Тұлғалардың инварианттары

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	6/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22

Байланысты:
Алгебра 10-15

1-анықтама
4.1-салдар

𝔞: 𝑋 × 𝑌 → ℝ қос сызықтық функционал болсын. Осы функционалдың инварианттарын, яғни, оның қандай да болса қос сызықтық тұлға түріндегі кескініне тәуелсіз болатын сандық сипаттамаларын қарастырайық.

1-анықтама: 𝐹 шаршылық тұлғасының 𝑟(𝐹)рангі деп оның матрицасының рангі аталады. Демек, егер 𝐹⁽𝑥⁾= (𝐴𝑥, 𝑥) болса, онда 𝑟⁽𝐹⁾= 𝑟⁽𝐴⁾.

Конгруэнт шаршылық тұлғалардың рангілері өзара тең болатыны айқын.

Ендеше, шаршылық тұлғаның рангі оның инварианты болады. Бұл инвариант шаршылық тұлғаның канондық түріндегі нөлден өзге коэффиценттер санына тең. Шаршылық тұлғаның канондық түрі жалғыз емес. Жоғарыда

қарастырылған шаршылық тұлғаларды канондық түрге келтіру тәсілдері қандай да бір шаршылық тұлғаға қолдағанның өзінде, әдетте, әртүрлі

нәтежие береді. Мысалы, 2𝑥₁𝑥₂− 6𝑥₁𝑥₃− 6𝑥₂𝑥₄+ 2𝑥₃𝑥₄шаршылық

тұлғасының:2𝑣² − 2𝑣² − 2𝑣² + 2𝑣²және 4𝑥̃² − 4𝑥̃² + 2𝑥̃² − 2𝑥̃² екі түрлі

1 2 3 4 1 2 3 4

канондық тұлғаларын таптық.

Демек, шаршылық тұлғаларды бірмәнді сипаттайтынқосымша басқа инварианттарды іздеу қажет. Бұл іздеудің нәтежиелі болатын себебі

әдебиетте “инерция заңы” деп аталатын төмендегі теорема.

анықтама: Нөлден өзге коэффиценттері 1 немесе -1-ге тең болатны шаршылық тұлғаның канондық түрін нормаль түрі деп атаймыз.

1
Кез келген шаршылық тұлғаны айнымалылардың ерекше емес сызықтық түрлендіруімен нормаль түріне келтіруге болады: алдымен оны𝛼₁𝑦² +

𝛼₂𝑦² + ⋯ + 𝛼_𝑘𝑦²канондық түріне (бұл жерде барлық 𝛼_𝑖, 𝑖 =

2 𝑘

^̅1^̅^̅,^̅𝑘^̅коэффиценттері нөлдік емес),соңынан 𝑧_𝑖 = √^|𝛼_𝑖^|𝑦_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑘^̅, 𝑧_𝑗 = 𝑦_𝑗, 𝑗 =

𝑘^̅̅^̅+^̅^̅^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅,ерекше емес сызықтық түрлендіруімен 𝑠g𝑛⁽𝛼₁⁾z² + sgn⁽α₂⁾z² + ⋯ +

1 2

k
sgn(α_k)z² нормаль түріне көшіреміз.

теорема:Кез келген шаршылық тұлғаның канондық түріндегі оң таңбалы коэффиценттер саны, сондай-ақ, теріс таңбалы коэффиценттер саны оның инварианттары болады.
анықтама: 𝐹 шаршылық тұлғасының канондық түріндегі оң таңбалы (теріс таңбалы)коэффиценттер саны сол тұлғаның инерция оң индексі

(сәйкесінше, инерция теріс индексі)деп аталады да 𝑝(𝐹) (сәйкесінше,𝑛(𝐹)) арқылы белгіленелді. 𝜎⁽𝐹⁾= 𝑝⁽𝐹⁾− 𝑛(𝐹)саны 𝐹 шаршылық тұлғасының сигнатурасы деп аталады.

4.1-салдар: Екі шаршылық тұлға конгруэнт болу үшін олардың 𝑟, 𝑝, 𝑛, 𝜎 төрт инвариантының кез келген екеуі өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22

Алгебралық жүйе ұғымы

Тұлғалардың инварианттары

Тұлғалардың инварианттары