х, у) и Rac(x, у)- Выбор областей 3?, е? и Ж определяется в соот- соответствии с особенностями рассматриваемой задачи. Когда много- многочлены Рjg (х, у), Q^ (х, у) и Rлг (х, у) найдены, аппроксимация § 1.4. Аппроксимация функций нескольких переменных 331 Фишера F(x, у) для функции f(x, у) определяется как решение следующего уравнения в частных производных ^^ У)Ц^- D-19) Для того чтобы однозначно определить функцию f(x, у), необ- необходимо еще уточнить граничные условия, т. е. задать функцию F @, у). Если не удается определить F@, у) точно, то можно воспользоваться приближением этой функции с помощью G3J- аппроксимаций. Пример. Рассмотрим следующее разложение: F(x, t/)=2 2c/./*V = (l— 2x+y)-v + Q(\-x-\-2y)-*y D.20) i = 0 i¦ = 0 с постоянными 0 и у. Если области 3?, <Л к Ж выбраны так, что , у) = 4-2х-2у, D.21) то функция f (x, у) является точным решением уравнения D.19). Вместе с граничными условиями F@, y) = (l + y)-v + Q(\+2y)-*v D.20) определяет единственное решение D.19), D.21). В общем положении любое решение уравнения D.19) обяза- обязательно имеет особенности в тех точках, где Q^ (x, y)=R^> (x, у)—0, и это равенство должно представлять критические точки. Напри- Например, любое решение уравнения D.19)—D.21) сингулярно в точке х=\, у = \. Решение D.19) с такими свойствами, как показано на рис. 5, требует более изощренных обоснований. Аппроксимации Фишера линейны в том смысле, что если Flt Ft—решения уравнения D.19) с данными Р%{х, у), Q^ix, у), Rjr>(x, у), то Fx-\-Ft также будет решением этого уравнения. Путем обобщения квадратичных аппроксимаций Шафера возникает некоторый класс нелинейных двумерных аппроксимаций — аппрок- аппроксимаций с ветвлениями. Пусть задан степенной ряд D.1) или по меньшей мере некоторое достаточно большое подмножество его коэффициентов. При фиксированном выборе областей J?, аЛ и <АГ с условием D.18) и при отсутствии вырождения можно найти полиномы Qjg{x, у), R^ix, у), S^(x, у), такие, что <а{х, y)f(x, Jf с точностью до членов более высокого порядка. Так же как в C.11а), соответствующая квадратичная апнрокси- 332 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде мация определяется равенством [Chisholm, 1977 b] ¦ф (х, у) = —— x, у) x, у) D.22) 1У-Р ТВЕРДОЕ СОСТОЯНИЕ Х Рис. 5. Структура сингулярности удельной теплоемкости вещества в (х, ^-плос- ^-плоскости с х=Т~1, у=Р- Показаны критическая точка,(хс, ус) и кривые фазовых пере- переходов: A) — кривая испарения, B) — кривая плавления, C) — кривая субли- сублимации. Правильный выбор ветви ty(x, у), представляющей f(x, у), обычно бывает ясен из контекста. Схема квадратичных аппроксимаций мо- может быть обобщена на случай алгебраических уравнений более высокого порядка, а также — на случай других функциональных уравнений. Мы подчеркиваем еще раз, что наилучший выбор метода многомерных аппроксимаций определяется его соответствием спе- специфике рассматриваемой задачи. За дальнейшими деталями, касающимися Canterbury-аппрок- Canterbury-аппроксимаций, мы отсылаем читателя к работам [Lutterodi, 1974; Chisholm, 1977а; Graves-Morris, Hughes Jones and Makinson, 1974; Chisholm and Graves-Morris, 1975; Roberts et al., 1975; Chisholm and Roberts, 1976; Graves-Morris 1974; Roberts, 1977]. Подробности касающиеся других методов аппроксимации функ- функций нескольких переменных, можно найти в работах [Levin, 1976; Fisher, 1977; Baker and Moussa, 1978; Genz, 1977; Karlsson and Wal- lin, 1977; Barnsley and Robinson, 1978; Chisholm, 1977b, 1978 a, b; Short, 1978; Brezinski, 1978b]. # 1.5. Матричные аппроксимации Паде 333 § 1.5. Матричные аппроксимации Паде Основная часть этой книги посвящена аппроксимациям Паде для рядов "У. CiZ' с вещественными или комплексными коэффициентами 1 = 0 cit но, по существу, основные свойства этих аппроксимаций сохра- няются в случае, когда ct—квадратные матрицы и /(г) = Усггг— также матрица. Теперь мы рассмотрим этот вопрос подробнее, считая, что Ci— постоянные квадратные матрицы с вещественными или комплексными коэффициентами. Принципиальная трудность, которая должна быть так или иначе преодолена в матричном случае, состоит в том, что становится существенным порядок умножения. Вообще говоря, мы не будем предполагать, что матрицы коэффици- коэффициентов коммутативны, и с этим связаны различные новые вопросы, возникающие при определении и вычислении аппроксимаций Паде. Прежде чем переходить к анализу этих вопросов, мы рассмотрим два примера. Пример 1. ,. /c /(z)=(si cos? — s'mz\ /1 0\ , /0 —1 ). E.1) Это соотношение приводит к следующим уравнениям, выражающим обычные условия аппроксимации (совпадения коэффициентов); ci + cab1 = ai, E.2) Cj + c1bl = О, и простые вычисления с этими матрицами показывают, что Пример 2. ' 1 0\ -1 02+ _г 1_г_ 0 334 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Следуя E.1), E.2), находим, что Если вместо E.1) мы запишем условие аппроксимации в виде с0 + с1г + с^ = A + Ь[г)-Ца'0 + а'1г) + О(г3), то получим уравнения ci-^b'lcQ = a'u E.4) сг + Ь'хсх = О, и результат будет следующим: Сомножители в E.5), очевидно, отличаются от сомножителей в E.3); в E.3) знаменатель стоит справа, соответствующая аппроксимация Паде называется правой и обозначается символом R [1/1]. Аналогич- Аналогично, L [1/1] — левая аппроксимация Паде. Мы различаем также пра- правый знаменатель R ЕЯи1Цг) и левый знаменатель L B^il\z)\ отме- отметим, что в примере 2 ) ф LBivi\ (г). Определение. Правая аппроксимация Паде для ряда f (г) = со = 2 е*2' с квадратными матрицами коэффициентов с, опреде- ; = о ляется соотношениями )—RAIW\ (г) = о (гь+« + ») E.6) = I, так что E.7) 1. E.8) Левая аппроксимация Паде определяется аналогично с использова- использованием левого умножения. Это определение, включающее условие E.7), соответствует опре- определению Бейкера и обеспечивает аппроксимацию до порядка L+M. При других определениях возможны знаменатели с условиями: чреватые опасностями. Как бы то ни было, это не имеет прямого отношения к нашему обсуждению. Принимая определение типа Бей- Бейкера, мы имеем следующую теорему существования. § 1.5. Матричные аппроксимации Паде 335 Теорема 1.5.1. Пусть с{—квадратные матрицы порядка d и CL-M+l ¦ ¦ • Cl E.9) {слева—определитель порядка Md), тогда как правая, так и левая аппроксимации Паде существуют. Доказательство. Согласно E.6), знаменатель RB^LiM^(z) опре- определяется системой уравнений с/.-М<-г W + 1 E.10) Эта запись отражает блочную структуру системы. Столбец в правой части представляет собой матрицу с d столбцами, так что E.10) включает d групп уравнений (по М уравнений в каждой) и пред- представляет линейную систему порядка Md. Соотношение E.9) яв- является условием однозначной разрешимости этой системы. Теорема 1.5.2. Правая и левая аппроксимации Паде совпадают, котя могут иметь различные представления. Доказательство. Согласно соотношениям E.6), E.7), E.8), входящим в определение, имеем L[LlM] = Умножая справа на и слева на получаем поскольку в левой части нет степеней порядка zL+M+1 и выше. Утверждение теоремы получается отсюда делением. Это утверждение не содержит па самом деле ничего парадок- парадоксального: например, два различных выражения ^ Хби9х ^пред- ^представляют одно и то же число. Чтобы проиллюстрировать матричный случай, вернемся к E.3). 336 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Пример 2 (продолжение). Находя явный вид матриц, обратных к RQ(z) и LQ(z) из E.3), E.5), получаем Это показывает, что правая и левая аппроксимации Паде в данном случае действительно совпадают, и подтверждает, что каждая из них аппроксимирует данную матрицу до порядка г2. Теорема 1.5.3. Рассмотрим следующее преобразование коэффи- коэффициентов ряда С[ —»¦ c'l^vctV1, где v — фиксированная обратимая {йхй}-матрица. Это преобра- преобразование является автоморфизмом алгебры матриц-коэффициентов и определяет преобразование функций, при котором f(z) переходит в ) 1=0 Имеем [L/M]g(z) = v-[L/M\f(z)-v~1, при условии что одна из этих аппроксимаций существует. Теорема 1.5.4. Если матрица /@) = с0 обратима и g(z)=l/f(z), то [L/M\g(z)={[M/L]f(z)}-\ при условии что одна из этих аппроксимаций существует. Теорема 1.5.5. Пусть /-,, Liy L3, Lt—фиксированные (dxd)- матрицы и Тогда [M/M]g = (Ц [М/М], + Lt) (L, [М/М], + L4)-\ при условии что матрица L3f @) -f- L4 обратима и аппроксимация [M/M]f существует. Теорема 1.5.6. [Gammel and Me Donald, 1966]. Пусть мат- матрица-функция S(z) унитарна, т. е. S(z){S(z)]+=l, E.11) § 1.5. Матричные аппроксимации Паде 337 где символ + обозначает эрмитово сопряжение, т. е. транспозицию вместе с комплексным сопряжением. Если матричная аппроксимация Паде [М/М] существует, то она также унитарна [M/M]s(z){\M/M)s(z)}+ = I. E.12) Теорема 1.5.7. Пусть w—az/($z+y) и g(w)=f(z). Тогда IN/N\g(w) --=\NIN)f (г) при условии, что а, уФО и одна из этих аппрок- аппроксимаций существует. Доказательства. Все доказательства основаны на условии точ- точности порядка аппроксимации и по форме не отличаются от соответ- соответствующих доказательств для скалярных случаев. Интересно, что к матричным аппроксимациям Паде приводят те или иные вариационные методы. Рассмотрим следующий правый функционал: ?d = M(\i0, (io . . ., \iN)= 2 соответствующий левый функционал („ ] д) 2^ jj ! =0 и двусторонний функционал Ганкеля &Р = 3%(he, Xf, ..., XN; ц.о, [Хц ..., u/v)== = 22 hz/(c/+k — zc/+k + 1)zk\ik. /,= 0 i - 0 Параметры X/t \ik — произвольные (с(хс()-матрицы. Теорема 1.5.8. Пусть вариационные функции определяются равенствами [Ft(k0, ..., XN; \i0 рнЯ^ЯЖ-1^, [F2(\y ..., XN- ,u0, ..., |iw)] = Sl—i?-|-J?. Значения этих двух функционалов в соответствующих стационар- стационарных точках совпадают и являются матричными аппроксимациями оо Паде [М — 1/Afl для ряда 2 ciz'- 1=0 Объем книги не позволяет доказывать эту теорему, по тем же причинам мы не можем углубляться в элегантный формализм вариа- вариационных методов для случая матричных коэффициентов. В § 2.8 мы укажем связь матричных аппроксимаций Паде с принципом Швингера в контексте теории рассеяния. По существу, наиболее 338 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде важные приложения матричных аппроксимаций Паде относятся к ядерной физике и физике элементарных частиц. Теория сходимости для матричных аппроксимаций Паде не яв- является хоть сколько-нибудь полной, особенно в случае бесконечно- бесконечномерных матриц. Отметим, однако, что имеется теорема сходимости, относящаяся к случаю, когда f(z) есть /^-оператор, соответствующий ряду Стильтьеса с бесконечными матрицами в качестве коэффициен- коэффициентов. Обратимся теперь к более сложным вопросам, относящимся к случаю, когда матрицы ct не являются квадратными. Мы рассмо- рассмотрим частный случай, когда с( являются векторами, или (dx ^-ма- ^-матрицами. Прежде всего нужно определить операцию обращения и для этого мы воспользуемся формулой Самельсона E.13) где li*||—J?a-HopMa, которая наиболее естественна в этом контек- контексте и дает на практике наилучшие результаты. Не пытаясь приспо- приспособить к данному случаю систему E.10), мы заметим, что алгоритм Винна вместе с E.13) дает все, что требуется при условии существо- существования промежуточных аппроксимаций. Единственное замечание, которое должно быть сделано, состоит в том, что эта процедура дает разумный результат лишь в очень простых ситуациях. Рассмотрим случай, когда е-алгоригм применяется для ускорения сходимости векторов, удовлетворяющих рекуррентным соотношениям: м ¦ м \ 2 a/V,+ I=v 2 «/ К E-14) м где а0, аь ..., ам — постоянные, для которых ^ауф0. Тогда ; =0 с помощью е-алгоритма можно ускорить сходимость частичных сумм к предполагаемому предельному значению e'4-v. E.15) Соотношение E.15) можно уточнить, заметив, что при отсутствии вырождения решение E.14) удовлетворяет условию м ,+ i—v,= 2 P/Y/ / = i и последовательность {v,-, i = 0, 1, 2, ...} является последова- последовательностью частичных сумм векторзначного геометрического ряда с М компонентами; эта последовательность сходится, если |у/| < 1 при всех /. В скалярном случае рассуждения, основанные на теореме Монтессу, показывают, что аппроксимация Паде [/VAf] дает точный ответ и, следовательно, точный ответ дает прибли- § 1.6. Аппроксимации Паде — Чебышёва, Паде — Фурье 339 жение е'/л!, i — 0, 1, 2, .... Доказательство E.15) в рассматри- рассматриваемом нами случае основывается на построении изоморфизма между комплекснозначными векторами vf и некоторой алгеброй Клиффорда [Me Cleod, 1971]. Подход к матричным аппроксимациям Паде, рассмотренный в этом параграфе, заимствован из работы [Bessis, 1973]. Другие под- подходы и различные приложения можно найти в работах [Winn, 1962b, 1963, 1964; Bessis et al., 1974; Hofman et al., 1976; Starkand, 1976; Brezinski, 1977; Pindor, 1979b]. § 1.6. Аппроксимации Паде — Чебышёва, Паде—Фурье и т. д. Пусть дан формальный ряд по многочленам Чебышёва 00 /(г) =?' clTl(z)^^c0 + c1T1 (z) + CiT2(z)+ .... F.1) 0 где символ 2' означает, что первый коэффициент с0 следует заменить на -^ с0. Задача об аппроксимациях Паде — Чебышёва состоит в том, чтобы построить рациональную аппроксимацию типа IL/M] для функции f(z), используя только первые L+M+1 коэффициен- коэффициентов разложения F.1). В некоторых случаях более удобными могут оказаться аппроксимации типа Бейкера — Гаммеля, рассмотренные в § 1.2, но в этом параграфе мы рассматриваем исключительно ра- рациональные аппроксимации. Итак, наша цель — определить функ- функцию вида А(г) _ i^o 2 ;=o которая аппроксимирует функцию f(z), заданную рядом F.1). Мы будем действовать по аналогии с методами гл. 1 ч. 1 и анализировать возникающие затруднения по мере того, как они встречаются. Нам потребуются перечисленные ниже свойства многочленов Чебышёва, которые вытекают из их определения: Тт (z)=cos (m arccos г). F.3) Справедливы рекуррентные соотношения Tm+1(z)-2zTm(z)+Tm_l(z)=0, m= 1,2,..., F.4) 340 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде с начальными условиями T0(z) = \, Tt(z)=z. Имеет место правило умножения Ti(z)T/(z) = ^[Tu/(z) + Tu_n(z)]. F.5) Справедливы соотношения ортогональности вида 1 j Т{ (х) Tj (х) y^L= = -J (8и/ + б,, ,6,, „). F.6) Равенства F.4) — F.6) получаются непосредственно из определения F.3). Исходя из поставленной задачи аппроксимации ряда F.1), мы требуем, чтобы L ?'с,Г,(г)«-^ . F.7) 1=0 Для того чтобы придать точный смысл символу »,мы произведем в F.7) умножение на знаменатель правой части; с учетом F.5) это дает L/=o М "I L "I J / F.8) 1=0 L/=0 J Последнее приближенное равенство будем понимать в смысле совпадения коэффициентов при Г,- (г) у левой и правой части для 1=0, 1, ..., L-\-M. Отсюда получаем равенства м 4-Е'*/(°*+/ + с1'-/|) = 0, «¦='-+1. •... ? + M, F.9а) м уХ b/(c{+/ + c\i-j\) = at, г = 0, 1, .... L. F.9Ь) /=о Уравнения F.9а) позволяют определить {bf} по данным коэффициен- коэффициентам ряда, затем уравнения F.9Ь) определяют коэффициенты {аг}. Этот способ вычисления аппроксимации F.2) кажется удовлетво- удовлетворительным до тех пор, пока не выяснится, что в F.9) фигурируют коэффициенты с, с1( . . ., с1+гМ; неприятным следствием правила умножения F.5) является то, что для вычисления аппроксимации типа [L/M] используется L+2.M4-1 коэффициентов данного ряда. Ясно, что такая аппроксимационная схема неэкономична. Аппрок- § 1.6. Аппроксимации Паде — Чебышёва, Паде — Фурье 341 симации Паде — Чебышёва, определяемые по этой схеме [Maehly, 1956; Holdeman, 1969], называют иногда «cross-multiplied» ап- аппроксимациями [Fleischer, 1973b], чтобы подчеркнуть, что они ос- основаны на соотношении F.9). Наиболее простой, но вряд ли удов- удовлетворительный способ исправить положение заключается в том, чтобы для определения аппроксимации типа [L/M] применять урав- уравнения F.9) ccI + M+i = 0 i=l, 2, . . ., М, используя тем самым только коэффициенты с0, си . . ., cL+M. Преодолеть эту трудность можно также следующим образом. Вернемся к F.2) и произведем разложение знаменателя в ряд Г М 1-1 ю 2V/W =2' Коэффициенты Ру вычисляются согласно F.6) Подставляя F.10) в F.2) и сравнивая коэффициенты полученного разложения с коэффициентами F.1), находим, что M/ -n) = cf5 1 = 0, 1, .... L + M. /=о Вместе с F.11) это дает весьма сложную систему нелинейных урав- уравнений для определения а0, . . ., aL, blt . . ., bM. Определенные та- таким образом аппроксимации называют «properly expanded»-annpoK- симациями [Fleischer, 1973b]; используются они редко. Наиболее удачный как с эстетической, так и с вычислительной точки зрения подход предложен в работе [Clenshaw and Lord, 1974]. По аналогии с методом аппроксимаций Бейкера — Гаммеля пред- предположим, что данные коэффициенты с0, сх, . . ., cL+M в F.1) явля- являются коэффициентами степенного разложения некоторой рацио- рациональной функции типа [L/Mh тогда их можно представить в виде м С/= 2 *А при всех />max@, L—M + 1). F.12) Следовательно, элементы последовательности {Су} удовлетворяют (М-\- 1)-членному рекуррентному соотношению м L + 2, ... F.13) 342 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде и каждое tk является корнем полинома м = 0. F.14) Предположим, что с} —> 0 при / —> оо (это естественное условие для разложений по многочленам Чебышёва) и |^,|<1. Исполь- Используя F.12), уравнения F.9а) для коэффициентов Ь} можно пере- переписать в виде , L + 2 L + M или м м ¦V' i м м S*t S/W + )-0, i = L + l, L + 2, ..., L + M. F.15) *=i i=o Теперь мы докажем теорему о представлении знаменателя В (г). Теорема 1.6.1. Пусть г = ^-A + {~1) "Р@ = вB)- Тогда в обо- обозначениях F.12)—F.15) имеем [М Л Г М "I 2 т/ S ъ*-' • (еле) / = о J L/ = о J Доказательство. Степень полинома В (г) равна М. Представим его корни zlt z2 zM в виде zft = у^ + т*1), где |тА|< 1, так как тА и т*' соответствуют одному и тому же zk. Имеем где (xf (как и ц в F.16)) —несущественная нормировочная постоян- постоянная. Согласно определению, где (xf (как и ц ()) ная. Согласно определению (JW) 1=0 и с учетом формулы связи между г и / F.3) получаем )- F17) Таким образом, равенства F.15) выполняются, если tk—корень уравнения F.17) и |**|<1. Теперь мы можем принять, что § 1.6. Аппроксимации Паде — Чебышёва, Паде — Фурье 343 = ik при всех k—\, 2, ..., М. Отсюда следует, что 2 / = 0 и равенство F.16) доказано. Алгоритм Кленшоу и Лорда состоит в определении последо- последовательности {уу} из F.13) при начальном условии уо= 1. Коэф- Коэффициента знаменателя определяются из F.16): м-/ 9/ = И 2 i где постоянная ц может быть выбрана так, что до=2. Формула F.9Ь) для коэффициентов числителя завершает схему. Лучше всего этот алгоритм работает в случае, когда числа \С}\, j>L+M, «предсказанные» соотношением F.13), быстро убы- убывают. В этом случае нули Р (t) находятся далеко от единичной окруж- окружности в ^-плоскости, которая соответствует отрезку —1^2^1 в 2-плоскости. Существенно, что в различных тестовых задачах этот алгоритм часто дает аппроксимации, которые близки к наилучшим рациональным аппроксимациям на отрезке [—1, 1]. Еще одна схема рациональной аппроксимации рядов по многочле- многочленам Чебышёва предложена в работе [Gragg and Johnson, 1974]. В тех же предположениях, что и выше, рассмотрим ряд коэффициенты которого заданы; положим г = у (t -\- Тогда можно выразить /(г) через <р(/) /(г) = ф@ + Ф(*-1). F.20) Для того чтобы определить аппроксимацию Паде—Чебышёва типа [LM ф /() й П Д [L/M [L/M о рд арксц дебышёва типа для функции /(г), найдем сначала аппроксимацию Паде для ср(?). Пусть 2 ««" F-21) 2 1=0 344 Гл. 1. Обобщения аппроксимаций Паде Теперь, имея в виду F.20), вводим функцию 1. М L М S«/" S м-'+2°''-'2 1=0 ;' =0 i =0 / =0 м 1=0 2 м 2« 1=0 L Ж, L 2 i=0 /. s i=0 5? + м I' M 2 1=0 M ж! i/=0 M -2 (=1 2 /=0 M 2 2 ( = xrf»/7 M 2 p. 1=0 «lp/ ( i -! 2f /=0 i- i 2i i /=0 ti-J+ti-i) \ (- M (г) 3,-Р/^-/(г) (г) ¦7Г-- /« v F-22) 2 2^.w{2 (г=0 i( = * Мы видим, что при L^Af функция r(L/MJ(z), определенная согласно F.22), является рациональной функцией типа [L/M]. Таким образом, при L^M соотношения F.19), F .20) и F.21) формально опре- определяют некоторую рациональную аппроксимацию rlLlM\z) для дан- данного ряда по многочленам Чебышёва. Рассмотрим теперь другие типы разложений. Обсуждавшиеся выше «cross-multiplied» и «properly-expended» схемы аппрок- аппроксимации рядов по многочленам Чебышёва легко могут быть модифи- модифицированы на случай более общих ортогональных рядов с помощью правила умножения Pi(z)P;(z)= 2 4'" Л/>*(*) * = I f - / I для общих ортогональных многочленов. Рассмотрим следующее естественное применение метода Грэгга и Джонсона к случаю рядов Фурье и Лорана. Аппроксимации Фурье — Паде и т. д. Пусть дан формальный тригонометрический ряд Р Ф) = 2' (a* cos kQ + bk sin Щ F.23) it =0 § 1.6. Аппроксимации Паде — Чебышёва, Паде — Фурье 345 с вещественными коэффициентами ah, bk и требуется найти рацио- рациональную аппроксимацию для F (9). Один из наиболее простых подходов состоит в следующем. Положим ck = ak — ibkz = elb и f(e) = /(z) = Re 2 ckz* F-24) (ср. F.18)). Теперь рациональную аппроксимацию для F@) можно определить равенством l м Полагая РШЩ (г)= 2 p,zJ, QlL'M](z)= 2 QiZJ, z = eiQ, получим /=0 ' /=0 другую форму записи: 1 м 2 2 {Re (P/lb) cos У — ft) 9 — Im (p/-0? Упражнение 3. Проверить F.8). Упражнение 4. Исследовать связь между схемой аппроксимаций Грэгга — Джонсона F.18) — F.24) и конструкцией аппроксимаций Бейкера — Гаммеля при Глава 2. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ § 2.1. Общий метод и конечномерные ядра Рассмотрим линейное неоднородное интегральное уравнение вида ь f(x) = g(x) + l\A(x, y)f(y)dy. A.1) а Такие уравнения называют иногда уравнениями Фредгольма вто- второго рода. Итерационный метод решения A.1) приводит к разло- разложению Лиувилля — Неймана ь f(x) = g(x) + k^A(x, y)g(y)dy + а Ь Ь + к*\А(х, yl)lA(yl,y)g(y)dydyl+.... A.2) а а Разложение A.2) формально удовлетворяет A.1) и в случае равно- равномерной сходимости дает решение этого уравнения. Часто интерес представляет не само решение f(x), а величины вида <.h\f>=\h*{x)f{x)dx, A.3) ч для которых в соответствии с A.2) имеем ь ъ ь = J Л*(х)g(х) dx + к J J h*(х) А (х, у) g(y) dxdy + а b Ь Ь *{x)A(x, Уг)А{Уь y)g(y)dxdydyi+.... A.4) Детальное обсуждение вопросов сходимости мы оставляем до § 2.2. § 2.1. Общий метод и конечномерные ядра 347 Ряд A.4) является степенным рядом по параметру Я = co + XCl + k\+..., A.5) где ь ь ь а а сп=\\ ¦¦¦ \h*\n^A[yv yt)A(yt, у,). ¦¦A(yn_uyn)g{yn)dyi ..,.dyn. а A.6) Если все коэффициенты сп из A.6) существуют, то мы можем при- применить для изучения этого ряда метод аппроксимаций Паде. Таким образом, применение аппроксимаций Паде для решения интеграль- интегральных уравнений имеет очень простую основу: с помощью итерацион- итерационного метода решение уравнения записывается в виде ряда, а затем аппроксимации Паде применяются для изучения этого ряда. В не- некоторых обстоятельствах сходимость метода Паде может быть до- доказана; практически мы не знаем ни одного случая, когда при пра- правильном применении аппроксимаций Паде не удалось бы получить решение естественного интегрального уравнения. Теперь мы рассмотрим один важный, хотя и очень частный класс ядер, которые называются конечномерными; они имеют вид А(х, y)=^Xj{x)Yj{y). A.7) Мы будем считать, что п — наименьшее число, при котором воз- возможно представление A.7); это позволит в дальнейшем избежать некоторых непринципиальных трудностей. Конечномерные ядра важны, потому что уравнение A.1) с таким ядром имеет точное ре- решение, которое в значительной мере проливает свет на природу ре- решения A.1) в случае общих ядер. Найдем явный вид решения уравнения A.1) с конечномерным ядром и покажем, что аппроксимации Паде дают в этом случае точ- точный результат. Подставляя A.7) в A.1), получаем Xf//(), A.8) где b l, / = 1. 2 п. A.9) 348 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой Пусть b gj=\Y{(x)g(x)dx, i=l,2 п, A.10) а hi^\baXi{x)h*{x)dx, « = 1,2 п A.11) *. '- / = 1- 2, .... л. A.12) Равенства A.9)—A.12) определяют базисные векторы f, g и h и матрицу D, которые нам сейчас необходимы. Умножая A.8) на Уi(x) и интегрируя, находим, что т. е. f^g + XDf. Таким образом, f = (/ — XD)~2g при условии, что матрица /—№ обратима. Подставляя эту формулу в A.8), получим % [()g],X,(x) A.13) и, следовательно, ^j 2 h{[(I — kD) M; ,gj. A.14) i = i / = l Таким образом, формула A.14) представляет решение в обозначе- обозначениях A.10) — A.12). Существование обратной матрицы (/—XD)'1 здесь предполагается (во всяком случае, при малых к это предполо- предположение выполняется), так что правая часть A.14) допускает разло- разложение в сходящийся степенной ряд. Теперь покажем, что правая часть A.14) представляет собой рациональную функцию от X. В са- самом деле, мы можем представить матрицу (/—Ш) в виде. A ш) — det{J_XD) , где adj A — матрица, транспонированная по отношению к матрице алгебраических дополнений для А. С учетом этого формулу A.14) можно записать в виде где М(к) и D(k) — обычные полиномы степени га. В частности [Chisholm, 1963], любая аппроксимация Паде для ряда A.14) при U М^ совпадает с левой частью A.14): см. теорему 1.1.4.4. § 2.2. Интегральные уравнения с компактными ядрами 349 Кроме того, отсюда естественным образом вытекает, что для реше- решения интегральных уравнений предпочтительнее использовать ди- диагональные аппроксимации Паде. Важным и полезным результатом этого параграфа является тот факт, что в случае конечномерных ядер диагональные аппроксима- аппроксимации Паде для решения ih\f) уравнения A.1) сходятся к этому реше- решению. Более общо в случае конечномерных ядер последовательность аппроксимаций Паде [L/M], соответствующих разложению A.4) для ih\f), сходится к {h\f) при условии, что a; более того, для ядер размерности п все аппроксимации Паде [ЫМ\ для (h\f) совпадают с (h\f) при min(L, M)^n. Вопросы сходимости мы оставляем до следующего параграфа; в конечномерном случае, когда имеется явный вид решения, эти вопросы вряд ли могут вызвать затруднения. Упражнение I. Решить интегральное уравнение (i) с помощью равенства A.8), (и) с помощью аппроксимаций Паде. Упражнение 2. Решить интегральное уравнение A.1) с А (х, у)=\- Обратить внимание на кажущееся расхождение с A.15), касающееся степени N (к). § 2.2. Аппроксимации Паде и интегральные уравнения с компактными ядрами В предыдущем параграфе мы рассмотрели применение аппрокси- аппроксимаций Паде для решения интегральных уравнений; следуя историчес- историческому подходу, мы остановились подробнее на уравнениях с конечно- конечномерными ядрами. В этом параграфе содержится изложение ряда ре- результатов, относящихся к теории интегральных уравнений, и обсуж- обсуждение их связи с теорией аппроксимаций Паде. Эта тема содержит две основные части: доказательство утверждения о том, что функ- функция ih\f) из A.4) является мероморфной функцией от к, и обсужде- обсуждение способа выбора последовательности аппроксимаций Паде, кото- пая сходилась бы к такой функции. Если какие-либо специальные свойства уравнения A.1) дают дополнительную информацию, ка- касающуюся ih/f) (например, (h\f) может быть стильтьесовской функ- функцией), то могут оказаться применимыми методы § 2.4, которые по- позволяют сделать более сильные выводы. Теперь мы рассмотрим 350 Гл. 2. Связь с интегральными уравнениями и квантовой механикой общее интегральное уравнений вида \(x, y)f(y)dy B.1) а и его решение в форме ь =\h*(x)f{x)dx B.2) а (как в начале § 2). Предварительно вспомним некоторые понятия, относящиеся к теории гильбертовых пространств. Гильбертово про- пространство Ж — это линейное пространство с элементами /, g, h, . . . (мы не ассоциируем их пока с функциями /, g, h, фигурирую- фигурирующими в B.1) и B.2)), включающее нулевой элемент 0. Для каждой пары элементов определено скалярное произведение (fig), удовлет- удовлетворяющее обычным условиям, в частности tf\g) — (glf) *. С помощью скалярного произведения каждому элементу сопоставляется норма 11/11 = (/1/I/2. Каждая последовательность Коши элементов из Ж сходится к некоторому предельному элементу, который также при- принадлежит Ж. Первым важным линейным пространством, которое используется ниже, является пространство % la, b] функций, непрерывных на замкнутом интервале [а, Ь]. Скалярное произведение определим формулой ь *=lh*(x)g(x)dx. B.3) % [а, Ь] не является гильбертовым пространством, поскольку это пространство не является полным. Это означает, что последова- последовательность Коши в смысле нормы, порожденной скалярным произ- произведением B.3) функций из % [а, Ь], может сходиться к разрывной функции (например, к ступенчатой). Предположим сейчас, что функция g(x) в B.1) принадлежит % [а, Ь] и ядро А (х, у) непре- непрерывно по совокупности переменных х, у?[а, Ь]. В силу теоремы Вейерштрасса при любом е>0 существует полином SN(x, у), степень Af которого зависит от е, такой что \SN(x, y) — A(x, у)\<г при всех х, у 6 [а, Ь]. Тогда остаток Т (х, у), определяемый равенством А(х, у) = >„(*. У) + Т(х, у), B.4) удовлетворяет условию ЦТЦо, <е. Этого условия достаточно, чтобы утверждать, что оператор A— А.7')-1 = 1+М'-г -^2Г?-1 ... B.5) жүктеу/скачать 343 Kb. Достарыңызбен бөлісу: