Алпысов А.Қ. Математиканы оқыту әдістемесі оқу құралы Павлодар, 2012

а) белгілі дәлелдерді пайдалана отырып тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады;

б) көзбе – көз дұрыс емес деп (әсіресе сызба теріс сызылғанда) ұйғарудың қандай қажеттігі бар екендігі оқушыларға түсініксіз болады.

Мысалы, бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр туралы теореманы дәлелдегенде бір мұғалім, сызба жөнінде еш нәрсе айтпай «бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бір Р нүктесінде қиылысады екен дейік», - деп тақтаға екі перпендикулярды Р нүктесінде қиылыстырып сызған. «Р нүктесінен түзуге неше перпендикуляр түсіріледі?» дегенде кей балалар

«төртеу», кейбіреулері «Р нүктесінен бір де бір перпендикуляр түсірілген жоқ» деп жауап берген. Бұл сызбаның нені кескіндейтінін оқушылардың түсінбейтіндігі. Істелінетін істің, керісінше, теріс жақтарын байқап қарап, содан кейін қорытынды жасау өмірде де көп кездеседі. Сондықтан мұғалім өмір тәжірибесінен мысалдар келтіруіне болады. Бұл әдістің бір жақсылығы дәлелдегенде қорытындының дұрыс жағымен қатар, оның бірнеше қате жақтарымен танысуға мүмкіншілік болады. Теореманы беттестіру тәсілімен дәлелдеу былайша қарағанда оңай сияқтанғанымен бұл тәсілді оқушылар көбіне дұрыс түсінбейді. Мысалы, беттестіру арқылы үшбұрыштардың теңдігін дәлелдегенде, оқушылар үшбұрыштар беттестірілсе, олардың теңдігі содан келіп шығатынын біліп, беттестіруге тырысудың орнына, олар үшбұрыштар тең болса болғаны өзінен-өзі беттеседі деп түсінеді. Егер

дәлелдеу процесінде көрнекті құрал ретінде қағаздан немесе картоннан жасалған тең екі үшбұрышты қолдансақ, онда олар оқушылардың ойлағанындай бірімен–бірі беттесе кетеді де беттестіру тәсілінің қыр–сыры оқушыларға байқалмайды. Сондықтан дәлелдегенде екі үшбұрыш алып, мынандай жағдайларды қарастырған жөн:

а) қабырғалары да, бұрыштары да тең емес кез–келген екі үшбұрыш аламыз. Үшбұрыштардың ешбір тең элементтері болмаса да, олардың бір төбелері мен қабырғаларын бірінің үстіне бірі келетіндей етіп беттестіруге болады, бірақ үшбұрыштардың басқа элементтерінің біріне–бірінің дәл келмеуі бізге байланысты емес;

б) егер екі үшбұрыштың біреуінің бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышы, екіншісінің сәйкес бір қабырғасы мен іргелес бір бұрышына тең болса, онда сол тең бұрыштарды жасайтын сәйкес екінші қабырғалары, тең болмаса да, үшбұрыштарды беттестіргенде бірінің бойына бірі келеді, бірақ үшінші сәйкес төбелері бір – біріне дәл келмейді.

3. 
   Математиканы оқып-үйрену ұғымды қалыптастыру мен оны терең танымдық дәрежеге жеткізуден, математикалық тұжырымдарды, теорияларды дәлелдей білуге үйретуден және оны нақтылы іс-әрекетте, есеп шығаруға қолдана білуден тұрады. Мұның маңыздысы математикалық ұғымдарды игеру болғандықтан, оның алатын орны да ерекше. Оқушының білім – танымының бастауы оның қолданылар аясының кеңдігі мен түсінігі үшін мұғалімнің өзі олармен жете таныс әрі оның қасиетінен жан – жақты хабардар болуы керек. Сонда ғана шындық дүниенің заттары мен құбылыстары туралы оқушы дұрыс түсініктер алып, олар туралы тура ой түзеді. Мұның өзі баланың дамуына, ойының жетлуіне игі әсер етіп, алған таным – білімдерін әрі қарай толықтырып, ұштап, күнделікті өмірде қолдана білуіне жол ашады. Математикалық ұғымдарды қалыптастыру оқушылардың белсенді іс-әрекетінсіз мүмкін емес. Математикалық ұғымдарды игеру таным процесінің жалпы және нақтылы іс-әрекеттері арқылы жүзеге асырылады. Оларға жалпылау, нақтылау, анализ, синтез, салыстыру, аналогия, жіктеу және бір жүйеге келтіру іс-әрекеттері жатады. Математикалық ұғымды игеру оқушының аналитикалық-синтетикалық қызметінің нәтижесі ретінде түсіндіріледі. Талдау арқылы оқушы заттар мен құбылыстардың жекелеген қасиеттерін бөліп алады, ал синтез көмегімен жалпы белгілері бойынша оларды біріктіреді. Одан соң объектінің ерекше қасиеттері абстракцияланып, терминдермен бекітіледі. Бұл процесс бөлініп алынған ұғымды қолдана білумен аяқталады. Математикалық ұғымдардың қалыптасуы күрделі процесс. Ұғымдардың қалыптасуы мынадай схема бойынша жүреді: қабылдау – сезіну – түсінік – ұғым.
   

1. 
   Нақты - индуктивтік әдіспен ұғымды ендіруде оқыту процесінің негізгі кезеңдері мыналар:
   

1. 
   берілген ұғымның қажеттігін көрсететін (қабылдау-сезіну) практикалық мысалдар келтіру;
   
2. 
   берілген ұғымның маңызды және өте маңызды емес белгілерін анықтайды (оқушылар) және берілген ұғымды белгілейтін термин ендіреді (мұғалім). Ол үшін қабылдаудан (сезіну) түсінікке өтетін өтпелі кезең керек, берілген ұғымды белгілейтін терминнің дәлелі қажет (мұғалім);
   
3. 
   берілген ұғымның барынша маңызды қасиеттері таңдап алынады және осы ұғымның анықтамасы тұжырымдалады (оқушылар); бұдан соң оған мұғалім дәл анықтама береді, мұны оқушылар қайталайды. Бұл үшін арада түсініктен ұғымға ауысатындай жағдай болуы керек.
   
4. 
   арнайы бөліп алынатын ұғым нақты мысалдармен көрсетіледі, қарама-қарсы мысалдар келтіріледі және символдық белгілеуі көрсетіледі (оқушы және мұғалім). Бұл ұғымның пайда болуын білдіреді.
   
5. 
   бұдан соң оқушылар басқа ұғымға мүмкін болатын басқа анықтама береді. Бұл ұғымның меңгерілуі болады.
   

2. 
   Абстракты-дедуктивтік әдіспен оқушылардың оқытудың негізгі кезеңдері келесілер болып табылады:
   

1. 
   ең алдымен жаңа ұғымға анықтама беріледі, бұл үшін оны белгілеуші термин дәлелденеді.
   
2. 
   бұдан соң ұғым ендірілген өрнектің жеке және ерекше жағдайлары қарастырылады. Контур мысалдар келтіріледі.
   
3. 
   келесі кезекте ендірілген ұғым нақты мысалдар арқылы иллюстрацияланады.
   
4. 
   соңында ендірілген ұғымның қосымшасы үшін мысалдар келтіріледі.
   

3. 
   Сабақта оқушыларға берілген жаңа ұғымның меңгерілгенін қалай білуге болады?
   

• 
  ұғымның көлемі мен мазмұны туралы толық түсінігі болады;
  
• 
  математикалық іс-әрекеттің барысында ұғымды қолдана біледі;
  
• 
  жаңа жағдайларда өзінің білімі мен тәжірибесін қолдана біледі.
  

4. 
   Ұғымның анықтамасынан оқушылар қателіктер жібермеуі үшін олар анықталған және анықтаушы ұғымдарды ажырата білуі керек.
   

Сонымен бірге оқушылар ұсынылған анықтаманың маңызды талаптарын білуі керек:

• 
  кез келген анықтама өлшемде болуы, яғни анықталушы объектінің көлемі анықталған ұғымның көлеміне тең болуы керек. Қате анықтамалардың мысалдарын келтіру керек.
  
• 
  анықталушы ұғымды сол ұғымның өзімен тікелей анықтауға болмайды.
  
• 
  анықтамалар мүмкіндігіне қарай объектіні керісінше анықтамауы керек.
  

5. 
   Жаңа ұғымды ендіру барысында мұғалім оның белгілеріне назар аудару керек. Егер мұғалім ұғымның анықтамасын тұжырымдамадан, кітаптағы берілген сызбалы көрсетумен шектелсе, онда оқушылар бұл ұғымды дұрыс меңгермейді. Математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруге мақсатты түрде қойылатын ауызша жаттығулар мен сұрақтар жүйесінің зор маңызы бар.
   
6. 
   Оқушылар жіберген қателерді түзеткеннен гөрі алдын ала сақтандыру жұмысын жүргізген дұрыс. Ол үшін:
   

• 
  жаңа ұғымды формальді ендірмеу керек;
  
• 
  оқушыларды ұғымдардың анықтамасын өз бетінше үйренуге баулу керек;
  
• 
  ендірілген ұғымның, сөздің, анықтаманың дәлелдеулерін табу;
  
• 
  сабақтың соңында осы сабаққа қажетті ұғымның анықтамасын қайталау;
  
• 
  жаңа ұғым мен ескі ұғымның арасындағы байланысты орнату;
  
• 
  анықтамаларды анық, дәл, қысқа, қатаң тұжырымдауды талап ету.