Дәріс Интеграл
жүктеу/скачать 1,27 Mb.
|
Дәріс 7
|
Дәріс 7. Интеграл Үздіксіз функциясын аралығында функциясының алғашқы функциясы деп аталады, егер кез келген үшін туындысы бар болса. Сонымен қатар аралығындағы функциясы барлық алғашқы функцияларының жиынын функциялары анықтайды, мұндағы с – тұрақты сан. Функциялардың мұндай жиынын функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және деп белгіленеді. Біздің ойымызша, оқырман анықталған интегралдың анықтамасын біледі, сондықтан бұл ұзақ анықтаманы еске түсірмейміз. «Интеграл » командасы арқылы координата басынан өтетін, берілген функциясы бойынша алғашқы функция графигін құруды GeoGebra ортасы ұсынады. Анықталған интегралды келесі команда арқылы есептеуге болады: «Интеграл ». Бұл тақырып бойынша есепті шешу үшін жеткілікті. GeoGebra ортасындағы белгілі бір интеграл мен алғашқы функцияның ұғымдарын толық меңгеру үшін төмендегі құрылымдарды орындау пайдалы. Алдымен, функциясы арқылы оның алғашқы функциясының графигін құрамыз (55-сурет). Абсцисса өсінде Х нүктесін белгілеп, нүкте арқылы тік түзу жүргіземіз. Содан кейін, анықталған интегралды Интеграл командасы арқылы есептейміз, мұнда (Х нүктесінің абсциссасы) және мысалы, . F нүктесін із қалдыруға мәжбүрлеп, Х нүктесіне анимация береміз. F нүктесі берілген функциясының алғашқы функциясын, жоғары шекті интеграл сияқты функция графигін салады. Осы функцияның бастапқы графигін сызуды физикалық мазмұнмен толтырамыз және келесі тапсырманы шешеміз. Есеп. Аспаптар БҰО қозғалыс жылдамдығын өзгеруін тіркеген: ол формуласымен орындалды, мұнда - секундпен берілген уақыт. Куәгерлердің мәлімдеуінше, БҰО тік қозғалып, көкжиектен кенеттен пайда болып, күн сәулесінде жоғалып кетті. Объект көкжиек сызығынан 5 сантиметрге тұратын, 500 метр биіктікке сәйкес келетін бір ғана сурет жасады. Бұл деректер бойынша БҰО қозғалысын модельдеңіз және егер автоматты фотоаппарат нақты 12-де жұмыс істегендігі белгілі болса, онда БҰО-ң пайда болу уақытын табыңыз. Есептің аналитикалық шешімін оқырманға қалдырамыз. Модельді құру (56-суретті қара). Суретті сканерлеп -файлға орналастырамыз. Координаттар жүйесін енгіземіз. Көкжиек сызығын абсцисса өсінен алайық, координаталардың басы сурет жасалған сәтке сәйкес болсын. Абсцисса өсінің бірлік аралығы – бір секундқа, ал ордината өсінің бірлік аралығы – көкжиек үстінен жүз метрге сәйкес келсін. Шарт бойынша, БҰО суретте координатасына ие. Абсцисса өсінде АВ аралығын құрамыз (біздің жағдайымызда , ), аралықта Х нүктесін белгілеп, нүкте арқылы тік түзу жүргіземіз (анимациялау кезінде нүкте бір қалыпты қозғалуы үшін, Х нүктесін жай ғана абсцисса өсінде ғана емес, аралықта құрамыз). функциясының графигін құрамыз. 54-суретті құру барысында да, берілген функция алғашқы функциясының графигін сызатын F нүктесін құрамыз. Бірақ бұл алғашқы функция шартты қанағаттандырмайды: ол нүктесі арқылы өтпейді. Абсцисса өсімен алғашқы функция графигі қиылысатын D нүктесін, нүктесін белгілеп, векторын құрамыз және F нүктесін векторына жылжытамыз. Х анимациясы кезінде із қалдыра отырып, БҰО-ң ізделген қозғалыс графигін сызатын нүктесін аламыз. БҰО-ң қозғалыс моделін құру үшін нүктесі арқылы көлденең түзу жүргізіп, бұл түзу мен ордината өсінің қиылысын С нүктесімен белгілейміз. Бұл нүктені БҰО-ні көрсететін шеңбер іспеттес сызамыз. «Көкжиек сызығы» мен «БҰО»-дан басқасының барлығын жасырамыз. Х нүктесінің анимациясын қосып, объект қозғалысын бақылаймыз. Шарттар қоямыз: , болатын, дәлдік дәрежесі реттелетін, арқылы өтетін, осы функцияның алғашқы функциясы тәрізді графигін жақындататын, функциясының аралығында үздіксіз график бойынша, виртуалды құралды құру. Бұл міндетті шешу белгілі бір интеграл мен алғашқы функциялардың теориясына тереңірек енуге мүмкіндік береді. функциясының аралығында және белгісі өзгермесін. Ньютона-Лейбниц формуласы бойынша, , мұнда - алғашқы функциясы. Бұдан . Егер аралығында функция оң болатын болса, ал аралық ұштарында нөлге тең болуы мүмкін болса, онда трапецияның орта сызығы болғанда, интеграл трапеция ауданына тең: . Егер аралығында функция теріс болатын болса, онда интеграл «теріс» таңбасымен алынған трапеция ауданына тең, яғни бұл жағдайда да дәл сол теңдікті аламыз. Сонда, екі жағдайда да . Осылайша, алғашқы функцияның нүктесін, бастапқы нүкте арқылы геометриялық түрде салуға болатын, нүктесімен ауыстыру оңай. -ді -ге, ал -ді ауыстыра отырып, нүктесінің орнына нүктесін қолдана отырып, нүктесінің алғашқы функциясын және де оны ары қарай құру ыңғайлы. Осы әдісті жүзеге асырамыз және GeoGebra ортасында дәлдік дәрежесі реттелетін осы нүкте арқылы өтетін, осы функцияның алғашқы функциясының графигінің нүктелерін жуықтап табу үшін виртуалды құрылғы құрамыз. Салу (56-сурет): Координата басы О болатын, нүктесін құрамыз және енгіземіз. Енгізу жолағы арқылы функция графигін құрамыз. Абсциссалар өсінде Х нүктесін белгілейміз, нүкте арқылы тік түзу жүргіземіз және функция графигі мен тік түзудің қиылысу нүктесін А деп белгілейміз. Кейін нүктесін құрып, нүкте арқылы тік түзу жүргізіп, берілген функция графигі мен тік түзудің қиылысу нүктесін В деп белгілейміз. АВ аралығының ортасы С нүктесін құрып, сол нүкте арқылы көлденең түзу жүргіземіз және осы түзу мен ордината өсінің қиылысын D нүктесімен белгілейміз. Осылайша, , нүктелері арқылы , , нүктелерін аламыз. құрамыз. Ол үшін бірлік нүктені белгілеп, Е бірлік нүктесін D нүктесімен жалғаймыз және нүкте арқылы параллель салынған тік кесінді өткіземіз. Ордината өсінде ізделінді нүктені белгілейміз . Х нүктесі арқылы өтетін тік түзуде, алғашқы функция графигі өтетін нүктесін белгілейміз. және нүктелерінің суммасын құрамыз. Ол үшін ОН аралығын құрып, F нүктесі арқылы құрылған аралыққа параллель түзу жүргіземіз. Х нүктесі арқылы өтетін, салынған түзу мен тік түзудің қиылысын нүктесімен белгілейміз. Оның ординатасы тең. Х нүктесі арқылы өтетін тік түзуге нүктесін құрып, берілген алғашқы функция графигінің екінші нүктесі - аламыз. Берілген функциясын басқа функциямен алмастыруға болады және құрылған виртуалды құрал басқа нүктеде бірінші жаңа функцияны құруға мүмкіндік береді. Салынған виртуалды аспапты графиканың бірнеше нүктелерін бірден құрумен толықтыруға болады. 58-суретте бірінші таңбалы графиканың бірден 20 нүктесін салатын аспап бар ( үшін). Құрылымның бірізділігін «құру қадамдары» бойынша көруге болады. Онда із қалдыратын нүкте қойылған және оның анимациясы кезінде бұл сынық сызылады. Аспапты пайдалану кезінде, оның тек осы функцияның белгісі аумағында ғана қолданылуын қадағалаймыз. Тұрғызу дәлдігін тексеру үшін, енгізу жолымен бастапқы кестені құрайық, тік сызықпен салынған графиктің қиылысуын Х нүктесі арқылы өтетін, нүктесімен белгілейміз. Сосын Н бастапқы нүктесін нүктесімен байланыстырамыз. Графиканың салынған нүктелері алғашқы графикке дәл келеді.Т нүктесінің анимациясын қосқанда, ол график бөлігін сызады. Барлық сынық сызуды аяқтағаннан кейін анимацияны тоқтатамыз, Т нүктенің із қалдыру қасиетін ажыратып, Х нүктесін нүктесіне қарай, ал Н нүктесін нүктесіне қарай жылжытамыз. Т нүктесін тағы із қалдыруға мәжбүрлеп, анимцияны қосамыз және Т нүктесі алғашқы функция графигінің келесі бөлігін сызады және солай жалғаса береді(58,59,60 - суреттер). Жаңа алғашқы функция графигін сызудың мысалы ретінде функциясын алайық, сонымен қатар, жүздікке дейін санына жақын мәндерді табайық. Алғашқы функция графигінің 20 нүктесін сызу үшін құрылған виртуалды құралды қолданамыз (58-суретті қара). «Қасиеттерде» бұрынғы функцияны жаңаға ауыстырамыз: . Оның графигі бірлік радиусты жарты шеңбер болып табылады, ал бұл жарты шеңбердің ауданы тең (61-суретті қара). Біз нүктесі арқылы өтетін алғашқы функция графигін сызатын болғандықтан, онда алғашқы функция болады және графиктің соңғы нүктесінің ординатасы жарты шеңбер ауданына тең болуы керек, яғни . Команда арқылы енгіземіз. Объектілер тақтасында алғашқы функция графигін салып болғаннан кейін, графигінің соңғы оң жақ нүктесі , координатасына ие. Яғни , бұдан . жүктеу/скачать 1,27 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|