Глава 1. Математические символы древности

Глава 1. Математические символы древности

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. В непозиционной системе значение цифры постоянно и не зависит от её места в записи числа. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. В позиционных системах счисления одна и та же цифра в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где она расположена. Вторая величина, которая характеризует позиционную систему счисления, — основание системы. Эта как правило, целое число, выражающее количество цифр в данной системе. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам.

Рис. 1. Числа-иероглифы Древнего Египта

Рис. 2. Иероглифическая запись число 45 386

Начиная с 60, способ записи чисел меняется. Шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывали его значение его положением. Например, число 169 (т. е. два «шестидесятка» и 49 единиц) обозначается «цифрами» 2 и 49, т. е. запись имеет вид .

Ряд элементов вавилонской системы используется до сих пор. Именно вавилоняне разделили сутки на 24 часа, час— на 60 минут, а минуту— на 60 секунд. Именно они разделили окружность на 360 градусов, а это значит, что угловые меры тоже введены вавилонянами.

Для вычисления квадратного корня применялся алгоритм половинного деления, известный как метод Ньютона. Пусть имеется число n, из которого нужно извлечь квадратный корень. Выберем два числа A и B, квадраты которых больше и меньше n. Рассчитывается C = (A + B)/2. Если квадрат C больше n, то A заменятся на C; если квадрат C меньше n, то B заменятся на C. Процесс повторяется до тех пор, пока не найдена величина, квадрат которой равен n или является близким приближением к n.

Главной и самой удивительной чертой вавилонской математики является стремление сформулировать любую задачу, арифметическую или геометрическую, в виде уравнений, то есть в алгебраической форме. Вот типичный пример: «Площадь участка равна сумме двух квадратов и составляет 1000. Сторона малого квадрата равна 2/3 стороны большего квадрата, уменьшенного на 10. Найти стороны квадратов».

Если обозначить стороны большого и малого квадратов через x и y, задача сведётся к решению системы уравнений:

Подставив в первое уравнение y, получим:

Положительный корень этого квадратного уравнения x = 30. Отсюда следует, что y = 10.

В Египте и Вавилонии способы вычислений носили утилитарный характер, отвечая на вопрос «как?»; у греков же постановка вопроса была гораздо глубже — их интересовало «почему?». Попытки ответа порождали новую математику, пронизанную мыслью о логическом доказательстве, но не только её — не менее важным было появление многочисленных философских систем. На этой ниве трудились мистик Пифагор, рационалист Демокрит, Зенон, Фалес Милетский, Анаксимандр, Диоген, Эмпедокл, Гераклит, Платон, Аристотель, Сократ.