Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері

1⁰. (∫f(x)dx)^/=(F(x)+C)^/=f(x)

2⁰. ∫kf (x)dx=k ∫f(x)dx

3⁰. ∫ (f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+∫g(x)dx

4⁰. ∫ f(x)dx=f(x)

5⁰. ∫df (x)=f(x)+C

6⁰. ∫ f(ax+b)dx= F (ax+b)+C

Мысалдар

1. 
   а) [∫ (x²+5)dx]=x²+5
   

g) ∫d(sinx)= ∫ (sinx)dx=sinx+C

2. 
   Егер f(x)=∫d(x²-4) болса, онда f^/(5) неге тең?
   

3. 
   Егер f(x)= ∫(x³-4x+5)dx болса, онда x=2 нүктесінде жанаманың бұрыштық коэффициенті неге тең?
   

4. 
   Егер ∫x*f(x)dx=2x²+5x-3 болса, онда f(x) неге тең?
   

5. 
   Егер F(x)=∫
   
6. 
   f(x)=∫(х²-2х+3)dx фунциясының иілу нүтесін табыңыз.
   

2. 
   Интегралдар кестесі
   

1. 
   ∫xⁿdx= +C
   
2. 
   ∫ =ln|x|+C
   
3. 
   ∫a^x*dx= +C (a≠1)
   
4. 
   ∫eˣ*dx=eˣ+C
   
5. 
   ∫sinx*dx=-cosx+C
   
6. 
   ∫cosx*dx=sinx+C
   
7. 
   ∫
   
8. 
   ∫ =-ctgx+C
   
9. 
   ∫tgx*dx=-ln|cosx|+C
   
10. 
    ∫ctgx*dx=ln|sinx|+C
    
11. 
    ∫ rctgx+C (-arcctgx+C)
    

12. 
    ∫ = ln |+C (a≠0)
    
13. 
    ∫ =arcsinx+C (-arccosx+C)
    

14. 
    ∫
    

1. 
   A) ∫x³dx=
   

c) ∫5xdx=5∫xdx=5*

d) ∫ (5x²+2)dx=5∫x²dx+2∫dx=5*

2. a) ∫

b) ∫ dx.

3. a) ∫ 5³ˣdx b) ∫ 5³ˣ⁺⁴dx g) ∫e^2xdx

4. a) ∫sin5xdx=-

b) ∫cos (5x+3)dx=

d) ∫

g) ∫

Интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдау кестесінің қорына байланысты:

1. 
   Тікелей интегралдау;
   
2. 
   Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау;
   
3. 
   Бөліктеп интегралдау.
   

1. 
   Тікелей интегралдау әдісі
   

1. 
   sin²x+cos²x=1, sinx=
   
2. 
   ctgx= , tgx*ctgx=1
   
3. 
   cosec , secx=
   
4. 
   sin2x=2sinx*cosx, cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x
   
5. 
   sinx*cosy=
   

cos*cosy= (cos(x+y)+cos(x-y))

sinx*siny= (cos(x+y)-cos(x-y)).

Мысал, ∫ интегралын есептеп, нәтижесін дифференциалдау арқылы тексеріңдер. Алымын бөліміне бөліп, интегралдың қасиетін және кестені пайдаланып, шығарамыз:1. ∫ ^-1/4dx-2∫ x^15/4dx+∫ x^5/12dx=4x^3/4- x^19/4+ x^17/12+C=4 - ¹⁹+ ¹²√x¹⁷+C.

2. 
   ∫
   
3. 
   ∫ cos7xdx
   
4. 
   ∫sin(2x-6)dx
   
5. 
   ∫ sin²xdx
   

2. 
   ∫
   
3. 
   ∫ dx
   

5.∫

6. ∫ dx

7. ∫ dx= ∫ dx= ∫ =dx= ∫(1-cosx)dx=x-sinx+C