Алгебралық жүйе ұғымы


Азайту амалының қасиеттері



бет19/22
Дата18.12.2021
өлшемі343,29 Kb.
#102758
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22
Байланысты:
Алгебра 10-15

Азайту амалының қасиеттері



1-теорема. Сақинадағы көбейту амалы азайту амалына қатысты дистрибутив болады, яғни сақинаның кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 элементтері үшін
𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 және (𝑏 − 𝑐) ⋅ 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑐 ⋅ 𝑎.
Дәлелдеу. 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 теңдігін дәлелдеу үшін
𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) + 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏
болатындығын көрсетсек жеткілікті. R6a Аксиомасы бойынша,
𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) + 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ ((𝑏 − 𝑐) + 𝑐)
Енді 𝑏 − 𝑐 айырмасын 𝑏 + (−𝑐) –ға ауыстырып, ары қарай
𝑎((𝑏 − 𝑐) + 𝑐) = 𝑎 ⋅ ((𝑏 + (−𝑐)) + 𝑐) = 𝑎 ⋅ (𝑏 + ((−𝑐) + 𝑐)) = 𝑎 ⋅ (𝑏 + 0)

= 𝑎 ⋅ 𝑏
теңдіктерін аламыз.



(𝑏 − 𝑐) ⋅ 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑐 ⋅ 𝑎 теңдігі осыған ұқсас делелденді.
1.1-салдар. Сақинаның кез келген 𝑎, 𝑐 элементтері үшін
𝑎 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝑎 = 0,
𝑎 ⋅ (−𝑐) = (−𝑎) ⋅ 𝑐 = −(𝑎 ⋅ 𝑐), (−𝑎) (−𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑐

теңдіктері орындалады.

Дәлелдеу. Егер 𝑏 = 𝑐 деп алсақ, онда 𝑎 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝑎 = 0 теңдігі теоремадан оңай шығады. Егер теоремада 𝑏 = 0 деп алсақ, онда 𝑎 ⋅ (−𝑐) = −(𝑎 ⋅ 𝑐) және (−𝑐)

𝑎 = −(𝑐 ⋅ 𝑎) аламыз. Дәлелденген қасиеттерден мына



(−𝑎) (−𝑐) = −(𝑎 ⋅ (−𝑐)) = −(−(𝑎 ⋅ 𝑐))

теңдіктері оңай шығады. −(−(𝑎 ⋅ 𝑐)) = 𝑎 ⋅ 𝑐. Демек, (−𝑎) (−𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑐.



Сақинаның элементтерін кері айналдыру 2-теорема. Бірлігі бар нөлдік емес сақинада 0 ≠ 1.

Дәлелдеу. 𝐾 бірлігі бар нөлдік емес сақина болсын. Онда 𝐾 сақинасының нөлдігінен ерекше 𝑎 элементі үшін 𝑎 ⋅ 0 = 0 және 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎. Ендеше, 0 ≠ 1.

  1. анықтама. Егер бірлігі бар 𝐾 сақинасының 𝑎 элементі үшін

𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 = 1

теңдіктері орындалатындай 𝑏 ∈ 𝐾 элементі табылатын болса, онда 𝑎 керіленетін элемент, ал 𝑏 элементі 𝑎 элементіне кері деп аталады да, 𝑎−1 арқылы белгіленеді.

Кері айналдыру мен бөлу амалы тығыз байланысты. Сақинада кез келген

𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 немесе 𝑦 ⋅ 𝑎 = 𝑏 теңдеуінің шешімі әрқашан бола бермейді. Мысалы, ℤ сақинасында 3 ⋅ 𝑥 = 5 теңдеуінің шешімі жоқ. Мұндай теңдеулер шешілу үшін 𝑎 элементінің керіленетіні жеткілікті шарт болады. Шынында да, бұл жағдайда осы теңдеулердің шешімдері сәйкесінше 𝑥 = 𝑎−1 ⋅ 𝑏 және 𝑦 =

𝑏 ⋅ 𝑎−1 болады. Ал 𝑎 элементінің керіленетіні қажетті емес, мысалы, 𝑎 ⋅ 𝑥 = 0

және 𝑦 ⋅ 𝑎 = 0 теңдеулерінің, 𝑎 қандай болса да, нөлдік шешімі бар.





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет