Алгебралық жүйе ұғымы

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	22/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Байланысты:
Алгебра 10-15

Өрістегі кері амалдар

Өрістерде қарама қарсы және кері (0 нөлдігінен өзге элементке) элементтерді табу, сонымен қатар, азайту және нөлдік емес элементтерге бөлу амалдары анықталған. Өрісте көбейту коммутатив болғандықтан, 𝑎⁻¹ ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅

𝑎⁻¹ болады да, 𝑏 элементін 𝑎 ≠ 0 элементіне бөлгендегі солжақ және оңжақ

бөлінділер өзара тең болады. 𝑎⁻¹ ⋅ 𝑏 көбейтіндісі ^𝑏 бөлшек түрінде жазылады

𝑎

да, 𝑏 элементін 𝑎 элементіне бөлгендегі бөліндісі деп аталады. Өрістерге

бөлшектерге жасалатын амалдар кәдімгі ережелерге бағынады. Егер 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 болса, онда
^𝑎= ^𝑐↔ 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐,

𝑏 𝑑

𝑎 _±𝑐

𝑏 𝑑

₌𝑎⋅𝑑±𝑏⋅𝑐_,

𝑏⋅𝑑

₋𝑎

𝑏

₌−𝑎 ₌

𝑏

𝑎 _,

−𝑏

𝑎 _⋅𝑐

𝑏 𝑑

₌𝑎⋅𝑐_,

𝑏⋅𝑑

−1
(^𝑏)

𝑑

= ^𝑑.

𝑏

Мысалы үшін соңғысының алдындағы теңдікті дәлелдейік. 𝑏, 𝑑 өрістің нөлдік емес элементтері болсын. Онда

𝑎 𝑐

₍−1

_{) (}−1 ₎−1

₍−1 ₎

−1 ₍

₎−1

⋅ = 𝑏

𝑏 𝑑

��

��
- ��

= 𝑏

(𝑎 ⋅ 𝑑
��

) = 𝑏

( 𝑎 ⋅ 𝑐

𝑑 ) =

𝑏⁻¹ ⋅ (𝑑⁻¹ ⋅ ⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾) = ⁽𝑏⁻¹ ⋅ 𝑑⁻¹⁾⋅ ⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾= ⁽𝑑⁻¹ ⋅ 𝑏⁻¹⁾⁽𝑎 ⋅ 𝑐⁾= ⁽𝑏 ⋅ 𝑑⁾⁻¹⁽𝑎 ⋅

𝑐⁾= ^𝑎⋅𝑐.

𝑏⋅𝑑
Қалған теңдіктер осыған ұқсас дәлелденеді.

теорема. Кез келген ақырлы бүтіндік облысы өріс болады.

Дәлелдеу. 𝐾 ақырлы бүтіндік облысы, ал 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛оның нөлдік емес элементтері болсын. Әр 𝑎_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅, элементтің керіленетінін дәлелдеуіміз керек.
𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛
көбейтінділерін қарастырайық. Бұлардың барлығы нөлден өзге, себебі бүтіндік облысында тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ. Сонымен қатар, бұлар өзара тең емес. Шынында да, 𝑎_𝑖𝑎_𝑘= 𝑎_𝑖𝑎_𝑚егер болса, онда қысқарту ережесі бойынша 𝑎_𝑘= 𝑎_𝑚демек, 𝑘 = 𝑚. Сонымен екі жиынның

^{𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛^}= {𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛}
теңдігі орындалады. 𝐾 облысының 1 бірлігі 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛элементтерінің арасында бар, онда ол 𝑎_𝑖𝑎₁, 𝑎_𝑖𝑎₂, … , 𝑎_𝑖𝑎_𝑛элементтерінің арасында да бар. Ендеше, бір 𝑗 индексі үшін 𝑎_𝑖⋅ 𝑎_𝑗= 1, яғни, 𝑎_𝑖керіленетін элемент болады. Дәлелдеу керегі де осы еді.

2.1-салдар. 𝐾 бірлігі бар, ақырлы коммутатив сақина болсын. Онда келесі тұжырымдар эквивалент:

𝐾 - өріс,
𝐾 - бүтіндік облысы.

Өрістің ішөрістері

Анықтама. Егер өрістің алгебралық ішжүйесі өзі де өріс болса, онда ол өрістің

ішөрісі деп аталады.

Әрине, ℚ өрісі ℝ, ℂ өрістерінің, сондай ақ, ℝ өрісі ℂ өрісінің ішөрісі болады. Ал ℤ сақинасы ℚ өрісінің ішсақинасы болғанымен, оның ішөрісі болмайды.

Өрістің ішөрістерін ажырататын шарттар келесі теоремада сипатталады.

4-теорема. ^〈𝔽; +,⋅^〉өрісінің 𝔽^̃ішжиыны ішөріс болуы үшін 𝔽^̃ең кемінде екі элементтен тұратын, өрістің қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтеріне бөлу амалдары бойынша тұйық жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. Қажеттілік. ^〈𝔽^̃; +,⋅^〉жүйесі . ^〈𝔽; +,⋅^〉өрісінің ішөрісі болсын. Онда

^〈𝔽^̃; +,⋅^〉өзі де өріс болады. Ендеше, 𝔽^̃жиынында кем дегенде екі элемент бар және ^〈𝔽^̃; +^〉, ^〈𝔽^̃\^{0^};⋅^〉алгебралық жүйелері абелдік топ болады. Ендеше, 𝔽^̃қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтерге бөлу амалдары бойынша тұйық.

Жеткіліктік. 𝔽 өрісінің 𝔽^̃ішжиынында кем дегенде екі элемент болсын да, 𝔽^̃қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге элементтерге бөлу амалдары бойынша тұйық болсын. Онда ^〈𝔽^̃; +^〉және ^〈𝔽^̃\^{0^};⋅^〉алгебралық жүйелер болады да бұл жүйелер сәйкес ^〈𝔽; +^〉және 〈 𝔽\{0};⋅〉 топтарының ішкі жүйелері болады. Бұл жүйелер топ болатындығы айқын. 𝔽 өрістің негізгі амалдары коммутатив болғандықтан, бұл топтардың абелдік топтары болатындығы айқын. Өрістің негізгі амалдары коммутатив болғандықтан, бұл топтардың абелдік топтары болатындығы шығады. 𝔽 өрісінің барлық элементтері үшін көбейту мен қосу амалдары дистрибутивтік заң арқылы байланысқан, ендеше, дистрибутивтік заң 𝔽^̃элементтері үшін де орындалады. Демек, ^〈𝔽^̃; +,⋅^〉алгебралық жүйесі өріс болады. Теорема дәлелденді.
1-мысал. ℝ өрісінің ішөрістерінің бірін

ℚ(√2) = {𝛼 + 𝛽√2|𝛼, 𝛽 ∈ ℚ}

^{жиыны құрайды.}^ℚ(√²⁾^{жиынының 4-теорема негізінде өріс болатынын}көрсету оңай:

^{(𝛼1 + 𝛽1}√^{2) ± (𝛼2 + 𝛽2}√^{2) =}⁽^{𝛼1 ± 𝛼2}⁾⁺⁽^{𝛽1 ± 𝛽2}⁾√²^,

^𝛼₁^+𝛽₁√²₌^(𝛼₁^+𝛽₁√^2)(𝛼₂^−𝛽₂√²⁾₌⁽^𝛼₁^𝛼₂^+2𝛽₁^𝛽₂⁾⁺⁽^𝛼₂^𝛽₁^−𝛼₁^𝛽₂⁾√²_,

^𝛼₂^+𝛽₂√²

⁽^𝛼₂^+𝛽₂√²⁾⁽^𝛼₂^−𝛽₂√²⁾

𝛼²−2𝛽²

2 2
^яғни^ℚ(√²⁾^{қосу, азайту, көбейту және нөлден өзге сандарға бөлу амалдары бойынша тұйық. Ендеше,}^ℚ(√²⁾^{шынында да}^ℝ^{өрісінің ішөрісі болады.}

^{1-ескерту.}^Әрине,^ℚ(^√²⁾^{өрісіне ұқсас}^ℚ(√^𝑛)^{де өріс болады. Бұл жерде}^{тек қана}√^𝑛^{иррационал болатын жағдайы қызық (кері жағдайда}^ℚ(√^{𝑛) = ℚ} болады).

Қалыңдылар сақиналары мен өрістері

ℤ_𝑛сақиналары ақырлы сақиналар мен ақырлы өрістердің үлгі мысалдары болып табылады. Сондықтан бұларға ерекше назар аудару қажет.

Қалыңдылар 𝑎̅ класы бүтін сандарды 𝑛 модулына бөлгендегі 0,1,2, … , 𝑛 − 1 қалдықтарымен толық сипатталады да, 0^̅, 1^̅, 2^̅, … , ^̅𝑛^̅^̅−^̅^̅^̅1^̅кластарының біреуіне тең болады. “Қайсысына?” деген сауалға қайтарылатын жауап мынадай: 𝑎 санын 𝑛 модулына бөліп, 𝑟 қалдығын табу керек, нәтижесінде 𝑎̅ = 𝑟̅ теңдігін аламыз. 𝑛 модулы бойынша қалыңдылар кластар жиынын ℤ_𝑛арқылы белгілегенбіз:

ℤ_𝑛= {0^̅, 1^̅, 2^̅, … , ^̅𝑛^̅^̅−^̅^̅^̅1^̅}.

ℤ_𝑛жиынында + қосу және ⋅ көбейту ережелерін естеріңізге салайық. Айталық,

𝑎̅, 𝑏^̅∈ ℤ_𝑛болсын. 𝑎̅, 𝑏^̅жиындарының әрқайсысынан бір-бірден 𝑎₁, 𝑏₁сандарын алып,

_𝑎_̅₊_𝑏̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅̅₊̅̅̅_𝑏̅̅̅₎_,_𝑎_̅_⋅_𝑏̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅_𝑏̅̅̅₎

1 1 1 1

деп анықтағанбыз. Осы ереженің 𝑎₁мен 𝑏₁сандарының таңдауына тәуелсіздігін де атап өткенбіз.

теорема. 𝑛 кез келген нөлден өзгеше натурал сан болсын. Онда

ℤ_𝑛- бірлігі бар коммутатив сақина;
ℤ_𝑛сақинасы 𝑛 жай сан болған жағдайда және тек сол жағдайда ғана өріс болады.

Дәлелдеу. 1) ℤ_𝑛үшін сақина аксиомаларының орындалуы сол аксиомалардың

ℤ үшін орындалатындығынан шығады. Мысал үшін,

(𝑎̅ + 𝑏^̅) + 𝑐̅ = 𝑎̅ + (𝑏^̅+ 𝑐^̅)

ассоциативтілік аксиомасының орындалуының тексеру жолын көрсетейік. Кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 бүтін сандары үшін ⁽𝑎 + 𝑏⁾+ 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) теңдігі орындалатындықтан, сәйкес қалыңдылар кластары да тең болады:

̅_𝑎̅̅₊̅̅̅₍̅_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅̅₎₌^̅₍^̅_𝑎^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑏^̅^̅₎^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑐^̅_. Қалыңдылар кластарын қосу анықтамасы бойынша

̅₍̅_𝑎̅̅₊̅̅̅̅_𝑏̅₎̅̅₊̅̅̅_𝑐̅ ₌̅₍̅_𝑎̅̅̅₊̅̅̅_𝑏̅̅₎₊_𝑐_̅_,

^̅𝑎^̅^̅+^̅̅^̅𝑏^̅= 𝑎̅ + 𝑏^̅,

̅_𝑎̅̅₊̅̅̅₍̅_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅̅₎₌_𝑎_̅₊₍^̅^̅_𝑏^̅^̅₊^̅^̅^̅_𝑐^̅^̅₎_,_𝑏̅̅̅₊̅̅̅_𝑐̅ ₌_𝑏̅ ₊_𝑐_̅_.Осыдан дәлелдеуге керек теңдігіміз шығады.

ℤ_𝑛жиынында нөлдік элемент, әлбетте, қалыңдылардың 0^̅нөлдік класы, бірлік элемент 1^̅класы, ал 𝑎̅ класына қарама-қарсы −̅̅̅𝑎̅ = 𝑛̅̅̅−̅̅̅𝑎̅ класы болады.

2) тұжырымды дәлелдеу үшін өрістерге қатысты тақырыптың 2.1- салдарды пайдаланайық. Екі жағдайды қарастырамыз.

1-жағдай. 𝑛 құрама сан болсын. 𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑘, 1 < 𝑚, 𝑘 шарттары орындалатын 𝑚, 𝑘 натурал сандарын қарастырайық.

𝑚̅ ⋅ 𝑘^̅= ^̅𝑚^̅^̅𝑘^̅= 𝑛̅ = 0^̅𝑚̅ ≠ 0^̅, 𝑘^̅≠ 0^̅

болғандықтан, ℤ_𝑛сақинасында тривиал емес 𝑚̅, 𝑘^̅нөл бөлгіштері бар. Ендеше, ℤ_𝑛өріс емес.

жағдай. 𝑛 жай сан болсын. ℤ_𝑛сақинасында көбейту амалы үшін қысқарту ережесі орыдалуын көрсетейік. Айталық,

𝑎̅, 𝑏^̅, 𝑐̅ ∈ ℤ_𝑛, 𝑎̅ ≠ 0^̅, 𝑎̅𝑏^̅= 𝑎̅𝑐̅

болсын. Онда

^̅𝑎^̅𝑏^̅= 𝑎̅̅𝑐̅. Демек, бір 𝑘 ∈ ℤ үшін 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑘 ⋅ 𝑛 теңдігі

орындалады. 𝑛 жай саны 𝑎(𝑏 − 𝑐) көбейтіндісін бөледі, ал 1 < 𝑎 < 𝑛 деуге болады. Ендеше, 𝑛 саны 𝑏 − 𝑐 айырымын бөлуге тиіс. Демек, 𝑏^̅= 𝑐̅. Сақиналарға қатысты тақырыптағы 3-теорема бойынша, ℤ_𝑛сақинасында тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ. Онда өрістерге қатысты тақырыптың 2.1- салдары бойынша, ℤ_𝑛өріс болады.

Өріс сипаттамасы

Өріс аксиомалары ℝ нақты сандар өрісіндегі кәдімгі қосу және көбейту амалдарының қасиеттері негізінде құрастырылғаны бірден көрініп тұр. Осы себептен нақты сандардың қасиеттері өрістерде де орындалатындығы түсінікті. Сонымен бірге, 𝑝 жай сан болса, ℤ_𝑝өрісінің кейбір қасиеттері сандар өрістерінде орындалмайтынын да байқауға болады. Мысалы, ℤ_𝑝өрісі ақырлы, ал ℚ мен ℝ өрістері шексіз. Не болмаса, бірліктен өзге элементтері өзіне өзі кері болуы мүмкін. Мысалы, ℤ₃өрісінде ⁽2^̅⁾⁻¹= 2^̅. Сандар өрістерінің басқа өрістерге қарағанда ерекшелігі бірліктің қандай да болса еселігінің нөлге тең еместігіне байланысты.

анықтама. 𝑛 оң натурал сан, 𝔽 өріс, ал 𝑎 осы өрістің кез келген элементі болсын. 𝑎 элементтің еселігі деп 𝔽 өрісінің

𝑛𝑎 = 𝑎⏟ + 𝑎 + ⋯ + 𝑎

𝑛 рет

элементін айтамыз.

Егер 𝔽 қандай да бір сандық өрісі болса, онда 𝑎 элементінің 𝑛-еселігі 𝑛 натурал саны мен 𝑎 санының кәдімгі көбейтіндісіне тең. Ал кез келген өрісте натурал санға көбейту амалының жоқ болуы да әбден мүмкін - осыны есте сақтаған жөн. Енді өте пайдалы 𝑛𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑛1 теңдігін шығарайық, бұл жерде 1 - өріс бірлігі.

^𝑛^𝑎⁼^𝑎^⏟⁺^𝑎⁺^⋯⁺^𝑎⁼^𝑎^⏟^⋅¹⁺^𝑎^⋅¹⁺^⋯⁺^𝑎^⋅¹⁼^𝑎⏟ ^⋅⁽ ¹ ⁺ ¹ ⁺ ^⋯ ⁺ ¹ ⁾⁼^𝑎^⋅^𝑛¹

𝑛 рет

Егер өріс бірлігіне қарама-қарсы −1 элементінің 𝑛(−1) еселігін қарастырсақ, онда келесі теңдікке келеміз:

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 > 𝑛 болса;

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= {^{0, егер 𝑚 = 𝑛}^болса;

⁽𝑛 − 𝑚⁾⁽−1⁾, егер 𝑚 < 𝑛 болса.

Мұнда 𝑚 мен 𝑛 оң сандар. Дербес 𝑚 = 𝑛 жағдайында 𝑛1 + 𝑛⁽−1⁾= 0, яғни

𝑛(−1) элементі 𝑛1 элементіне қарама-қарсы болады. Демек, −(𝑛1) = 𝑛(−1). Енді (−𝑛)1 деп, осы 𝑛1 элементіне қарама-қарсы, ал ⁽0⁾1 деп өріс нөлдігін белгілесек, онда жоғарыдағы теңдікті былай өзгертіп жазуға болады:

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 > 𝑛 болса;

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= {⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 = 𝑛 болса;

⁽𝑚 − 𝑛⁾1, егер 𝑚 < 𝑛 болса.

Демек,

𝑚1 + 𝑛⁽−1⁾= 𝑛⁽−1⁾+ 𝑚1 = 𝑚1 + ⁽−𝑛⁾1 = (𝑚 − 𝑛)1.

Бұл теңдіктердегі 𝑚 мен 𝑛 натурал сандар болатын. Ал плюс немесе минус таңбаларымен қарастырылған натурал сандар барлық бүтін сандарды береді. Ендеше, кез келген 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ үшін 𝑚1 ± 𝑛1 = (𝑚 ± 𝑛)1.

анықтама. 𝔽 кез келген өріс, ал 1 өріс бірлігі болсын. Егер барлық 𝑛 > 0 натурал сандары үшін 1 бірлігінің 𝑛-еселігі өріс нөлдігінен өзге, яғни 𝑛1 ≠ 0 болса, онда 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы деп 0 саны аталады. Кері жағдайда,

𝑛1 = 0 теңдігін қанағаттандыратын ең кіші натурал 𝑛 > 0 саны 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы деп аталады.

Әрине, кез келге сандық өріс сипаттамасы 0 болады. Егер 𝑝 жай сан болса, онда ℤ_𝑝сақинасының өріс сипаттамасы 𝑝 санына тең. Себебі

𝑝1^̅= 1⏟^̅ + 1^̅ + ⋯ + 1^̅= ^̅⏟1^̅^̅ +^̅^̅ ^̅1 ^̅^̅+ ^̅̅^̅ ⋯^̅^̅ ^̅+ ^̅^̅ ^̅1^̅= 𝑝̅ = 0^̅,

𝑝 рет

ал 𝑛 < 𝑝 болса, онда 𝑛1^̅= 𝑛̅ ≠ 0^̅.

𝑝 рет

теорема. 𝑝 саны 𝔽 өрісінің өріс сипаттамасы болсын. Онда

егер 𝑝 ≠ 0 болса, онда 𝑝 жай сан болады да, кез келген 𝑎 ∈ 𝔽 үшін оның 𝑝- еселігі өріс нөлдігіне тең:𝑝𝑎 = 0;
егер 𝑝 ≠ 0, ал өріс бірлігінің 𝑛-еселігі нөлге тең болса, онда 𝑛 саны 𝑝 санына бөлінеді;

3 егер 𝑝 = 0 болса, онда кез келген натурал 𝑛 > 0 саны және 𝔽 өрісінің нөлдігінен өзге кез келген 𝑎 ∈ 𝔽 элементі үшін 𝑛𝑎 ≠ 0.

Дәлелдеу. 1) Кері жорып, 𝑝 құрама сан болсын делік те, оның 𝑝 = 𝑚 ⋅ 𝑘 жіктеуін алайық. Бұл жерде 1 < 𝑚, 𝑘. Онда 𝑚1 ≠ 0, 𝑘1 ≠ 0, ал 𝑝1 = ⁽𝑚1⁾⋅ ⁽𝑘1⁾= 0. Демек, 𝑚1 мен 𝑘1 тривиал емес нөл бөлгіштері болады. Ал өрісте ондай бөлгіштер болуы мүмкін емес. Яғни, 𝑝 - жай сан.

𝑛1 = 0 болсын деп 𝑛 санын 𝑝 санына қалдықпен бөлейік: 𝑛 = 𝑚 ⋅ 𝑝 +

𝑟, бұл жерде 𝑚 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝑟 < 𝑝. Осыдан

𝑛1 = ⁽𝑚 ⋅ 𝑝 + 𝑟⁾1 = ⁽𝑚 ⋅ 𝑝⁾1 + 𝑟1 = 𝑚⁽𝑝1⁾+ 𝑟1 = 𝑟1 = 0.

Ал өріс сипаттамасы нөлге тең бірлік еселіктерінің арасында ең кішісін анықтайды. Демек, 𝑟 = 0. Ендеше, 𝑛 саны 𝑝 санына қалдықсыз бөлінеді.

𝔽 өрісінің сипаттамасы 0 саны болсын. Кері жорып, 𝑛𝑎 = 0 орындалатындай 𝑛 ∈ ℕ\{0} және 𝑎 ∈ 𝔽\{0} табылсын делік. Онда 𝑛𝑎 = 𝑎 ⋅⁽𝑛1⁾= 0. Өрісте нөлдің тривиал бөлгіштері жоқ болғандықтан, не 𝑎 = 0, не

𝑛1 = 0. Бұл жағдайдың екеуі де қайшылыққа апарады.

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22