Алгебралық жүйе ұғымы

Егер 𝜑: 𝐴₁ ⟶ 𝐴₂ бейнелеуі биектив және амалдарды сақтайтын, яғни әрбір 𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑘^̅ және кез келген 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛𝑖 ∈ 𝐴₁ үшін

𝜑𝑓_𝑖(𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛𝑖) = 𝑔_𝑖(𝜑𝑎₁, 𝜑𝑎₂, … , 𝜑𝑎_𝑛𝑖)

болса, онда ол сәйкестік 𝒜₁ алгебралық жүйесін 𝒜₂ алгебралық жүйесіне бейнелейтін изоморфизм деп аталады.

Егер 𝒜₁ жүйесін 𝒜₂ жүйесіне бейнелейтін ең болмағанда бір изоморфизм табылса, онда 𝒜₁ жүйесі 𝒜₂ жүйесіне изоморф деп аталып, бұл

𝒜₁ ≅ 𝒜₂ символмен белгіленеді.

Жоғарыда қарасырылған 𝜑: 𝕊 ⟶ ℛ³ бейнелеуі изоморфизмнің мысалы болып табылады, ал 𝕊 және ℛ³ алгебралық жүйелері изоморф: 𝕊 ≅ ℛ³.

Кез келген 𝒜 = ^〈𝐴₁; 𝑓₁, … , 𝑓_𝑘^〉 алгебралық жүйе өзіне-өзі изоморф: 𝒜 ≅

𝒜. Изоморфизм ретінде әрбір 𝑥 ∈ 𝐴 элементін өзіне бейнелейтін, яғни 𝜀⁽𝑥⁾ =

𝑥 болатындай 𝜀: 𝐴 → 𝐴 теңбе-тең бейнелеуін алу керек. Егер 𝜑 бейнелеуі 𝒜₁ жүйесін 𝒜₂ жүйесіне бейнелейтін изоморфизм болса, онда кері 𝜑⁻¹ бейнелеуінің 𝒜₂ жүйесін 𝒜₁ жүйесіне бейнелейтін изоморфизм болатындығын көрсету қиын емес. Сонымен, 𝒜₁ ≅ 𝒜₂ изоморфизмнен 𝒜₂ ≅

𝒜₁ изоморфизмі шығады. Егер 𝒜₁ ≅ 𝒜₂ ал 𝒜₂ ≅ 𝒜₃ болса, онда 𝒜₁ ≅ 𝒜₃ болады. Мұны көрсету үшін 𝜑₁: 𝒜₁ ⟶ 𝒜₂ және 𝜑₂: 𝒜₂ ⟶ 𝒜₃ изоморфизмдерінің 𝜑₂°𝜑₁ суперпозициясы 𝒜₁ жүйесін 𝒜₃ жүйесіне бейнелейтін изоморфизмді беретіндігін жаттығу ретінде дәлелдеңіздер.

Сонымен, ≅ изоморфтық қатынасы рефлексив, симметриялы және транзитив, яғни ол эквиваленттілік қатынас болады, ал барлық алгебралық жүйелер осы қатынас бойынша қиылыспайтын кластарға бөліктенеді. Әрбір кластағы алгебралық жүйелер өзара изоморф, ал әр түрлі кластардағы жүйелер изоморф емес.

Алгебра – алгебралық амалдарды зерттейтін ғылым деуге болады. Изоморфизм ұғымы амалдар қасиеттерін абстракт түрінде, нақтылы алгебралық жүйенің қарастырылуына байланыссыз зерттеуге мүмкіндік береді. Өйткені, барлық изоморф алгебралық жүйелерде сәйкес амалдардың қасиеттері бірдей.

Алгебралық амалдар зерттеуін екі түрлі әдіспен жүргізуге болады. Бірінші әдіс бойынша, белгілі бір 𝒜 алгебралық жүйесіндегі алгебралық амалдар қасиеттерін зерттеп, оларды 𝒜 жүйесіне изоморф болатын жүйелерге пайдалануға болады. Екінші әдіс бойынша, зерттелетін кластағы жүйе амалдардың негізгі қасиеттері осы аксиомалардан теоремалар, тұжырымдар, салдарлар т.с.с. түрінде қортындылады. Ал алынған теоремалар, тұжырымдар т.с.с. осы аксиомаларды қанағаттандыратын барлық жүйелер үшін бірдей орындалады. Екінші әдістегі аксиомалар арқылы анықталған жүйені абстракт алгебралық жүйе деп атайды.

Біз математикада жиі кездесетін абстракт алгебралық жүйе кластарын – топтарды, сақиналарды және өрістерді қарастырамыз. Және осы кластардың барлығын аксиомалық түрде анықаймыз да, белгілі жүйелер ретінде

• 
  нақты сандар, ауыстырулар, матрицалар және жазықтықтарды түрлендірулер топтарын,
  
• 
  нақты сандар, көпмүшелер, матрицалар сақиналарын,
  
• 
  қалындылар өрістерін, рационал, нақты, комплекс сандар өрістерін
  

қарастырамыз.

Бұл алгебралық жүйелерді абстракт алгебралық жүйелер мысалы ретінде ғана қарастыруға болмайды.

Әр нақты жүйенің өзінше маңызы бар. Бұған қоса абстракт алгебралық жүйелер аксиомалары екшей келгенде нақтылы алгебралық жүйелердегі алгебралық амалдардың қасиеттерінің жалпыламасы болады және абстракт жүйелер туралы теоремалардың дәлелдеу идеялары, әдетте, белгілі алгебралық жүйелерді зерттегенде байқалады.