Александр Альбов. От абака до кубита

Рис. 3. Славянская нумерация

Запись числа, использованная славянами, аддитивная, то есть в ней используется только сложение: Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла — горизонтальные чёрточки над числами.

В России славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления (арабские цифры). В «Арифметике» Магницкого (1703) номера листов даны ещё в славянской нумерации, что естественно, ведь новым, «арабским», цифрам эта книга только учила.

Порядок записи — слева направо, от старших разрядов к младшим (например, сотни-десятки-единицы). Цифра, которая стоит справа от основной, увеличивает её, а стоящая слева — уменьшает. Например, IL = 49, LI = 51. Рассмотрим число CXLVIII. Первой будет C = 100, но следующую цифру X = 10 нельзя добавлять к сотне, так как за X стоит большая цифра L = 50, и это значит, что X нужно вычесть из L и получить 40. В последней совокупности V больше, чем стоящее справа III, и к пятёрке нужно добавить тройку. Получаем: CXLVIII = 148.

Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми много лет возглавлял «Дом мудрости» и создал здесь труд своей жизни «Хисаб аль-джабр ва-ль мукабала». Арабский оригинал этой книги утрачен, но имеется латинский перевод XII века «Algorizmi de numero Indozum» («Об индийском числе, сочинение Алгоризми»). В других переводах аль-Хорезми именовался Algorismus, и в результате в математику вошёл термин «алгоритм» (латинизированное имя автора), а «аль-джабр» превратилось в «алгебру».

Рис. 4. Китай. Вертикальное и горизонтальное расположение счётных палочек для цифр от 1 до 9

Вертикальный вариант был предназначен для указания единиц, сотен и т. д., горизонтальный — для десятков, тысяч и т. д., так что в представлении числа в виде набора цифр эти способы расположения чередовались. Отсутствие значимой цифры (т.е. ноль) обозначалось пустым местом. Число 4508 в данной системе счёта выглядело так:

Со II столетия н. э. цифры от 1 до 9 обозначались иероглифами:

Для обозначения порядка числа использовались особые иероглифы:

Была разработана своеобразная запись чисел с помощью цифр от 1 до 9 с указанием их порядков — иероглиф порядка следовал за цифрой. Фактически это уже десятичная позиционная система — например, число 10 563 представлялось в ней так:

В начале мы видим горизонтальную чёрточку, цифру 1, за которой идет знак порядка «десять тысяч»; затем следует иероглиф для цифры 5 и знак порядка «сотня»; затем иероглиф для цифры 6 и знак порядка «десяток»; затем иероглиф для цифры 3 (без знака порядка). Это эквивалентно записи: 1 х 10000 + 5 х 100 + 6 х 10 + 3 = 10 563.

В 1983 г. китайские археологи вскрыли захоронение, которое датируется 186 г. до н.э. В нём были обнаружены 190 бамбуковых полосок с математическими задачами. После реставрации этой находки появилась возможность ознакомиться с текстом «Математики в девяти книгах». Среди задач, приведённых в них, есть связанные с решением уравнений. Иногда такие задачи формулируются в виде забавных историй. Например, имеется 5 воробьёв и 6 ласточек, их взвесили на весах. Вес всех воробьёв тяжелее веса всех ласточек. Если переместить одну ласточку и одного воробья, то вес будет одинаковым Общий вес ласточек и воробьёв— один цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей. Если обозначить вес воробья через х, а вес ласточки — через у, задача сведётся к решению линейной системы:

5х + 6у = 1

4х+ у = х + 5у

Отсюда х = 2/19 цзиня, у = 3/38 цзиня. Эта задача демонстрирует, что в I тысячелетии до н.э. китайские математики умели решать системы линейных уравнений и работать с дробями.

Рис. 5. Цифры майя

Числа майя записывались не горизонтально, а вертикально, как бы строя башенку из этажей-цифр. Например, число 359 изображалось в два этажа:

На верхнем этаже две точки и три линии — цифра 17, означающая в этой позиции единицы высшего разряда — семнадцать двадцаток (340), а на нижнем этаже — цифра 19.

17 * 20 + 19 = 359

Средневековая Европа. Упадок культуры и знаний в европейских странах, наступивший вслед за крушением Западной Римской империи, длился несколько веков. Первые столетия этой тёмной эры отмечены утратой культуры земледелия, резким спадом торговли и ремёсел, нескончаемыми войнами и почти полным забвением прошлых достижений. К счастью, преемственность знания поддержали арабы. Множество трактатов Александрийской и других школ было переведено на арабский язык, в мусульманских странах появились талантливые учёные, и их труды, вместе с работами Евклида, Архимеда, Диофанта и прочих греческих математиков, в должный срок стали доступны европейцам. Правда, в Европе нашлись и свои подражатели грекам.

Самым известным из них был римский государственный деятель Аниций Манлий Северин Боэций (480–524), автор «Основ арифметики» и других математических трактатов. Следующая значимая фигура на небосклоне европейской науки появилась спустя ещё двести лет. Леонардо Пизанский (1170–1250), прозванный Фибоначчи («сын Боначчо»), происходил из рода купцов — его семья обитала в Алжире. В качестве купца Фибоначчи странствовал по Востоку, основательно изучив арабскую математику. Возвратившись, он написал свою знаменитую «Книгу абака» («Liber Abaci», 1202), а затем — «Практика геометрии» («Practica geometriae», 1220), в которых собраны знания, полученные им во время путешествий. Фибоначчи являлся убеждённым сторонником использования арабских цифр, и его «Книга абака» стала первым в Европе математическим трактатом, где изложение ведётся с помощью этой новой счётной системы (подробнее см. Альфред Реньи. Числа Фибоначчи).

Лука Пачоли (1445–1517) составил энциклопедический труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», содержащий полное изложение известных к тому времени математических дисциплин. Книга была опубликована в Венеции в 1494 г. Пачоли написал её не на латыни, а на итальянском языке, с использованием арабских цифр. Это окончательно ввело в оборот индийско-арабскую счётную систему, ибо Пачоли пользовался среди математиков огромным авторитетом. Пачоли также первым изложил основы бухгалтерской двойной записи (см. Лука Пачоли. Трактат о счетах и записях).

В трактате Пачоли рассматривались уравнения второй и третьей степеней, но относительно последних его вывод был пессимистичен. Он писал, что для решения кубических уравнений «искусством алгебры ещё не дан способ». Сципион дель Ферро, профессор университета в Болонье, нашёл решение, но не опубликовал его. И только в 1539 году секрет дель Ферро узнал миланский профессор Джероламо Кардано, который опубликовал решение в книге «Великое искусство» (см. Джироламо Кардано. О моей жизни).

На рубеже XVI и XVII веков появился исключительно важный метод, упростивший систему вычислений. Это были логарифмы, которые ввёл в обиход Джон Непер. Это выдающееся достижение можно считать границей, разделяющей математику Средневековья и математику Нового времени, первыми героями которой стали Галилей, Декарт, Паскаль, Ньютон и Лейбниц.