Алгебралық жүйе ұғымы
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
Нөл бөлгіштеріанықтама. 𝐾 сақина, ал 𝑎 оның қандай да бір элементі болсын. Егер 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 (немесе 𝑏 ⋅ 𝑎 = 0) теңдігі орындалатындай нөлдік емес 𝑏 ∈ 𝐾 элементі табылатын болса, онда 𝑎 нөлдің оңжақ бөлгіші (сәйкес нөлдің солжақ бөлгіші) деп аталады. Коммутатив сақинада нөлдің солжақ бөлгіштері мен оңжақ бөлгіші бірдей. Сондықтан коммутатив сақиналарда жай ғана нөл бөлгіштері туралы айтылады. Әлбетте, кез келген сақинаның нөлдік элементі нөл бөлгіші болады. сондықтан нөл бөлгіштерін 0 элементінен өзге деп қарастырамыз. Нөлдік элементінен өзге нөл бөлгіштерін тривиал емес нөл бөлгіштері деп атаймыз. Сандық сақиналарда нөлдің тривиал емес бөлгіштерінің жоқ болатындығы айқын.
матрицалары үшін 0 0 0 )
𝐴 ⋅ 𝐵 = (0 0 ) 0 0 Демек, 𝐴 нөлдің солжақ бөлгіші, ал 𝐵 оңжақ бөлгіші болады. Нөл бөлгіштері бар болуы – матрицалар сақинасында көбейту үшін қысқарту ережесінің жалпы жағдайда орындалмайтындығының себебі. Яғни 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐶 матрицалық теңдігінен 𝐵 = 𝐶 теңдігі шығатыны міндетті емес. Жоғарыдағы мысалда 𝐴 ⋅ 𝐵 = 0 = 𝐴 ⋅ 0 болғанымен 𝐵 = 0 болмайды. теорема. Сақинада (көбейту амалы үшін нөлдік емес элементтерге) қысқарту ережелері тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ болған жағдайда және тек сол жағдайда ғана орындалады. Дәлелдеу. Қажеттілік. 𝐾 сақинасында нөлдік емес элементтерге қысқарту ережелері орындалсын, яғни кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐾 элементтері үшін, егер 𝑎 ≠ 0 және 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐, немесе 𝑏𝑎 = 𝑐𝑎 болса, онда 𝑏 = 𝑐 болсын. 𝐾 сақинасында тривиал емес нөлдің солжақ бөлгіштерінің жоқ болатындығын көрсетейік. 𝑏 кез келген нөлдің сол бөлгіші болсын. Анықтама бойынша, 𝑏 ⋅ 𝑎 = 0 болатындай сақинаның 𝑎 ≠ 0 элементі табылады. 0 ⋅ 𝑎 = 0 болғандықтан 𝑏 ⋅ 𝑎 = 0 ⋅ 𝑎. Осыдан қысқарту ережесі бойынша 𝑏 = 0. Яғни, 𝐾 сақинасында тривиал емес нөлдің солжақ бөлгіштері жоқ. Нөлдің тривиал емес оңжақ бөлгіштерінің жоқ болатындығы осыған ұқсас көрсетіледі. Жеткіліктілік. 𝐾 сақинасында солжақ және оңжақ нөл бөлгіштері жоқ болсын. Егер 𝑎 ≠ 0 және 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 болса, онда 1-теорема бойынша, 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 0. Ендеше, 𝑏 − 𝑐 = 0 болуы қажетті, демек, 𝑏 = 𝑐. Егер 𝑎 ≠ 0 және 𝑏𝑎 = 𝑐𝑎 болса, онда 𝑏 = 𝑐 болатындығын осыған ұқсас дәлелдеуге болады. Теорема дәлелденді. 3-анықтама. Бірлігі бар, тривиал емес нөл бөлгіштері жоқ нөлдік емес коммутатив сақина бүтіндік облысы деп аталады. 3-теорема бойынша, бүтіндік облысында көбейту үшін қысқарту ережелері орындалады. Бүтін сандар және көпмүшелер сақиналары бүтіндік облысының табиғи мысалдары болып табылады. жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|