Алгебралық жүйе ұғымы
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
Топтың іштоптары〈ℤ, +〉 тобының 2ℤ, ℕ ішжиындарының екеуі де қосу амалы бойынша тұйық. Ендеше, кәдімгі қосу амалы бойынша қарастырылған 〈2ℤ, +〉 және 〈ℕ, +〉 алгебралық жүйелерінің екеуі де 〈ℤ, +〉 тобының алгебралық ішжүйелері болады. Бірақ осы екі ішжүйенің едәуір айырмашылығы бар: 〈2ℤ, +〉 топ болады, ал 〈ℕ, +〉 топ емес. Соңғының себебі - 𝐺3 аксиомасы орындалмайды. Мысалы, 4 санына қарама-қарсы болатын −4 саны ℕ жынына тиісті емес. Топтың алгебралық ішжүйелерінің осындай айырмашылықтарын ажырататын келесі ұғымның маңызы зор. анықтама. Егер топтың алгебралық ішжүйесі өзі де топ болса, онда ол осы топтың іштобы деп аталады. Кез келген топтың келесі екі ішжүйесі қашан да болса іштоп болатындығы түсінікті: олар топтың өзі мен жалғыз 𝑒 бірлігінен тұратын бірлік іштоп. Басқа мысалдар: 〈ℤ, +〉 алгебралық жүйесі 〈ℚ, +〉 тобының; 〈ℚ\{0},⋅〉 алгебралық жүйесі 〈ℝ\{0} ⋅〉 тобының іштоптары болып табылады. Ал 〈ℕ,⋅〉 алгебралық жүйесі 〈ℝ\{0} ⋅〉 тобының іштобы болмайды. Себебі ℕ жиыны көбейту амалы бойынша тұйық болғанымен, керілеу амалы бойынша тұйық есем. Мысалы, 2 натурал саны үшін 2−1 = 1 2 кері саны ℕ жиынында жатпайды. теорема. 〈𝐺,⋅〉 тобының бос емес 𝐻 ішжиыны оның іштобы болуы үшін 𝐻 жиыны көбейту және керілеу амалдары бойынша тұйық болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеу. Қажеттілік. 𝐻 жиыны 𝐺 тобының іштобы болсын. Онда алдымен 〈𝐻,⋅〉 топтың алгебралық ішжүйесі болуы қажет. Ендеше, 𝐻 көбейту амалы бойынша тұйық. 𝐺3 аксиомасын 〈𝐻,⋅〉 тобына қолдансақ одан 𝐻 жиынының керілеу амалы бойынша тұйықтығы шығады. Жеткіліктілік. Бос емес 𝐻 ішжиыны топтың көбейту және керілеу амалдары бойынша тұыйық болсын. Көбейту бойынша 𝐺 жиынының 𝐻 ішжиыны тұйық, ендеше 〈𝐻,⋅〉 алгебралық жүйесі 〈𝐺,⋅〉 тобының алгебралық ішжүйесі болады. Енді 〈𝐻,⋅〉 жүйесінде топ аксиомалар ақиқаттығын көрсетейік. Көбейту ⋅ амалы 𝐺 тобында ассоциатив, ал 𝐻 ⊆ 𝐺 болғандықтан, ол 𝐻 жиынында да ассоциатив. Демек, 𝐺1 аксиомасы 𝐻 жиынында ақиқат. Теореманың шарты бойынша, 𝐻 жиынында кем дегенде бір, айталық, 𝑎 элементі бар. 𝐻 керілеу және көбейту амалдары бойынша тұйық. Ендеше, 𝑎−1 ∈ 𝐻 және 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 𝑒 ∈ 𝐻. Демек, 𝐺 тобының бірлігі 𝐻 ішжүйесінің де бірлігі болады. 𝑏 ⋅ 𝑒 = 𝑒 ⋅ 𝑏 = 𝑏 теңдігі 𝐺 тобының барлық, олардың арасында 𝐻 жиынының барлық 𝑏 элементтері үшін орындалады. Ендеше, 𝐺2 аксиомасы 𝐻 жиынында ақиқат. 𝐻 жиыны керілеу амалы бойынша тұйық, демек, 𝐺3 аксиомасы да 𝐻 жүйесінде ақиқат. Сонымен, 〈𝐻,⋅〉 үшін топтың барлық аксиомалары ақиқат. Дәлелдеу керегі де осы еді. жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|