Алгебралық жүйе ұғымы

Изоморф топтар

Жалпы алгебралық жүйелердің изоморфтық анықтамасынан ^〈𝐺,⋅^〉 және

үшін
𝜑⁽𝑎 ⋅ 𝑏⁾ = 𝜑⁽𝑎⁾ ∗ 𝜑(𝑏)

Осы анықтамадан изоморфизмнің топтың бірлігін және кері элементтерді сақтайтындығы, яғни 𝑒 элементі 𝐺 тобының бірлігі болғанда, оның 𝜑(𝑒) бейнесі 𝐺^∗ тобының бірлігі, ал 𝐺^∗ тобының 𝜑(𝑎) элементіне 𝜑(𝑎¹) кері болатындыға бірден шығады. Шынында да, кез келген 𝑎 ∈ 𝐺 үшін

𝜑⁽𝑎⁾ = 𝑐 болатындай 𝑎 ∈ 𝐺 табылып, 𝑐 ∗ 𝜑⁽𝑒⁾ = 𝜑⁽𝑒⁾ ∗ 𝑐теңдіктері орындалады, демек, 𝜑⁽𝑒⁾ элементі 𝐺^∗ тобының бірлігі болады.

𝜑⁽𝑒⁾ = 𝜑⁽𝑎𝑎⁻¹⁾ = 𝜑⁽𝑎⁻¹𝑎⁾ = 𝜑⁽𝑎⁾ ∗ 𝜑⁽𝑎⁻¹⁾ = 𝜑⁽𝑎⁻¹⁾ ∗ 𝜑(𝑎)
және 𝐺^∗ тобының 𝜑⁽𝑒⁾ бірлігі болғандықтан 𝜑⁽𝑎⁻¹⁾ элементі 𝐺^∗ тобындағы

𝜑⁽𝑎⁾ элементіне кері болады.

ℝ⁺ арқылы барлықоң нақты сандар жиынын белгілейік. Онда ^〈ℝ⁺,⋅^〉 тобы ^〈ℝ, +^〉 тобына изоморф. Бұл жерде ⋅ мен + нақты сандарды көбейту мен қосу амалдары. Кез келген 𝑎 ∈ ℝ⁺ үшін 𝜑𝑎 = log 𝑎 формуласымен анықталған

𝜑: ℝ⁺ → ℝ бейнелеуі осы топтардың изоморфизмі болады. Себебі

𝜑⁽𝑎 ⋅ 𝑏⁾ = log⁽𝑎 ⋅ 𝑏⁾ = log 𝑎 + log 𝑏 = 𝜑⁽𝑎⁾ + 𝜑(𝑏).
Сонымен 𝜑 изоморфизмі бойынша ℝ⁺ жиынындағы көбейту мен ℝ жиынындағы қосу амалдарының қасиеттері бірдей болып шықты. Кәдімгі логарифмдік сызғышты пайдалану осы тұжырымға негізделгендігін көрсетейік.

Логорифмдік сызғышта сандарды қосу және көбейту бір сұлбамен іске асырылады. Қозғалғыштың бастапқы белгісін сызғыштағы бірінші амал орындалатын санмен беттестірейік. Онда қозғалғыштағы екінші санға қарама- қарсы жатқан сызғыштағы нәтижені аламыз. Демек, амалдардың екеуі де шын мәнінде кесінділерді қосуға келтіріледі. Тек айырмашылығы, қосу үшін бірқалыпты ал көбейту үшін бірқалыпты емес логарфмдік шкала

пайдаланылады. Логарифмдік шкаланың 𝑘 бөлігі бастапқы log 𝑘 белгіден қашықтықта орналасқан.

1. 
   теорема. Егер ^〈𝐻,⋅^〉 және ^〈𝐺,∗^〉 қандай да бір топтар ал 𝜑: 𝐻 → 𝐺 амал сақтайтын инъектив бейнелеу болса, онда ^〈𝜑⁽𝐻⁾,∗^〉 алгебралық жүйесі ^〈𝐺,∗^〉 тобының іштобы болады.
   

𝜑(𝑥₁), 𝑦₂ = 𝜑(𝑥₂). Шарт бойынша 𝜑 бейнелеуі көбейту амалын сақтайды,

сондықтан
𝑦₁ ∗ 𝑦₂ = 𝜑⁽𝑥₁⁾ ∗ 𝜑⁽𝑥₂⁾ = 𝜑(𝑥₁ ⋅ 𝑥₂).
Сонымен 𝐺 тобының 𝑦₁ ∗ 𝑦₂ элементі 𝑥₁ ⋅ 𝑥₂ ∈ 𝐻 элментінің бейнесі болады. Яғни 𝑦₁ ∗ 𝑦₂ ∈ 𝜑(𝐻) . Ендеше ∈ 𝜑(𝐻), жиынының ∗ амалы бойынша тұйықтығы дәлелденді.

𝑒 элементі 𝐻 тобының, ал 𝑒̃ элементі 𝐺 тобының бірліктері болсын. Онда

𝜑(𝑒) элементі 𝐺 тобының бірлігі, яғни 𝜑⁽𝑒⁾ = 𝑒̃ болатындығын көрсетейік.

𝑒 = 𝑒 ⋅ 𝑒 болғандықтан, шарт бойынша 𝜑⁽𝑒⁾ = 𝜑⁽𝑒⁾ ∗ 𝜑⁽𝑒⁾. Екінші жағынан,

𝐺2 аксиомасы бойынша 𝜑⁽𝑒⁾ = 𝜑⁽𝑒⁾ ∗ 𝑒̃. Демек, 𝜑⁽𝑒⁾ ∗ 𝑒̃ = 𝜑⁽𝑒⁾ ∗ 𝜑⁽𝑒⁾.. Олай болса, қысқарту ережесі бойынша 𝑒̃ = 𝜑⁽𝑒⁾.

Енді 𝑦 ∈ 𝜑(𝐻), яғни белгілі бір 𝑥 ∈ 𝐻 үшін 𝑦 = 𝜑⁽𝑥⁾ болсын. Онда

Біз изоморфизмге дейінгі дәлдікпен барлық ақырлы топтар симметриялы топтардың іштоптары болатындығын көрсетейік.

2. 
   
   
   жүктеу/скачать 343,29 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: