Алгебралық жүйе ұғымы
жүктеу/скачать 343,29 Kb.
|
Алгебра 10-15
- Бұл бет үшін навигация:
- Алгебралық жүйенің ішжүйелері
| анықтама. 𝐴 жиыны берілген 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘 амалдарымен қоса 〈𝐴; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘〉
арқылы белгіленеді де алгебралық жүйе деп аталады. 𝐴 жиынында 𝑓 амалының нақты берілуі, 𝐴 жиынын кез келген 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 элементтері 𝑓(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) үшін мәнін табудың айқын ережелері арқылы іске асырылады. Мысалы, натурал сандардың ℕ жиынында көбейту амалы сандардың көбейту кестесі арқылы беріледі. Көбейту кестесін пайдаланып кез келген екі натурал санның көбейтіндісін есептеуге болады. ℕ жиынындағы қосу амалы тураы да осыны айтуға болады. Ақырлы 𝐴 жиынындағы амалдар көбінесе натурал сандардың көбейту кестесіне өте ұқсас түрде беріледі. Мысалы, 𝐴 = {0,1} жиынында екілік қосу мен екілік көбейту амалдары келесі кестелер арқылы беріледі:
Бағытталған кесінділердің 𝕊 жиынында қосу амалы үшбұрыш немесе параллелограмм ережелерімен беріледі. 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) және 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) матрицаларды көбейту амалы 𝐴 ⋅ 𝐵 көбейтіндісінің әрбір 𝛾𝑖𝑗 элементі 𝛾𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 ⋅ 𝑏𝑘𝑗 𝑘
Егер 〈𝐴; 𝑓1, … , 𝑓𝑛〉 алгебралық жүйесінің тек кейбір 𝑓𝑖1 , 𝑓𝑖2 , … , 𝑓𝑖𝑘 амалдарын қарастырсақ, 〈𝐴; 𝑓𝑖1 , 𝑓𝑖2 , … , 𝑓𝑖𝑘〉 жаңа алгебралық жүйесі пайда болады. Мұндағы 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘 индекстері 1,2, … , 𝑛 индекстерінің бөлігі. Әрине,
алгебралық жүйелерінде 𝑓𝑖1 , 𝑓𝑖2 , … , 𝑓𝑖𝑘 амалдарының қасиеттері бірдей. Алгебралық жүйенің ішжүйелеріБерілген алгебралық жүйенің амалдарын оның ішжиынында қарастыру – жаңа алгебралық жүйелерді құрудың басқа бір тәсілі болып табылады.
анықтама. 𝐴 жиынында 𝑛 орынды 𝑓 амалы берілсін, ал 𝐴1 жиыны 𝐴 жиынының бос емес ішжиыны, яғни ∅ ⊂ 𝐴1 ⊆ 𝐴 болсын. 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴1 үшін 𝑓(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) ∈ 𝐴1 болса, онда 𝐴1 жиынын 𝑓 амалы бойынша тұйық деп атаймыз. 1 Егер 𝐴1 жиынын 𝑓 амалы бойынша тұйық болса, онда 𝑓 ↾ 𝐴1 тарылымы, әлбетте, 𝐴1 жиынындағы амал болады. 𝑓 ↾ 𝐴1 және 𝑓 амалдарының анықталу аймақтарында ғана айырмашылық бар. 𝑓 ↾ 𝐴1 бейнелеуі 𝐴𝑛 жиынында, ал 𝑓 бейнелеуі 𝐴𝑛 жиынында анықталған. Сонымен бірге осы екі амалдың 𝐴1 жиынының элементтеріне тигізетін әсері бірдей: кез келген 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴1 үшін (𝑓 ↾ 𝐴1)(𝑎1, … , 𝑎𝑛) = 𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑛). Осы себептен, әдетте, біз 𝑓 ↾ 𝐴1 амалын да 𝑓 символымен белгілейтін боламыз. 𝑓 ↾ 𝐴1 амалы 𝐴1 жиынында 𝑓 амалымен ықпалдандырылған амал деп аталады. Қандай да бір ℙ жазықтығында жататын векторлар жиыны векторларды қосу бойынша тұйық болады. Шынында да, егер 𝑎, 𝑏 ∈ ℙ болса, 𝑎 + 𝑏 векторы қабырғалары 𝑎, 𝑏 болып келген параллелограмның диагоналы болады. Әрине, бұл диагонал ℙ жазықтығында жатады.
Әлбетте, егер 𝑎1, 𝑏1, 𝑎2, 𝑏2 рационал сандар болса, онда (𝑎1 + 𝑎2), (𝑏1 + 𝑏2), (𝑎1𝑎2 + 3𝑏1𝑏2), (𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) сандары да, рационал болады. анықтама.𝒜 = 〈𝐴; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛〉 алгебралық жүйе, ал 𝐴1 − 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛, амалдары бойынша тұйық болатын 𝐴 жиынының бос емес ішжиыны болсын. Онда 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 (дәлірек, 𝑓1 ↾ 𝐴1, 𝑓2 ↾ 𝐴1, … , 𝑓𝑛 ↾ 𝐴1 ) – 𝐴1 жиынындағы алгебралық амалдар, ал 𝒜1 = 〈𝐴1; 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛〉 алгебралық жүйе болады. 𝒜1 алгебралық жүйесі 𝒜 алгебралық жүйесінің ішжүйесі деп аталады.
амалдардың бастапқы жүйедегіден мүлдем басқа қасиеттері пайда болуы мүмкін. Мысалы, барлық бағытталған кесінділер 𝕊 жиынындағы векторлық көбейту амалы коммутатив емес, себебі [𝑎, 𝑏] = −[𝑏, 𝑎]. Осыған қарамастан бір 𝑙 түзуінде жататын кез келген 𝑎, 𝑏 векторлары үшін [𝑎, 𝑏] = [𝑏, 𝑎] = 𝜃. Демек, 𝑙 жиыны векторлық көбейту бойынша тұйық және 𝑙 түзуінде бұл амал коммутатив болады.
жүктеу/скачать 343,29 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|