Алгебралық жүйе ұғымы

Шаршылық тұлғаның үш кескіні

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	9/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 22

Байланысты:
Алгебра 10-15

Конгруэнт шаршылық тұлғалар
Шаршылық тұлғаны канондық түрге келтіру тәсілдері

Шаршылық тұлғаның үш кескіні

1-анықтама: Айнымалылары 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛болатын, дәрежесі 2-ге тең нақты

𝐹(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) көпмүшесі шаршылық тұлға деп аталады. Яғни,шаршылық тұлға дегеніміз
𝑛 𝑛

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾= ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗

𝑖=1 𝑗=1
түріндегі өрнек болады. Бұл жерде 𝛼_𝑖_𝑗𝜖ℝ , 𝑖 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅, 𝑗 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅.

𝐹(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) көпмүшесінің барлық мүшелерінің дәрежелері бірдей болғандықтан ол біртекті болады. 𝛼_𝑖𝑗сандары 𝐹шаршылық тұлғасының коэффиценттері, ал олардың құрастырылған симметриялы 𝐴 =

(𝛼_𝑖𝑗)матрицасы 𝐹шаршылық тұлғасының матрицасы деп аталады. 𝐹

көпмүшесінің дәрежесі 2-ге тең болуы үшін 𝛼_𝑖𝑗коэффиценттерінің кем дегенде біреуі нөлден өзге болуы қажет.

1
1-мысал.𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃айнымалыларының 𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃⁾= 2𝑥² − 3𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₁𝑥₃− 5𝑥₂𝑥₁− 𝑥² + 6𝑥₂𝑥₃+ 𝑥₃𝑥₁− 3𝑥²өрнегі дәрежесі 2-ге тең көпмүше, яғни ол

2 3

шаршылық тұлға болады. Бұл көпмүшені:
2 −3 1
𝑥₁

немесе

^𝐹⁽^{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3}⁾⁼⁽^𝑥1,^{𝑥2, 𝑥3}⁾^∙⁽−5 −1 6

1 0 −3

^{) ∙ (}^𝑥2⁾

𝑥₃

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃⁾= 2𝑥² − 8𝑥₁𝑥₂+ 2𝑥₁𝑥₃− 𝑥² + 6𝑥₂𝑥₃− 3𝑥²

немесе

1 2

2 −8 2

𝑥₁

^𝐹⁽^{𝑥1, 𝑥2, 𝑥3}⁾⁼⁽^𝑥1,^{𝑥2, 𝑥3}⁾^∙⁽0 −1 6

0 0 −3

^{) ∙ (}^𝑥2⁾

𝑥₃

түрінде де өрнектеуге болады.

мысал шаршылық тұлғалардың біртекті көпмүше түріндегі кескіндерінің бірнешеу болатынын көрсетеді. Және бұл мысалдағы 3-ретті шаршы

матрицалар екі түрлі болып шықты. Бұл кемістіктен арылу үшін шаршылық тұлғалардың тек симметриялы матрицаларын қарастырамыз. Сонымен қатар,

𝐹 көпмүшесін симметриялы түрге келтіру қиын емес. Ол үшін 𝑥_𝑖𝑥_𝑗және 𝑥_𝑗𝑥_𝑖

аралас көбейтінділерінің коэффиценттерін қосып алып қақ бөлу жеткілікті. Шынында да
1 1

𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗 + 𝛼_𝑗𝑖𝑥_𝑗𝑥_𝑖 = ₂(𝛼_𝑖𝑗 + 𝛼_𝑗𝑖)𝑥_𝑖𝑥_𝑗 + ₂(𝛼_𝑖𝑗 + 𝛼_𝑗𝑖)𝑥_𝑗𝑥_𝑖

Біздің мысалымызда:

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃⁾= 2𝑥² − 4𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₁𝑥₃− 4𝑥₂𝑥₁− 𝑥² + 3𝑥₂𝑥₃+ 𝑥₃𝑥₁+ 3𝑥₂𝑥₃

1 2

3
− 3𝑥²
түріндегі кескінге келеміз, ал оған сәйкес матрица:

2 −4 1

симметриялы болады.

⁽−4 −1 3 ⁾

1 3 −3

Сонымен, шарылық тұлғаның бірінші кескіні ретінде, әдетте, оның коэффиценттері алдын ала симметрияланған

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾= ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗 = ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗

𝑗=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑗=1

Көпмүшесі түрінде екі өрнегі де қарастырылады. Бұл кескіндерде барлық 𝑖, 𝑗

Үшін 𝛼_𝑖𝑗= 𝛼_𝑗𝑖, яғни шаршылық тұлғаның 𝐴 = (𝛼_𝑖𝑗) матрицасы симметриялы матрица болады.

Шаршылық тұлғалардың екінші және үшінші кескіні олардың симметриялы қос сызықтық тұлғалары және қос сызықтық функционалдармен өзара

байланыстың салдары болады. 𝔞: 𝑋 × 𝑋 → ℝ қандай да бір симметриялы қос сызықтық функционал болсын. Онда кез келген 𝑥 𝜖 𝑋 үшін ℱ⁽𝑥⁾= 𝔞(𝑥, 𝑥) теңдігімен анықталған ℱ: 𝑋 → 𝑋 функционалы шаршылық функционал деп аталады. ℱ шаршылық функционал берілсе, онда 𝔞 қос сызықтық

функционалын

𝔞⁽

𝑥, 𝑦⁾=

¹(ℱ

2

⁽𝑥 + 𝑦⁾

− ℱ⁽𝑥⁾

− ℱ⁽𝑦⁾)

теңдігімен қайта алуға

болады. Яғни қос сызықтық 𝔞 функционалы мен шаршылық ℱ функционалы арасында тығыз байланыс бар. Осылай анықталған қос сызықтық 𝔞

функционалы ℱ шаршылық функционалының поляр функционалы деп аталады.

𝑋 кеңістігінде 𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑛қандай да бір базисін алып, 𝑥, 𝑦векторларын,

әдеттегідей, осы базистегі (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)´ және ⁽𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛⁾´координаталық

бағандарына теңестірейік. Одан кейін 107.2-формула 𝑋 = 𝑌, 𝑘 = 𝑛, 𝑞_𝑖=

𝑒_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅^̅,^̅𝑛^̅деп алып, симметриялы 𝔞 қос сызықтық функционалына сәйкес:

𝑖=1
𝐺⁽𝑥, 𝑦⁾= 𝑦´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 = ^∑𝑛

𝑛

∑
𝑗=1

^𝛼𝑖𝑗^𝑥𝑗^𝑦𝑖

(1)

қос сызықтық тұлғасына келеміз. Бұл жерде 𝛼_𝑖𝑗 = 𝛼_𝑖𝑗 = 𝔞(𝑒_𝑖, 𝑒_𝑗) = 𝔞(𝑒_𝑗, 𝑒_𝑖).

Онда ℱ⁽𝑥⁾= 𝔞⁽𝑥, 𝑥⁾шаршылық функционалының координаталық түрі

𝑛 𝑛

𝐹⁽𝑥⁾= 𝐺⁽𝑥, 𝑥⁾= 𝑥´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 = ∑ ∑ 𝛼_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑦_𝑗

𝑖=1 𝑗=1
Шаршылық түрі болады. Осыдан𝐹⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾= 𝐹⁽𝑥⁾шаршылық тұлғасының

𝐹⁽𝑥⁾= 𝑥´ ∙ 𝐴 ∙ 𝑥

екінші кескініне келеміз.

Әлбетте, 𝐴 матрицасы берілген болса, онда𝐹 көпмүшесінің мәндері оңай есептеледі. Керісінше 𝐹 көпмүшесінің мәндерін есептеудің қандай да бір

ережесі белгілі болса, онда 𝐴матрицасының элементтерін табу оңай. Мысалы,

1

𝑎₂₂= 𝐹⁽0,1,0, … ,0⁾, ал𝛼₁₂= 𝛼₂₁= ₂𝐹⁽1,1,0, … ,0⁾.

Шаршылық тұлғаның үшінші кескіні қос сызықтық тұлғаның 107.4- формуладағы кескіннен шығады. Сол формулада 𝑦 = 𝑥 деп алсақ, онда

𝐹⁽𝑥⁾= (𝐴 ∙ 𝑥, 𝑥)

түріндегі 𝐹⁽𝑥⁾шаршылық тұлғасының үшінші кескінін аламыз. Бұл

кескіннің ұтымдылығы мынада: 𝐴 ∙ 𝑥көбейтіндісін бір 𝒜 симметриялы сызықтыө түрлендіруінің 𝑥 векторына қатысты 𝒜(𝑥)бейнесі ретінде

қарастырсақ, онда симметриялы операторлардың теориясын қолдануға толық мүмкіндік аламыз.

Конгруэнт шаршылық тұлғалар

анықтама:Егер екі шаршылық тұлғаның біреуін екіншісіне

айнымалылардың ерекше емес сызықтық түрлендіруі арқылы көшіруге болатын болса, онда бұл тұлғалар конгруэнт деп аталады. Әлбетте,

конгруэнт шаршылық тұлғалардың айнымалылар саны бірдей болады.

Егер 𝐹⁽𝑥⁾= (𝐴 ∙ 𝑥, 𝑥) шаршылық тұлғасында 𝑥 =

(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)´айнымалыларын 𝑥 = 𝑃 ∙ 𝑥̃ ерекше емес сызықтық түрлендіруі бойынша 𝑥̃ = (𝑥̃₁, 𝑥̃₂, … , 𝑥̃_𝑛)´ айнымалыларына ауыстырсақ, онда

𝐹⁽𝑥⁾= ⁽𝐴𝑥, 𝑥⁾= ⁽𝐴 ∙ ⁽𝑃𝑥̃⁾, 𝑃𝑥̃⁾= ⁽(𝐴 ∙ 𝑃)𝑥̃, 𝑃𝑥̃⁾= (⁽𝑃´𝐴𝑃⁾∙ 𝑥̃, 𝑥̃) = 𝐺(𝑥)
шаршылық тұлғасына келеміз. Бұл жерде 𝑃 ∈ 𝑀_𝑛×𝑛(𝑅)ерекше емес матрица.

𝐺⁽𝑥⁾= (𝐴^̃∙ 𝑥̃, 𝑥̃)шаршылық тұлғасы 𝐹⁽𝑥⁾шаршылық тұлғасына конгруэнт, ал оның матрицасы
𝐴^̃= 𝑃´𝐴𝑃 (2)

болады. 𝑃 матрицасы ерекше емес болғандықтан,оның 𝑃⁻¹кері матрицасы бар және 𝑥̃ = 𝑃⁻¹ ∙ 𝑥 айнымалылардың сызықтық түрлендіруі 𝐺⁽𝑥̃⁾шаршылық тұлғасын 𝐹⁽𝑥⁾шаршылық тұлғасына қайта көшіреді.

анықтама: 2- теңдігі орындалатындай ерекше емес 𝑃 ∈ 𝑀_𝑛×𝑛(𝑅)

матрицасы табылатын болса, онда 𝐴, 𝐴^̃∈ 𝑀_𝑛×𝑛(𝑅) матрицалары конгруэнт

деп аталады.

ℱ: 𝑅^𝑛 → ℝ шаршылық функционалын: әрбір 𝑥 ∈ 𝑅^𝑛 үшін ℱ⁽𝑥⁾= (𝐴 ∙ 𝑥, 𝑥)

теңдігімен анықтайық. Егер айнымалылардың𝑥 = 𝑃 ∙ 𝑥̃ түрлендіру формуласын бір базистен басқа бір базиске көшкендегі вектордың

координаталарын түрлендіру формуласы деп қарастырсақ, онда ℱ⁽𝑥⁾және

𝐺⁽𝑥̃⁾конгруэнт шаршылық тұлғаларын ℝ^𝑛кеңістігінің екі базистегі 𝐹 шаршылық функционалының екі кескіні деуге болады. Сонымен, біз келесі тұжырымға келдік.

теорема:𝐹⁽𝑥⁾және 𝐺⁽𝑥̃⁾екі шаршылық тұлға болсын. Онда:
- 𝐹⁽𝑥⁾және 𝐺⁽𝑥̃⁾конгурэнт шаршылық тұлғалар,

𝐹⁽𝑥⁾және 𝐺⁽𝑥̃⁾конгурэнт шаршылық тұлғаларының матрицалары конгруэнт,
- 𝐹⁽𝑥⁾және 𝐺⁽𝑥̃⁾конгурэнт шаршылық тұлғалары бір шаршылық функционалдың екі түрлі координаталық кескіндері болады,-деген

тұжырымдар пара-пар.

Шаршылық тұлғаны канондық түрге келтіру тәсілдері

Матрицалардың конгруэнт қатынасы рефлексив, симметриялы және транзитив болатыны айқын. Демек, 𝑀_𝑛×𝑛(𝑅) матрицалар жиыны өзара

қиылыспайтын конгруэнт кластарына бөлшектенеді. Әрбір конгруэнттік класқа бір шаршылық функционал, ал конгруэнт матрицаларға сол

функционалдың кескіндері ретінде қарастырылған шаршылық тұлғалар

сәйкес келеді. Осы тұрғыдан алғанда, әрбір шаршылық функционалға оның ең қарапайым шаршылық тұлғасын табу өте маңызды.

анықтама: Матрицасы диагональ болатын шаршылық тұлғаның түрі

канондық деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда,
𝛼₁𝑥² + 𝛼₂𝑥² + ⋯ + 𝛼 𝑥²

1 2 𝑛 𝑛

түріндегі көпмүше канондық шаршылық тұлға, ал оның матрицасы 𝐴 =

𝑑𝑖𝑎ǥ{𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛}болады.

Әрбір шаршылық тұлға кем дегенде бір канондық түріндегі шаршылық тұлғаға конгруэнт болады, яғни әрбір шаршылық тұлғаны канондық түрге келтіруге болады. Канондық түрге келтірудің көптеген жолдары бар,

солардың үшеуін сипаттайық.

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 22