Алгебралық жүйе ұғымы
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
| анықтама. Егер 〈𝐾; +,⋅ 〉 сақинасындағы көбейту амалы коммутатив, яғни
R7. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 (𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎) болса, онда 〈𝐾; +,⋅ 〉 коммутатив сақина деп аталады. анықтама. Егер 〈𝐾; +,⋅ 〉 сақинасының алты аксиомасына қоса бірліктің бар болу R8. ∃𝑎 ∈ 𝐾∀𝑏 ∈ 𝐾(𝑏 ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏) аксиомасы орындалса, ондаол бірлігі бар сақина деп аталады. Өткен лекцияның 2-теореманың дәлелдеуінен R8 аксиомасын қанағаттандыратын сақинадағы бірліктің бірмәнді анықталатындығы оңай шығады. Сақинаның бірлігін, әдетте, 1 символмен белгілейді. Әлбетте, сандарды кәдімгі қосу мен көбейту амалдары бойынша 〈ℚ; +,⋅ 〉, 〈ℝ; +,⋅ 〉, 〈ℂ; +,⋅ 〉 алгебралық жүйелерінің әрқайсысы коммутатив, бірлігі бар сақина болады. Дегенмен, сақинаның ең маңызды мысалдарын бүтін сандар мен матрицалар береді. Әрине, сандарды қосу мен көбейту бойынша 〈ℤ; +,⋅ 〉 бірлігі бар, ал 〈2ℤ; +,⋅ 〉 бірлігі жоқ коммутатив сақиналар болады. Егер 𝑀𝑛∗𝑛(ℤ) және 𝑀𝑛∗𝑛(2ℤ) арқылы әрбір элементі бүтін сан болатын және сәйкесінше жұп сандардан құрастырылған 𝑛-ретті квадрат матрицалардың жиындарын белгілесек, онда матрицаларды қосу мен көбейту амалдары бойынша 〈𝑀𝑛∗𝑛(ℤ); +,⋅ 〉 алгебралық жүйесі бірлігі бар коммутатив емес сақина, ал 〈𝑀𝑛∗𝑛(2ℤ); +,⋅ 〉 бірлігі жоқ коммутатив емес сақина болады. Мұндағы 𝑛 > 1. Әрине, 𝑛-ретті бірлік 𝐸 матрицасы 𝑀𝑛∗𝑛(ℤ) сақинасының бірлік элементінің ролін атқарады. R1 − R6 аксиомалардың матрицалардың қосу және өзара көбейту амалдарына орындалатындығы бұрын көрсетілген. Көпмүшелер жиыны кәдімдігі көпмүшелерді қосу мен көбейту амалдары бойынша коммутатив, бірлігі бар сақинаның мысалы болады. Бұл сақинада нөлдік пен бірлік элементтері тұрақты мәнді 0 мен 1 көпмүшелер болады. Келтірілген мысалдар, әлбетте, шексіз сақиналардың, яғни шексіз элементтерден тұратын сақиналардың мысалдары болып табылады. Аксиома R2 кез келген сақинаның ең болмағанда бір нөлдігі бар екендігін көрсетеді. Егер 𝐾 = {0} жиынында + және ⋅ амалдары 0 + 0 = 0, 0 ⋅ 0 = 0 теңдіктерімен берілсе, онда ол нөлдік сақина деп аталады. нөлдік сақинада нөл мен бірліктің бірдей болатындығы түсінікті. Ақырлы сақиналардың басқа мысалдарыда бар. Атап айтқанда, 𝑛 модулы бойынша ℤ𝑛 қалындылар кластарының жиыны 𝑛 элементті коммутатив сақина құрайды. ℤ𝑛 сақинасында 0̅ қалындылар класы нөлдік, ал 1̅ қалындылар класы оның бірлік элементі болады. жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|