Александр Альбов. От абака до кубита
Глава 2. Такие непростые числа
жүктеу/скачать 403,91 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Глава 3. Такие простые знаки
- Глава 4. Вычислительная техника: от абака до компьютера
Глава 2. Такие непростые числаНоль и бесконечность. По мнению немецкого историка Эберхарда Кноблоха, «лишь у индийцев впервые в истории человечества появляется ноль как математический символ, используемый в счётных операциях». В 711 году арабы вторглись в Испанию и завоевали почти всю её территорию. В 712 году они захватили часть Индии и покорили Синд — земли в низовьях Инда. Там они познакомились с принятой индийцами системой счисления и переняли её. С тех пор и стали говорить об «арабских цифрах». Проблемы, связанные с нулём, до сих пор дают о себе знать. 1 января 2000 года миллиарды людей встретили новое тысячелетие. Удивительно, как много людей не понимают, что третье тысячелетие и XXI век начались 1 января 2001 года! Бесконечность – математическое понятие, которому нет аналога в физической реальности. Математическая связь ноля и бесконечности тоже была известна индийским математикам: «Количество, делённое на ноль, становится дробью, знаменатель которой равен нолю. Эту дробь называют бесконечностью». Огромный вклад в исследование бесконечности внёс немецкий учёный Георг Кантор. Он считал, что бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком (подробнее см. Чарльз Петцольд. Читаем Тьюринга, глава 2. Иррациональные и трансцендентные числа). Знак бесконечности (∞) ввёл в 1655 году английский математик Джон Валлис.
Простыми называются числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. Евклиду принадлежит теорема, изложенная в книге IX «Начал»: существует бесконечное множество простых чисел. Доказательство укладывается в одну фразу: если бы имелось ограниченное количество простых чисел, то можно было бы их все перемножить и, прибавив единицу, получить новое число, которое с гарантией не делится ни на одно простое, что невозможно. Исторически первым расширением понятия о числе является присоединение к множеству натуральных чисел множества дробных чисел. В Древнем Риме была интересная система дробей. Она основывалась на делении единицы массы — асса. В ходу было 18 различных дробей, например, симис — половина асса; унция — двенадцатая часть асса. Кстати, и наше странное слово «скрупулёзно» происходит от римского названия 1/288 части асса — «скрупулус». Лишь со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться десятичными дробями. Как ни странно, проценты изобрели римляне, десятичной системой счёта не пользовавшиеся. Так как слова «на сто» звучали по-латыни pro centum, сотую часть и стали называть «процентом». В некоторых случаях применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые промилле (от латинского pro mille — «на тысячу», обозначается символом «‰»). В промиллях измеряют уровень солёности морской воды, уровень содержания алкоголя в крови человека, уклон железнодорожного пути. Древнегреческие математики пользовались только целыми и дробными положительными числами. Эти числа и получили название «рациональных» (от латинского ratio — отношение). Иррациональные числа были найдены в пифагорейской школе при попытке соизмерить диагональ квадрата с его стороной. Иррациональные числа нельзя выразить простой дробью. В 1545 году Джироламо Кардано предложил ввести числа «новой природы». Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения с числами отрицательными, находящимися под квадратным корнем. Рафаэль Бомбелли в своей «Алгебре» вводит последовательную теорию мнимых и комплексных чисел. Комплексные числа — числа вида x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i2 = –1). Термин «мнимые числа» ввёл в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт, а в 1777 году Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимого числа. Этот символ (i) вошёл во всеобщее употребление благодаря Карлу Фридриху Гауссу. Он же первым предложил изображать комплексное число z = a + ib точкой M(a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не точкой, а вектором OM, идущим в эту точку из начала координат. При таком толковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют такие же операции над векторами. Безусловно, самая древняя из мировых констант — число π. Так, буквой греческого алфавита «π», обозначается математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра. π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим.
Знак равенства первым применил Диофант Александрийский, но он использовал для этого букву «i» (от греческого isoс — «равный»). Знак равенства в современной форме (только значительно длиннее), в виде двух параллельных штрихов (=), ввёл английский математик Роберт Рекорд (1557). В континентальной Европе знак «=» был введён Лейбницем. Первую попытку ввести некий порядок в систему обозначения алгебраических величин предпринял Франсуа Виет. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена второй степени с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета. Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Правда, у самого Виета математическая запись алгебраических выражений всё ещё мало похожа на ту, что мы используем сейчас. Например, уравнение в современной записи х3 + bx = d Виет формулировал так: F cubus + D planum aequatur D solido. Здесь ещё, как мы видим, довольно много слов, но ясно, что они уже играют роль будущих символов. Честь придания алгебре современного вида принадлежит Рене Декарту. Он обозначил неизвестные последними буквами латинского алфавита (x, y, z), а произвольные данные величины — начальными буквами (a, b, c). Ему же принадлежит нынешняя запись степени. На рубеже XVI и XVII веков появился исключительно важный метод, упростивший систему вычислений. Это были логарифмы, которые ввёл в обиход Джон Непер, шотландский аристократ, богослов и математик-любитель, опубликовавший в 1614 году в Эдинбурге трактат «Описание удивительного канона логарифмов». С их помощью достигалось значительное упрощение вычислительных операций: умножение превращалось в сложение, деление — в вычитание, возведение в степень — в умножение, а извлечение корней — в деление. Вот иллюстрация этих замечательных свойств: log(ab) = log(a) + log(b), log(a/b) = log(a) – log(b), log(ab) = b*log(a). Но легко заметить: чтобы пользоваться этим превосходным способом – умножать, делить и возводить в степень многозначные числа, нужно сначала найти логарифмы этих операндов, а затем совершить обратное действие — по логарифму найти число-результат. Для этого нужна таблица логарифмов, вычисленных с хорошей точностью. Этой мыслью Непер поделился со своим почитателем и профессором Оксфорда Генри Бригсом, который и завершил работу после смерти Непера. Он усовершенствовал таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы ноль, а за логарифм десяти — единицу. В 1617 году Генри Бригс опубликовал первую восьмизначную таблицу логарифмов. В современных терминах логарифм — это показатель степени. Логарифм 100 по основанию 10 равен 2, так как 100 = 102. Фактически идея логарифма — идея полезного кода, которая переводит одни числа в другие. Глава 4. Вычислительная техника: от абака до компьютераВ разных странах существовало несколько видов абака: древнеегипетский (заимствованный греками), римский (рис. 6), китайский (суаньпань), японский (соробан). 
Рис. 6. Реконструкция римского абака. Романо-германский центральный музей, г. Майн, Германия. Оригинал, сделанный из бронзы, находится в Национальной библиотеке Франции, Париж На острове Саламин в 1846 г. был найден мраморный абак, предназначенный для денежных расчётов, с пометкой столбцов, указывающей на их соответствие определённому количеству монет. Длинные столбцы, если отсчитывать их справа налево, обозначали единицы, десятки, сотни, тысячи и десятки тысяч драхм, а затем — такие же разряды, но уже талантов. Короткие столбцы обозначали обол и его доли: обол, 1/2, 1/4 и 1/8 обола. Десять длинных столбцов пересекает линия; камешек, размещённый ниже линии, соответствует одной счётной единице, а размещённые выше — пяти единицам (рис. 7). Таким образом, денежная сумма, представленная на чертеже абака, составляет 302 158 драхм, 2 обола, 1/2 обола и 1/8 обола. Следует учесть, что камешек над чертой слева обозначает пять талантов, то есть триста тысяч драхм. 
Рис. 7. Чертёж абака, найденного на Соломине В средневековой Европе древний пятеричный счёт получил распространение в виде так называемого «счёта на линиях». Ряды на счётных таблицах всегда располагались горизонтально и счисление велось снизу вверх, от младших разрядов к старшим (рис. 8). 
Рис. 8. Пример сложения и вычитания при «счёте на линиях» (из книги Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел», М., Детгиз, 1954). Слева на счётном поле выложено число 356. Справа показано сложение (вверху) и вычитание (внизу) Руководства для «счёта на линиях» продолжали появляться ещё долго после того, как уже широко начал входить в употребление счёт пером, т. е. наш обычный счёт. Учебники арифметики XVI в. часто противопоставляют или сопоставляют оба способа производства арифметических действий и в тексте, и в иллюстрациях.
Следующий прорыв в технике вычислений связан с появлением аналогового счётного устройства — логарифмической линейки. После того, как было осознано значение логарифмов и появились первые их таблицы, следующий шаг сделал валлийский математик и астроном Эдмунд Гюнтер (1620). В 1654 году англичанин Роберт Биссакер предложил конструкцию прямоугольной логарифмической линейки, общий вид которой сохранился до нашего времени. Устройство состояло из трёх планок длиной около 60 см. Две внешние планки удерживались вместе металлической оправой, а третья (движок) скользила между ними. Каждой шкале на неподвижных планках соответствовала такая же на движке. Шкалы имелись на обеих сторонах линейки (рис. 9). 
Рис. 9. Шкала логарифмической линейки конца XX века Механические счётные приборы. Как научные, так и практические задачи требовали механизации вычислительных процессов. Вычислительное устройство Шиккарда позволяло работать с шестью значащими цифрами и выполнять четыре арифметических действия. Конструкция Шиккарда базировалась на системе цевочных счётчиков-колёс. С помощью таких механических элементов переносились значения разрядов — так, счётчик десятков срабатывал после полного оборота колёсика для единиц (рис. 10). 
Рис. 10. Эскиз «вычислительных часов», сделанный Вильгельмом Шиккардом в письме к своему другу Иоганну Кеплеру, 25 февраля 1624 г. Суммирующая машина, созданная Блезом Паскалем, оставила более заметный след в истории (около 1645 г.). Блез трудился над нею пять лет и с помощью лучших мастеров Руана изготовил около полусотни «счётных колёс» в разных вариантах, добился «королевских привилегий» (заменявших в те времена патент) и наладил серийное производство. Благодаря этому до наших дней дошли восемь экземпляров его устройства. Значительным продвижением вперёд стала счётная машина, созданная великим математиком Готфридом Лейбницем лет через тридцать после «паскалева колеса». Сделанные Лейбницем усовершенствования использовались в серийных счётных машинах, первая из которых была сконструирована Шарлем Ксавье Тома де Кольмаром в 1818 г. А 1822 год стал годом рождения счётного машиностроения — в собственных мастерских в Париже де Кольмар начинает производство арифмометров. Создатель первой механической вычислительной машины Чарлз Бэббидж родился в 1791 году на берегу Темзы в Уолфорте, графство Суррей. Бэббидж изобрёл мысленную машину — огромный блестящий агрегат из меди и сплава олова и свинца, — состоящую из тысячи дисков и роторов, зубцов и шестерёнок, изготовленных с величайшей точностью. Всю свою жизнь Бэббидж совершенствовал эту машину, которая так никогда и не была закончена (подробнее см. Джеймс Глик. Информация. История. Теория. Поток). В 1842 г. Бэббидж познакомился с Адой Лавлейс. В единственной опубликованной статье Ады приведена первая в мировой истории компьютерная программа, написанная на подобном ассемблеру языке машины Бэббиджа. В этой программе вычисляются числа Бернулли (как пример возможностей машины), но кроме того Ада Лавлейс высказывает мысль о том, что новый способ обработки информации положит начало научной революции. Ада Лавлейс была права: создание и использование компьютеров явилось революцией во многих отраслях знания и породило новые науки, кибернетику и информатику. Возникновение этих наук связано с именем ещё одного английского учёного XIX века, Джорджа Буля, который стал предтечей математической логики. Созданный им логический аппарат, названный булевой алгеброй, веком позже объединили с двоичной системой счисления, и этот плодотворный симбиоз стал основой для разработки электронного компьютера. В 1847 г. Буль опубликовал статью «Математический анализ логики», а позже, в 1854 г., вышел его капитальный труд под длинным названием «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей». Простая логика содержит два элемента: 0 («ложь») и 1 («истина») и две операции: «∧» («и») и «∨» («или»). Логика подчиняется правилам булевой алгебры (подробнее см. Булева логика: критерии И, ИЛИ). Клод Шеннон представил в 1938 г. свою докторскую диссертацию. В этой работе, положившей начало теории информации, были связаны воедино двоичная численная система, булева алгебра и реализация вычислительных процессов в виде электрических схем. Работу Ады Лавлейс столетие спустя продолжил Алан Тьюринг. В 1950 году он опубликовал знаменитую статью «Может ли машина мыслить?». В разделе «Возражения леди Лавлейс» он детально разобрал научное наследие Ады Лавлейс. Программисты до сих пор используют термины, введённые леди Лавлейс. Например, «рабочие ячейки», «цикл» и некоторые другие. Алан Тьюринг стал отцом современного компьютера. Он создал идеальный мысленный компьютер — идею компьютера. Тьюринг разрабатывает несколько базовых концепций информатики — «подпрограмма», «библиотека программного обеспечения», «микропрограммирование» (подробнее о жизни Тюринга см. Эндрю Ходжес. Игра в имитацию; о классической работе Тьюринга см. Чарльз Петцольд. Читаем Тьюринга). В 1940-х годах появились первые счётные электронные машины на основе цифровых переключателей — электронных ламп и цифровых реле. Первую простую счётную электронную машину в 1941 году создал немецкий учёный Конрад Цузе. Затем, при поддержке IBM и других корпораций, Цузе основал в Швейцарии компанию по производству вычислительной техники и в 1950 году полностью закончил машину Зет-4. На тот момент это был единственный работающий компьютер в Европе, опережавший также и американские разработки Марк-1 и УНИВАК. Американский ЭНИАК был введён в строй в 1945 году, когда война уже закончилась. У него были предшественники — ещё в тридцатые годы Ванневар Буш проектировал в США устройства для решения дифференциальных уравнений, а другой американский инженер, Говард Эйкен, в 1939–1943 годах работал, при поддержке IBM, над электромеханическим компьютером Марк-1. Эниак находился в эксплуатации десять лет. Машина состояла из 17 тысяч электронных ламп и полутора тысяч реле. Военное ведомство США ассигновало на разработку Эниака 400 тысяч долларов, и над его созданием трудилась под руководством Экерта и Мочли команда из 50 человек. Этот электронный монстр работал в десятичной системе счисления, имел 26 метров в длину, около 3 метров в высоту и весил порядка 30 тонн. ЭНИАК безусловно ещё не являлся универсальным компьютером, но, при всех своих недостатках, обладал приличным быстродействием — 5000 сложений и 300 умножений в секунду. К тому же во время работы устройства температура в помещении поднималась до 50 градусов Цельсия, и ходил слух, что, когда машину включают, вся Филадельфия остаётся без света, так как ЭНИАК потреблял около 160 КВт. Фон Нейман, присоединившийся к группе изобретателей, ещё в 1945 г. опубликовал статью, в которой описывались основные компоненты вычислительной машины (процессор, память, блоки ввода/вывода) и отмечалось, что такое устройство должно работать в двоичной системе, быть электронным, а не механическим, и что команды программы должны выполняться последовательно. Эти принципы, названные «архитектурой фон Неймана», не слишком отличались от идей Бэббиджа и Цузе и легли в основу первых и всех последующих компьютеров. Компания IBM в 1953 г. выпустила на рынок машину IBM 701. Первые УНИВАКи были приобретены Бюро переписи населения США и Пентагоном, первую IBM 701 купил атомный центр в Лос-Аламосе. Вскоре, в 1954 году, на рынке появилась машина IBM 704, которая уже была в полной мере универсальным и довольно мощным для того времени компьютером со средним быстродействием 40 000 операций в секунду. В 1960-х годах электронные лампы заменили транзисторами — полупроводниковыми переключателями, которые были надёжнее, меньше по размеру и потребляли меньше энергии. В 1965 году соучредитель компании «Интел» Гордон Мур предсказал, что мощность компьютера будет удваиваться каждые восемнадцать месяцев. И это предсказание подтвердилось настолько точно, что его стали называть законом Мура. Каким-то мистическим образом новые технологии появлялись как раз вовремя, обеспечивая точное выполнение закона Мура. В СССР существовало порядка двадцати научных институтов и большое количество конструкторских бюро в Москве, Ленинграде, Киеве, Ереване и других городах, разработавших в пятидесятые-восьмидесятые годы не менее ста моделей ЭВМ, как универсальных, так и управляющих (в том числе — машины военного назначения). Ведущее положение среди этих организаций занимал Институт точной механики и вычислительной техники (ИТМиВТ, Москва). Генеральным конструктором этой серии ЭВМ являлся академик Сергей Алексеевич Лебедев, с которым работал большой коллектив сотрудников. М-20 являлась своего рода базовой машиной, сравнимой по мощности с IBM 704, но запущенной в производство с пятилетним отставанием от американского компьютера — в 1959 году. По мнению экспертов, мощность полупроводниковых компьютеров достигнет своего логического насыщения к 2020 году. К этому времени точность микросхем достигнет молекулярных размеров. Закон Мура сохранит свою силу только в том случае, если к этому времени будут открыты совершенно новые компьютерные технологии. Сегодня толщина соединений в обычных схемах электронного компьютера составляет 1000 атомов. В обозримом будущем технология потребует локализовать бит информации в пределах атома вещества. И это полностью изменит вычислительную технику. Нас ждут перемены настолько радикальные, что к ним лучше заранее подготовить своё сознание. жүктеу/скачать 403,91 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|