Қабылдаған: Қасқатаева Б
жүктеу/скачать 134,94 Kb.
|
ММОК211. МӨЖ5 1-ТОПША.
| 1-мысал: 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер мініп, жоғары көтерілді. Бұлардың әрқайсысы лифттен әртүрлі қабаттарда шығуы ықтималдылығы қандай?
Шешуі: Мұнда -ке тең, себебі жолаушылардың түсуі мүмкін 4 қабатты (4 элементтен тұратын жиынды) үш адамға тағайындап беру қажет (яғни 4-тен 3 бойынша қайталанбалы орналастырулар). Ал -ке тең, себебі 4 элементті (қабатты) 3 орынға (қызметкерлерге) қайталанбайтындай етіп орналастыру қажет. Сонымен, 2-мысал: Бес карточкаға бір-бірден а,й,қ,с,ы әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «қайыс» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай? Шешуі: Барлық мүмкін нәтижелер саны 5 элементтен тұратын жиынның алмастырулары санына тең: Ал бізге қолайлы нәтижелер саны біреу ғана m=1. Сонда 3-мысалы: Сынаптарға ағылшын тілін оқитын бір топта 12 оқушы бар. Олардың туған күндері әр түрлі айларға түсуі ықтималдығын табу керек. Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар санына тең; . Ал қолайлы жағдайлар саны 12 элементтен алынған барлық орналастырулар санына тең: 4-мысал: Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан кездейсоқ 4 қолғап алынды. Алынған қолғаптар арасында өзара пар құрайтын қолғаптардың болмауы ықтималдығы қандай? Шешуі: 20 қолғаптың ішінен төртеуін түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал бізге қолайлы жағдайлар саны -ке тең. Себебі қолғаптардың 10 парынан 4 сыңарын түрлі тәсілмен аламыз, ал әр пардан бір сыңарын 2 түрлі тәсілмен ала аламыз, яғни 4 сыңарды 2*2*2*2=24 түрлі тәсілмен аламыз. Сонымен 5-мысал: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет алынды. Алынған суретер ішінде бізге қажетті суреттің бар болу ықтималдығын анықтайық. Шешуі: 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал егер алынған 10100 суреттің ішінде бізге қажеттісі бар болса, онда бұлардың қалған 9-ы бізге қажетсіз. Онда осы қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан . Онда Қорыта айтқанда: Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953). Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты. Р.Мизес «Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан»,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан. Қазіргі ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт болуда. Оларға: физика, геодезия, өлшеу теориясы және т.с.с. жаады. Кейінгі кезде ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы мен оқыту теориясы, т.б. ғылымда да қолдана бастады. Одан басқа ықтималдық әдістерінің негізінде ықтималдық теориясынан шыққан жаңа ғылымдар қатары пайда болуда. Бұлар- ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау, тәжірибені жоспарлау. Математикалық статистика — математиканың бір саласы, бақылау немесе өлшеу арқылы анықталып, сандар түрінде тізілген деректерді жүйеге келтіру, өңдеу және солар бойынша тиісті ғылыми және практикалық қорытындылар шығару жайындағы ғылым. Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады. Есеп-1
Шешуі:
Есеп-2 Математика тестінде 9-дан астам есепті дұрыс шешетін студенттің ықтималдығы 0,67 құрайды. 8-ден астам есепті дұрыс шешудің ықтималдығы 0,73 құрайды. U дәл 9 есепті дұрыс шешетіндігінің ықтималдығын табыңыз. Шешуі: Егер сандық сызықты елестетіп, оған 8 және 9-тармақтарды белгілесек, онда «Y. дәл 9 есепті дұрыс шешеді »деген шартқа енгізілген« В. 8-ден астам есепті дұрыс шешеді », бірақ« В. 9-дан астам мәселені дұрыс шешеді ». Алайда, «В. 9-дан астам есепті дұрыс шешеді »деген« В. 8-ден астам мәселені дұрыс шешеді ». Сонымен, егер оқиғаларды белгілесек: «В. дәл 9 мәселені дұрыс шешеді »- А,« Ы. 8-ден астам мәселені дұрыс шешеді »- В арқылы,« У. «С» арқылы 9-дан астам мәселені дұрыс шешеді. Бұл шешім келесідей болады: Жауап: 0,06. Есеп-3 Геометрия емтиханында студент тізімнен бір сұрақ алады емтихан сұрақтары. Бұл сызылған дөңгелек сұрақ болу ықтималдығы 0,2. Бұл параллелограмм сұрағы болу ықтималдығы 0,15. Бұл екі тақырыпқа бір мезгілде қатысты сұрақтар жоқ. Студенттің емтиханда осы екі тақырыптың біреуі бойынша сұрақ алу ықтималдығын табыңыз. Шешуі: Екі үйлесімсіз оқиғаның қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең: 0,2 + 0,15 = 0,35. Жауабы: 0,35. Есеп-4 Дүкенде екі төлем автоматы бар. Олардың әрқайсысы басқа автоматқа қарамастан 0,05 ықтималдықпен ақаулы болуы мүмкін. Ең болмағанда бір автоматтың жұмысқа жарамды болу ықтималдығын табыңыз. Шешуі: Екі автоматтың да ақаулы болу ықтималдығын табыңыз. Бұл оқиғалар тәуелсіз, олардың туындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: 0,05 0,05 = 0,0025. Кем дегенде бір автоматтың қызмет көрсету мүмкіндігінен тұратын оқиға керісінше. Демек, оның ықтималдығы 1 − 0,0025 = 0,9975. Жауабы: 0,9975. Есеп-5 1000 шамның әрбір партиясында орташа есеппен 20 ақаулы шамдар. Топтамадан кездейсоқ таңдалған шамның жақсы болу ықтималдығын табыңыз. Шешуі: Жұмыс істейтін шамдар саны 1000-20=980. Содан кейін партиядан кездейсоқ алынған шамның жұмысқа жарамды болу ықтималдығы: Жауабы: 0,98. Есеп-6 Үш бірдей урна бар. Алғашқы ақ шарларда және қара; екіншісінде - ақ және қара; үшіншіде тек ақ шарлар. Біреу кездейсоқ урналардың біріне жақындап, одан допты тартады. Бұл шардың ақ болу ықтималдығын табыңыз. Шешуі: Оқиға ақ шардың көрінісі болсын. Біз гипотезаларды тұжырымдаймыз: – бірінші урнаны таңдау; – екінші урнаны таңдау; – үшінші урнаны таңдау; , , , ; Актаева А.Қ . ММОК211. Математикада анықталған шарттарда саны шексіз рет қайталана алатын қандай да болмасын белгілі бір оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дәрежесінің сандық сипаттамасы оқиғалардың тең мүмкіндігіне (тең ықтималдығына) сүйенеді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формалды) анықтама беруді қажет етпейді. Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын (жүйесін) құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін (мүмкін болатын) нәтижелерінің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны (не жағдайлар) деп атайды. Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың (жағдайлардың) біреуінен бір А оқиғасының пайда болуы мүмкін, яғни басқаша айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі А1, А3, А5, пайда болуынан А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі А1, А3, А5 үш оқиғаға (жағдайға) бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі оқиғалар саны (ол 3-ке тең) осы А оқиғасына қолайлы жағдайлар болып табылады. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндерді осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдай деп атайды. А оқиғасына қолайлы жағдайлар санының (м) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санына (н) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және ол былай жазылады: . Ықтималдықтың бұл анықтамасын классик. анықтама деп атайды. Оны алғаш рет П.С. Лаплас берген. Ықтималдықтың бұдан басқа үлкен сандар заңына сүйенген анықтамасы да бар. Ықтималдық теориясы дегеніміз- жаппай кездейсоқ құбылыстардың математикалық моделі. Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарын дүниеге келтірілген есептер сақтандыру істерін дамытуға байланысты пайда болған. Лоторея ойындары мен сақтандыру компанияларының өмірге келуі ықтималдық теориясының дамуына ықпал жасады. Күнделікті тұрмысымызда көптеген құбылыстар мен олардың өзгерістері кездеседі, солар оқиғаның тууына себепші болады. Мысалы, металл теңгені жоғары қарай лақтырсақ, ол жоғары көтеріліп барып, жерге түседі. Осы жасаған әрекетіміз сынақ немесе тәжірибе деп аталады. Жердегі металл теңгенің «елтаңба» немесе «цифр» жағының жоғары жатуы- оқиға болады. Сақамен тізілген асықтарды атқанымыз- сынақ болады. Сақаның тізілген асықтарға тиюі немесе мүлт кетуі оқиға болады. Бұл мысалдан оқиға сынақтың нәтижесі екенін, ал оқиға туғызу үшін сынақ жүргізу керек екенін аңғарамыз. Оқиғаларды латын алфавиті бас әріптерін пайдаланып белгілейміз: А,В,С,... .Егер А оқиғасы әр сынақта сөзсіз пайда болса, онда ол ақиқат оқиға деп аталады. Сынақ кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес деп аталады. Сынақ кезінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады. Адам өмірінің практикалық қажеттілігі ықтималдық негізі бар жағдайларда шешім қабылдау мен кездейсоқ факторлардың әсер етуіне талдау жасаумен байланысты. Өмір кездейсоқтыққа толы. Кез келген кездейсоқтыққа дайын болу үшін кез келген адамда мәліметтерді талдаудың негізгі әдістері, ықтималдық заңдылықтары және олардың ғылым мен техникадағы, сол сияқты өнеркәсіп құрудағы рөлі туралы түсінік болуы қажет. Қазіргі нарықтық экономика жағдайында әрбір адам жас кезінен статистика мәліметтерін меңгергені дұрыс. Күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаны бағалау нәтижесінде, дәл, нақты мағынасына мән берместен, «ықтималдық» ұғымын қолданып жүрміз. Мысалы, «50 пайыз ықтималдыпен», « ықтималдыпен» немесе «100-дің 50 жағдайы», «50-де 50», «екіден бір мүмкіндік» деген сөз тіркестерін толық түсініп, жайбарақат қабылдаймыз. Тиынды лақтырмай-ақ, елтаңба жағы мен цифрдың түссу мүмкіндігі бірдей, ал оқиға нәтижесі санына тең екеніне келісеміз. Мысалы, егер тиынды лақтыра отырып, әрбір лақтырудан кейін, айталық 800 рет лақтарылғаннан кейінгі нәтижені тіркеген кезде, елтаңба жағы 402 рет түскен болса, онда түсудің салыстырмалы жиілігін аламыз. Әрине, ол дәл емес, бірақ оған өте жақын. Егер әрі қарай лақтыру (сынақ) санын көбейтсек, онда 402 санына жақынырақ санды алуға болар еді. Мұндай санның ықтимал болуы мүмкін. Сонымен, ықтималдық дегеніміз ─ белгілі бір анықталған жағдайда қандай да бір кездейсоқ оқиғаның пайда болу дәрежесінің сандық сипаттамасы. Күнделікті өмірде бұл ұғымды жиі қолданамыз. Мысалы, бүгін мүмкін, кешігермін; ол мүмкін, бос емес шығар; жиналыстың болмауы мүмкін секілді. Ықтималдық теориясы дегеніміз ─ кездейсоқ жағдайлардың пайда болу заңдылығын зерттейтін математикалық бөлігі. Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз ─ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін білдіретін сан. Кездейсоқ оқиғаның бір жолғы тәжірибеде пайда болатынын, не пайда болмайтынын алдын ала білуге мүкін болмағанымен, қайта-қайта жасалған тәжірибелер барысында, оның пайда болуының белгілі бір заңдылығы байқалады. Белгілі жағдайда қайта-қайта n рет тәжірибе жасағанда А оқиғасы m рет пайда болса, онда қатынасы А оқиғасы пайда болуының салыстырмалы жиілігі деп аталады. Жоғарыдағы 5 бидай дәнін 5 тәжірибе, яғни m=4 деп ұғамыз. Сонда оқиғаның пайда болу жиілігі немесе 80% болады. Сол тұрақты саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады да Р(А) деп белгіленеді. А және В оқиғаларының қосындысы деп А немесе В оқиғаларының кем дегенде біреуінің орындалатынын білдіретін оқиғаны айтады және оны А+В арқылы белгілейді. Осыдан А+В-ның құрамына А-ға не В-ға тиісті элементтар оқиғалар енеді. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда «жұп ұпай түсуі» мен «үштен кем ұпай түсуін» білдіретін оқиғаларды қосу қажет болсын. Онда және В={А1,А2} оқиғаларын қосамыз: А+В={ А2, А4, А6}. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А және В оқиғаларының қатар орындалуын білдіретін оқиғаны айтады және оны А*В арқылы белгілейді. Сонымен, А*В-ның құрамына А-ға және В-ға да тиісті элементар оқиғалар енеді. Мысалы, және В={А1,А2} оқиғалары үшін А*В={ А2} болады. А және В оқиғаларының айырмасы деп тек А ғана орындалып, В-ның орындалмайтынын білдіретін оқиғаны айтады және оны А-В арқылы белгілейді. Осыдан А-В құрамына тек А-ға ғана енетін және В-ға тиісті емес элементар оқиғалар енеді. Мысалы, және В={А1,А2} оқиғалары үшін А-В={ А2, А4, А6} теңдіктері орындалады. Егер А1, А2,...Ап элементар оқиғалары үшін А1+А2+...+Ап=U және Ai*Aj =Ø (i≠j) шарттары орындалса, онда бұл оқиғаларды элементар оқиғалардың толық тобы (группасы) деп аталады. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда А1,А2, А3, А4, А5, А6 элементар оқиғалары толық топ құрайды. Шынында да, ойын сүйегін тастағанда алты ұпайдың бірі түсері ақиқат, яғни А1+А2+ А3+ А4+ А5+ А6=U қосындысы- ақиқат оқиға. Сонымен қатар, бір тастағанда екі түрлі ұпай түсуі мүмкін емес, яғни Ai*Aj =Ø (i≠j)- жалған оқиға. Есептер:
Шешуі: Терулер санын есептеу формуласымен шығарамыз. n=25, m=3 Жауабы:2300 2. Дүкенге 30 тоңазытқыш түсті, оның бесеуінде ақау бар. Одан кездейсоқ бір тоңазытқыш алынды. Алынған тоңазытқыш ақау болмау ықтималдығын табу керек. Шешуі: А- тоңазытқыш ақау емес. Р(А)=m/n=25/30=5/6. 3. Қорапта тұрпаты бірдей және диаметрлері әртүрлі алты бұранда жатыр. Қораптан бұрандалар біртіңдеп алынды. Сонда бұрандалар өсу ретімен шығу ықтималдығын тап. Шешуі: А - бұрандалар өсу ретімен шықты. n= 6! =720, m = 1, P (А) =1/720 4. Айына бір рет сапа комиссиясы ішінде екі жиһаз дүкені бар қаладағы отыз дүкеннің екеуін тексереді. Сонда бір ай ішінде екі жиһаз дүкені тексерілу ықтималдығын тап. Шешуі: А-екі жиһаз дүкені тексерілді. 5. Станцияға түрлі өнім салынған 10 вагон келді. Вагондар бірден онға дейінгі сандармен нөмірленген. Тексеруге одан кездейсоқ 5 вагон алынды. Алынған вагондар ішінде екі және бес сандарымен нөмірленген вагондар болу ықтималдығын тап. Шешуі: А - бақылауға алынған вагондар ішінде 2 және 5 сандарымен нөмірленген вагондар бар. 6. Екі сатып алушы бір-бірінен тәуелсіз бұйым сатып алады. Бірінші сатып алушының сатып алу ықтималдығы 0,8, екіншінің ықтималдығы - 0,6. Кездейсоқ шама Х – сатып алушылардың сатып алу саны. Х кездейсоқ шамасының үлестірім заңын жаз. Шешуі: Бұйымды екі сатып алушы немесе бір сатып алушы алады немесе бірдебір бұйым сатып алынбайды. Сондықтан х1=2, х2=1, х3=0. А – бірінші сатып алушы бұйым сатып алды, В - екінші сатып алушы бұйым сатып алды. Сонда х1 мәнінің ықтималдығы А·В оқиғасының ықтималдығы түрінде табылады. Ал А мен В тәуелсіз оқиғалар болғандықтан р1 = Р(Х = 2) = Р(А·В) = Р(А)·Р(В) = 0,8 ·0,6 = 0,48. х2 мәнінің ықтималдығы АВ немесе АВ оқиғаларының ықтималдығы түрінде есептеледі, яғни р2 = Р(Х = 1) = Р( АВ + АВ ). АВ және АВ үйлесімсіз оқиғалар болатынын ескерсек р2 = Р( АВ ) + Р( АВ ) = Р(А)·Р( В ) + Р( А )·Р(В)= 0,8 ·0,4+0,2·0,6 = 0,44. х3 мәнінің ықтималдығы АВ оқиғасының ықтималдығына тең болады; р3 = Р(Х = 0) = Р( АВ ) = Р( А )·Р( В ) = 0,2 ·0,4 = 0,08
жүктеу/скачать 134,94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|