Алгебралық жүйе ұғымы
Азайту амалының қасиеттері
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.1-салдар.
- Сақинаның элементтерін кері айналдыру 2-теорема.
Азайту амалының қасиеттері1-теорема. Сақинадағы көбейту амалы азайту амалына қатысты дистрибутив болады, яғни сақинаның кез келген 𝑎, 𝑏, 𝑐 элементтері үшін 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 және (𝑏 − 𝑐) ⋅ 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑐 ⋅ 𝑎. Дәлелдеу. 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 теңдігін дәлелдеу үшін 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) + 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 болатындығын көрсетсек жеткілікті. R6a Аксиомасы бойынша, 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐) + 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ ((𝑏 − 𝑐) + 𝑐) Енді 𝑏 − 𝑐 айырмасын 𝑏 + (−𝑐) –ға ауыстырып, ары қарай 𝑎((𝑏 − 𝑐) + 𝑐) = 𝑎 ⋅ ((𝑏 + (−𝑐)) + 𝑐) = 𝑎 ⋅ (𝑏 + ((−𝑐) + 𝑐)) = 𝑎 ⋅ (𝑏 + 0) = 𝑎 ⋅ 𝑏
(𝑏 − 𝑐) ⋅ 𝑎 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑐 ⋅ 𝑎 теңдігі осыған ұқсас делелденді. 1.1-салдар. Сақинаның кез келген 𝑎, 𝑐 элементтері үшін 𝑎 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝑎 = 0, 𝑎 ⋅ (−𝑐) = (−𝑎) ⋅ 𝑐 = −(𝑎 ⋅ 𝑐), (−𝑎) ⋅ (−𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑐 теңдіктері орындалады. Дәлелдеу. Егер 𝑏 = 𝑐 деп алсақ, онда 𝑎 ⋅ 0 = 0 ⋅ 𝑎 = 0 теңдігі теоремадан оңай шығады. Егер теоремада 𝑏 = 0 деп алсақ, онда 𝑎 ⋅ (−𝑐) = −(𝑎 ⋅ 𝑐) және (−𝑐) ⋅ 𝑎 = −(𝑐 ⋅ 𝑎) аламыз. Дәлелденген қасиеттерден мына (−𝑎) ⋅ (−𝑐) = −(𝑎 ⋅ (−𝑐)) = −(−(𝑎 ⋅ 𝑐)) теңдіктері оңай шығады. −(−(𝑎 ⋅ 𝑐)) = 𝑎 ⋅ 𝑐. Демек, (−𝑎) ⋅ (−𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑐. Сақинаның элементтерін кері айналдыру 2-теорема. Бірлігі бар нөлдік емес сақинада 0 ≠ 1. Дәлелдеу. 𝐾 бірлігі бар нөлдік емес сақина болсын. Онда 𝐾 сақинасының нөлдігінен ерекше 𝑎 элементі үшін 𝑎 ⋅ 0 = 0 және 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎. Ендеше, 0 ≠ 1. анықтама. Егер бірлігі бар 𝐾 сақинасының 𝑎 элементі үшін 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎 = 1 теңдіктері орындалатындай 𝑏 ∈ 𝐾 элементі табылатын болса, онда 𝑎 керіленетін элемент, ал 𝑏 элементі 𝑎 элементіне кері деп аталады да, 𝑎−1 арқылы белгіленеді. Кері айналдыру мен бөлу амалы тығыз байланысты. Сақинада кез келген 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏 немесе 𝑦 ⋅ 𝑎 = 𝑏 теңдеуінің шешімі әрқашан бола бермейді. Мысалы, ℤ сақинасында 3 ⋅ 𝑥 = 5 теңдеуінің шешімі жоқ. Мұндай теңдеулер шешілу үшін 𝑎 элементінің керіленетіні жеткілікті шарт болады. Шынында да, бұл жағдайда осы теңдеулердің шешімдері сәйкесінше 𝑥 = 𝑎−1 ⋅ 𝑏 және 𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑎−1 болады. Ал 𝑎 элементінің керіленетіні қажетті емес, мысалы, 𝑎 ⋅ 𝑥 = 0 және 𝑦 ⋅ 𝑎 = 0 теңдеулерінің, 𝑎 қандай болса да, нөлдік шешімі бар. жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|