Алгебралық жүйе ұғымы


Тұлғалардың инварианттары



бет6/22
Дата18.12.2021
өлшемі343,29 Kb.
#102758
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
Байланысты:
Алгебра 10-15

Тұлғалардың инварианттары


𝔞: 𝑋 × 𝑌 → ℝ қос сызықтық функционал болсын. Осы функционалдың инварианттарын, яғни, оның қандай да болса қос сызықтық тұлға түріндегі кескініне тәуелсіз болатын сандық сипаттамаларын қарастырайық.

1-анықтама: 𝐹 шаршылық тұлғасының 𝑟(𝐹)рангі деп оның матрицасының рангі аталады. Демек, егер 𝐹(𝑥) = (𝐴𝑥, 𝑥) болса, онда 𝑟(𝐹) = 𝑟(𝐴).

Конгруэнт шаршылық тұлғалардың рангілері өзара тең болатыны айқын.

Ендеше, шаршылық тұлғаның рангі оның инварианты болады. Бұл инвариант шаршылық тұлғаның канондық түріндегі нөлден өзге коэффиценттер санына тең. Шаршылық тұлғаның канондық түрі жалғыз емес. Жоғарыда

қарастырылған шаршылық тұлғаларды канондық түрге келтіру тәсілдері қандай да бір шаршылық тұлғаға қолдағанның өзінде, әдетте, әртүрлі

нәтежие береді. Мысалы, 2𝑥1𝑥2 − 6𝑥1𝑥3 − 6𝑥2𝑥4 + 2𝑥3𝑥4 шаршылық

тұлғасының:2𝑣2 − 2𝑣2 − 2𝑣2 + 2𝑣2және 4𝑥̃2 − 4𝑥̃2 + 2𝑥̃2 − 2𝑥̃2 екі түрлі

1 2 3 4 1 2 3 4

канондық тұлғаларын таптық.

Демек, шаршылық тұлғаларды бірмәнді сипаттайтынқосымша басқа инварианттарды іздеу қажет. Бұл іздеудің нәтежиелі болатын себебі

әдебиетте “инерция заңы” деп аталатын төмендегі теорема.



  1. анықтама: Нөлден өзге коэффиценттері 1 немесе -1-ге тең болатны шаршылық тұлғаның канондық түрін нормаль түрі деп атаймыз.


1
Кез келген шаршылық тұлғаны айнымалылардың ерекше емес сызықтық түрлендіруімен нормаль түріне келтіруге болады: алдымен оны𝛼1𝑦2 +

𝛼2𝑦2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑦2канондық түріне (бұл жерде барлық 𝛼𝑖, 𝑖 =

2 𝑘

̅1̅̅,̅𝑘̅коэффиценттері нөлдік емес),соңынан 𝑧𝑖 = √|𝛼𝑖|𝑦𝑖, 𝑖 = ̅1̅̅,̅𝑘̅, 𝑧𝑗 = 𝑦𝑗, 𝑗 =

𝑘̅̅̅+̅̅̅1̅̅,̅𝑛̅,ерекше емес сызықтық түрлендіруімен 𝑠g𝑛(𝛼1)z2 + sgn(α2)z2 + ⋯ +

1 2



k
sgn(αk)z2 нормаль түріне көшіреміз.


  1. теорема:Кез келген шаршылық тұлғаның канондық түріндегі оң таңбалы коэффиценттер саны, сондай-ақ, теріс таңбалы коэффиценттер саны оның инварианттары болады.

  2. анықтама: 𝐹 шаршылық тұлғасының канондық түріндегі оң таңбалы (теріс таңбалы)коэффиценттер саны сол тұлғаның инерция оң индексі

(сәйкесінше, инерция теріс индексі)деп аталады да 𝑝(𝐹) (сәйкесінше,𝑛(𝐹)) арқылы белгіленелді. 𝜎(𝐹) = 𝑝(𝐹) − 𝑛(𝐹)саны 𝐹 шаршылық тұлғасының сигнатурасы деп аталады.

4.1-салдар: Екі шаршылық тұлға конгруэнт болу үшін олардың 𝑟, 𝑝, 𝑛, 𝜎 төрт инвариантының кез келген екеуі өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.



  1. Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет