Александр Альбов. От абака до кубита
жүктеу/скачать 403,91 Kb.
|
|
Евклид стал первым математиком Александрийской школы. Его историческая заслуга состоит в том, что в тринадцати книгах своих «Начал» он собрал достижения предшественников — Фалеса, Пифагора, Демокрита, Гиппократа, Евдокса и других, упорядочил их и привёл геометрические знания прошлого в стройную систему. Это сделано им столь тщательно и искусно, что на протяжении двух с лишним тысяч лет «Начала» остаются лучшим изложением элементарной геометрии. Многие учебники являются лишь переработкой этого классического трактата. Славянская нумерация. Славянская кириллическая нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой ионийской записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию (рис. 3). 
Рис. 3. Славянская нумерация Запись числа, использованная славянами, аддитивная, то есть в ней используется только сложение: В России славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления (арабские цифры). В «Арифметике» Магницкого (1703) номера листов даны ещё в славянской нумерации, что естественно, ведь новым, «арабским», цифрам эта книга только учила. Рим. Для расчётов римляне использовали абак — металлическую или деревянную пластину с желобками, в которых размещались камешки. Эти камешки стали самым большим вкладом Рима в математику — на латыни «камень» — «calx», а «маленький камешек» — «calculus». От этого слова произошли термины «калькуляция» и «калькулятор». Как и греки, римляне использовали десятичную непозиционную систему, которую, вероятно, позаимствовали у этрусков. В этой нумерации используется всего семь знаков: 
Порядок записи — слева направо, от старших разрядов к младшим (например, сотни-десятки-единицы). Цифра, которая стоит справа от основной, увеличивает её, а стоящая слева — уменьшает. Например, IL = 49, LI = 51. Рассмотрим число CXLVIII. Первой будет C = 100, но следующую цифру X = 10 нельзя добавлять к сотне, так как за X стоит большая цифра L = 50, и это значит, что X нужно вычесть из L и получить 40. В последней совокупности V больше, чем стоящее справа III, и к пятёрке нужно добавить тройку. Получаем: CXLVIII = 148. Индия и арабские страны. Самым важным вкладом древних индийских математиков является система нумерации (включающая ноль), которую мы теперь называем арабской. Центром научной мысли стран ислама долгое время являлся Багдад, где халиф аль-Мамун учредил в начале IX века «Дом мудрости». В 827 году по его повелению (и при его финансировании) были проведены градусные измерения дуги меридиана в долине Синджар, осуществлён перевод труда Птолемея на арабский язык («Альмагест»), благодаря чему этот труд дошёл до Европы. В 829 году в Багдаде основана астрономическая обсерватория. Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми много лет возглавлял «Дом мудрости» и создал здесь труд своей жизни «Хисаб аль-джабр ва-ль мукабала». Арабский оригинал этой книги утрачен, но имеется латинский перевод XII века «Algorizmi de numero Indozum» («Об индийском числе, сочинение Алгоризми»). В других переводах аль-Хорезми именовался Algorismus, и в результате в математику вошёл термин «алгоритм» (латинизированное имя автора), а «аль-джабр» превратилось в «алгебру». Китай. Древнейшая китайская счётная система датируется IV веком до н. э. Счёт производился с помощью бамбуковых палочек «цзе», или «суаньчоу», которые располагались на дощечке, затем этот способ заменил абак. Палочки соответствовали цифрам от 1 до 9, причём имелись два возможных варианта их расположения, вертикальный и горизонтальный (рис. 4). 
Рис. 4. Китай. Вертикальное и горизонтальное расположение счётных палочек для цифр от 1 до 9 Вертикальный вариант был предназначен для указания единиц, сотен и т. д., горизонтальный — для десятков, тысяч и т. д., так что в представлении числа в виде набора цифр эти способы расположения чередовались. Отсутствие значимой цифры (т.е. ноль) обозначалось пустым местом. Число 4508 в данной системе счёта выглядело так:
Со II столетия н. э. цифры от 1 до 9 обозначались иероглифами: 
Для обозначения порядка числа использовались особые иероглифы: 
Была разработана своеобразная запись чисел с помощью цифр от 1 до 9 с указанием их порядков — иероглиф порядка следовал за цифрой. Фактически это уже десятичная позиционная система — например, число 10 563 представлялось в ней так: 
В начале мы видим горизонтальную чёрточку, цифру 1, за которой идет знак порядка «десять тысяч»; затем следует иероглиф для цифры 5 и знак порядка «сотня»; затем иероглиф для цифры 6 и знак порядка «десяток»; затем иероглиф для цифры 3 (без знака порядка). Это эквивалентно записи: 1 х 10000 + 5 х 100 + 6 х 10 + 3 = 10 563. В 1983 г. китайские археологи вскрыли захоронение, которое датируется 186 г. до н.э. В нём были обнаружены 190 бамбуковых полосок с математическими задачами. После реставрации этой находки появилась возможность ознакомиться с текстом «Математики в девяти книгах». Среди задач, приведённых в них, есть связанные с решением уравнений. Иногда такие задачи формулируются в виде забавных историй. Например, имеется 5 воробьёв и 6 ласточек, их взвесили на весах. Вес всех воробьёв тяжелее веса всех ласточек. Если переместить одну ласточку и одного воробья, то вес будет одинаковым Общий вес ласточек и воробьёв— один цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей. Если обозначить вес воробья через х, а вес ласточки — через у, задача сведётся к решению линейной системы: 5х + 6у = 1 4х+ у = х + 5у Отсюда х = 2/19 цзиня, у = 3/38 цзиня. Эта задача демонстрирует, что в I тысячелетии до н.э. китайские математики умели решать системы линейных уравнений и работать с дробями. Индейцы Майя. Среди трёх великих индейских цивилизаций, которые испанцы застали в Новом Свете, майя безусловно были самыми искусными математиками. Система счисления майя была позиционной двадцатеричной. Цифры у майя обозначались самым простым способом: точки (единицы) и тире (пятёрки). Единственным сложным для изображения знаком, входившим в нумерацию, был ноль, похожий на рисунок раковины (рис. 5). 
Рис. 5. Цифры майя Числа майя записывались не горизонтально, а вертикально, как бы строя башенку из этажей-цифр. Например, число 359 изображалось в два этажа:
На верхнем этаже две точки и три линии — цифра 17, означающая в этой позиции единицы высшего разряда — семнадцать двадцаток (340), а на нижнем этаже — цифра 19. 17 * 20 + 19 = 359
Самым известным из них был римский государственный деятель Аниций Манлий Северин Боэций (480–524), автор «Основ арифметики» и других математических трактатов. Следующая значимая фигура на небосклоне европейской науки появилась спустя ещё двести лет. Леонардо Пизанский (1170–1250), прозванный Фибоначчи («сын Боначчо»), происходил из рода купцов — его семья обитала в Алжире. В качестве купца Фибоначчи странствовал по Востоку, основательно изучив арабскую математику. Возвратившись, он написал свою знаменитую «Книгу абака» («Liber Abaci», 1202), а затем — «Практика геометрии» («Practica geometriae», 1220), в которых собраны знания, полученные им во время путешествий. Фибоначчи являлся убеждённым сторонником использования арабских цифр, и его «Книга абака» стала первым в Европе математическим трактатом, где изложение ведётся с помощью этой новой счётной системы (подробнее см. Альфред Реньи. Числа Фибоначчи). Лука Пачоли (1445–1517) составил энциклопедический труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», содержащий полное изложение известных к тому времени математических дисциплин. Книга была опубликована в Венеции в 1494 г. Пачоли написал её не на латыни, а на итальянском языке, с использованием арабских цифр. Это окончательно ввело в оборот индийско-арабскую счётную систему, ибо Пачоли пользовался среди математиков огромным авторитетом. Пачоли также первым изложил основы бухгалтерской двойной записи (см. Лука Пачоли. Трактат о счетах и записях). В трактате Пачоли рассматривались уравнения второй и третьей степеней, но относительно последних его вывод был пессимистичен. Он писал, что для решения кубических уравнений «искусством алгебры ещё не дан способ». Сципион дель Ферро, профессор университета в Болонье, нашёл решение, но не опубликовал его. И только в 1539 году секрет дель Ферро узнал миланский профессор Джероламо Кардано, который опубликовал решение в книге «Великое искусство» (см. Джироламо Кардано. О моей жизни). На рубеже XVI и XVII веков появился исключительно важный метод, упростивший систему вычислений. Это были логарифмы, которые ввёл в обиход Джон Непер. Это выдающееся достижение можно считать границей, разделяющей математику Средневековья и математику Нового времени, первыми героями которой стали Галилей, Декарт, Паскаль, Ньютон и Лейбниц.
жүктеу/скачать 403,91 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла — горизонтальные чёрточки над числами.
