Алгебралық жүйе ұғымы

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

бет	11/22
Дата	18.12.2021
өлшемі	343,29 Kb.
	#102758

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 22

Байланысты:
Алгебра 10-15

Топ ұғымы

Алгебралық жүйелердің кейбір түрлерінің математикада жиі кездесетіндігі сонша, тіпті оларды зерттеу өз алдына дербес теориялардың пәні болып кеткен. Топтар осындай алгебралық жүйелер арасында бәрінен қарапайым болады.

1-анықтама. Жалғыз бинарлы амалы бар ^〈𝐺,∘^〉алгебралық жүйесі берілсін. Егер келесі акиомалар:
𝐺1. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺(⁽𝑎 ∘ 𝑏⁾∘ 𝑐 = 𝑎⁽𝑏 ∘ 𝑐⁾) - ассоциативтік аксиомасы;
𝐺2. ∃𝑎 ∈ 𝐺∀𝑏 ∈ 𝐺(𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏) – 𝐺 жиынында бірліктің бар болу аксиомасы (сол бірлікті 𝑒 арқылы белгілейік);
𝐺3. ∀𝑎 ∈ 𝐺∃𝑏 ∈ 𝐺(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑒) – әр элементтің кері элементі бар болу аксиомасы (𝑏 элементін 𝑎 элементіне кері деп атаймыз да, 𝑎⁻¹ символмен белгілейміз)
орындалатын болса, онда ^〈𝐺,∘^〉агебралық жүйесі топ деп аталады. Егер қосымше мына коммутативтік аксиомасы:

𝐺4. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎)

ақиқат болса, онда топ коммутатив немесе абелдік тобы деп аталады. Топтың

o амалы көбейту деп аталады. Оны ⋅ символымен де белгілейді, кейде көбейту амалының символы өрнектерде жазылмауы да әбден мүмкін. Әдетте, абелдік топтарының амалы қосу деп аталады да, + символымен белгіленеді.

Әлбетте, ^〈ℤ, +^〉, ^〈ℚ, +^〉, ^〈ℝ, +^〉, ^〈ℝ\{0},⋅^〉, ^〈ℚ\{0} ⋅^〉абелдік топтарының мысалдары болады, мұндағы + және ⋅ кәдімгі сандарды қосу мен көбейту амалдары. ^〈𝕃, +^〉, ^〈ℙ, +^〉, ^〈𝕊, +^〉абелдік топтарының басқа мысалдары береді, мұндағы 𝕃, ℙ, 𝕊 сәйкес түзу бойындағы, жазықтықтағы және кеңістіктегі бағытталған кесінділер диындары, ал + векторларды қосу амалы. Егер [𝑎, 𝑏] векторлық көбейту амалы бар 𝑆 жиынын қарастырсақ, онда мұндай алгебралық жүйе топ болмайды, себебі 𝑖, 𝑗, 𝑘 векторларының үштігі үшін ассоциативтік аксиома орындалмайды. Шынында да, [^[𝑖, 𝑖^], 𝑘] = ^[𝜃, 𝑘^]=

𝜃, [𝑖, ^[𝑖, 𝑘^]] = ^[𝑖, −𝑘^]= 𝑘 бірақ 𝑘 ≠ 𝜃 (бұл жерде 𝑖, 𝑗, 𝑘 - кез келген декарттық базистің векторлары).

Тағы бірнеше мысал қарастырайық:

мысал. 𝑆(𝑀) – берілген 𝑀 жиынын өзіне бейнелейтін барлық биектив бейнелеулер жиыны болсын. 𝑆⁽𝑀⁾жиынында ∘ көбейту амалы ретінде бейнелеулердің біртіндеп орындалуын алайық, яғни 𝑀 жиынының әр 𝑥 элемені үшін

⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾⁽𝑥⁾= 𝑓(𝑔(𝑥))

теңдігі орындалатындай 𝑓 ∘ 𝑔 бейнелеуін анықтайық. Егер 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆(𝑀) болса, онда 𝑓 ∘ 𝑔 ∈ 𝑆(𝑀) болатын айқын. Демек, ∘ −𝑆(𝑀) жиынында анықталған алгебралық амал. ^〈𝑆⁽𝑀⁾,∘^〉алгебралық жүйесінің топ болатындығын көрсетейік. 𝑓, 𝑔, ℎ − 𝑆(𝑀) жиынының кез келген бейнелеулері болсын. ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) болатынын көрсетейік. Ол үшін теңдіктің екі жағында тұрған бейнелеулердің мәндері тең болатындығын, яғни кез келген 𝑥 ∈ 𝑀 үшін (⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ)(𝑥) = (𝑓 ∘ ⁽𝑔 ∘ ℎ⁾)(𝑥) болатынын көрсету керек. Кез келген 𝑥 ∈

𝑀 элементін алып, ℎ(𝑥) мәнін 𝑦 арқылы, 𝑔(𝑦) мәнін 𝑧 арқылы белгілейк.

Сонда

(⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾∘ ℎ)⁽𝑥⁾= ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾(ℎ⁽𝑥⁾) = ⁽𝑓 ∘ 𝑔⁾⁽𝑦⁾= 𝑓(𝑔⁽𝑦⁾) = 𝑓(𝑧),

(𝑓 ∘ ⁽𝑔 ∘ ℎ⁾)⁽𝑥⁾= 𝑓(⁽𝑔 ∘ ℎ⁾⁽𝑥⁾) = 𝑓 (𝑔(ℎ⁽𝑥⁾)) = 𝑓(𝑔⁽𝑦⁾) = 𝑓(𝑧).

Ендеше, 𝐺1 аксиомасы ақиқат. 𝑆(𝑀) жиынында бірлік элемент ретінде кез келген 𝑥 ∈ 𝑀 үшін id⁽𝑥⁾= 𝑥 болатын теңбе-тең id бейнелеуін алу керек. Кез келген 𝑓 ∈ 𝑆(𝑀) бейнелеуі үшін кері болатын элемент, әлбетте, 𝑓 бейнелеуіне кері 𝑓⁻¹ бейнелеуі болады. Сонымен, ^〈𝑆⁽𝑀⁾,∘^〉топ болады.

мысал. Егер 1-мысалдағы𝑀 жиыны ретінде {1,2, … , 𝑛} жиынын алсақ және

𝑆(𝑀) жиынын 𝑆(𝑛) деп белгілесек, онда ^〈𝑆⁽𝑛⁾,∘^〉элементтерінің саны ақырлы болатын топтың немесе, қысқаша айтқанда, ақырлы топтың мысалы болады.

𝑆(𝑛) тобының элементтері 𝑛 дәрежелі ауыстырулар, ал ^〈𝑆⁽𝑛⁾,∘^〉тобы 𝑛

жүктеу/скачать 343,29 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 22