Алгебралық жүйе ұғымы

Изоморфизм ұғымы

Көп жағдайда түрлі алгебралық жүйелердегі амалдардың қасиеттері бірдей. Мысал үшін келесі екі алгебралық жүйені қарастыралық. Бағытталған кесінділер 𝕊 жиынын геометриялық векторларды қосу мен оларды нақты сандарға көбейту амалдарымен қоса алгебралық жүйе құрайды. Нақты сандардың реттелген үштіктер ℝ³ жиынында қосу нақты сандарға көбейту амалдары әр компонент бойынша іске асырылады, яғни кез келген

𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃, 𝛽₁, 𝛽₂, 𝛽₃, 𝜆 ∈ ℝ үшін,

⁽𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃⁾ ⊕ ⁽𝛽₁, 𝛽₂, 𝛽₃⁾ = ⁽𝛼₁ + 𝛽₁, 𝛼₂ + 𝛽₂, 𝛼₃ + 𝛽₃⁾, 𝜆 ⋅ ⁽𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃⁾ =

⁽𝜆𝛼₁, 𝜆𝛼₂, 𝜆𝛼₃⁾.

𝕊 пен ℝ жиындарының элементтерінің арасында өзара бірмәнді 𝜑: 𝕊 ⟶ ℝ³ сәйкестігін анықтауға болады. Ол үшін 𝕊 кеңістігінде қандай да бір 𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃ базисін алып, 𝕊 кеңістігінің әр 𝑥 = 𝛼₁𝑒₁ + 𝛼₂𝑒₂ + 𝛼₃𝑒₃ векторының ⁽𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃⁾ координаттық жолын 𝑥_𝑒 арқылы белгілеп, 𝑥 векторына реттелген үштігін сәйкес қоямыз, яғни 𝜑⁽𝑥⁾ = 𝑥_𝑒.

𝜑 сәйкестігі бойынша 𝕊 пен ℝ³ жиынындағы амалдар жақсы үйлескен, себебі векторларды қосқанда олардың сәйкес координаттары қосылады да, ал векторды санға көбейткенде векторадың әр координатасы осы санға көбейтіледі. Сонымен, кез келген 𝑥, 𝑦 ∈ 𝕊 және 𝜆 ∈ ℝ үшін
𝜑⁽𝑥 + 𝑦⁾ = (𝑥 + 𝑦)_𝑒 = 𝑥_𝑒 + 𝑦_𝑒 = 𝜑⁽𝑥⁾ + 𝜑(𝑦),

𝜑⁽𝜆 ⋅ 𝑥⁾ = (𝜆 ⋅ 𝑥)_𝑒 = 𝜆 ⋅ 𝑥_𝑒 = 𝜆 ⋅ 𝜑⁽𝑥⁾. Осыдан өте маңызды тұжырымдар шығады. Кез келген

𝜆𝑥 + 𝜇𝑦 + ⋯ + 𝛿𝑧

координаттық теңдігі сәйкес келеді. Сондықтан, векторларға орындалған көптеген теоремалар олардың координаттарына да орындалады.

Бұл тұжырымдар соншалықты табиғи, тіпті баршамыз оларды ойланбастан қолданамыз. Олар 𝕊 және ℝ³ алгебралық жүйелеріндегі қосу мен сандарға көбейту амалдарының қасиеттерінің бірдей болатындығын көрсетеді. Бұл себептен олардың аттары да, белгілеу символдары да өзара бірдей. Ал шынында қарастырылған екі қосу (екі көбейту) амалдары – әртүрлі болып табылады, себебі олар әртүрлі 𝕊 және ℝ³ жиындарында анықталған.

Қарастырылған мысалды жалпылап келесі анықтамаға келеміз.