Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар

Анықтама. Егер maxΔx_i→0 (n→∞) болғанда интегралдық өосындының ақырлы шегі бар болса, онда ол f(x) функциясының [а,в] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады. Белгіленуі: ^b_a∫ f(x)dx.

Сонымен , lim Σⁿ f(x_i)Δx_i= f(x)dx. (1)

_{max→0 i=1}

мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция. f(x)dx –интеграл астындағы өрнек, а саны- интегралдың төменгі шегі, в саны- интегралдың жоғарғы шегі, х айнымалысы- интегралдау айнымалысы деп аталады.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   Егер [а,в] (а<в) аралығындағы х айнымалысының барлық мәндері үшін f(x)≥0 болса, онда ≥0
   
7. 
   Егер [а,в] (а<в) аралығындағы f(x)≤φ(x) болса, онда
   

2. 
   Анықталған интегралды есептеу
   
   1. 
      Ньютон-Лейбниц формуласы
      

Бұл теңдік Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Кейде мына белгілеу қолданылады: ^b_a.

Ньютон-Лейбниц формуласы анықталған интегралды есептеуге арналған жалпы формула. Ал анықталған интегралды есептеу әдістері анықталмаған интегралды есептеу әдістерімен бірдей. Мысалдар:

1. 
   |³₁₌
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

2. 
   Айнымалыны алмастыру әдісі
   

Мысалдар:

1. 
   = ³₂= (3³-2³)=
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

3. 
   Бөліктеп интегралдау әдісі
   

u(x), v(x) функциялары х аргументі бойынша [а,в] аралығында дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда d(uv)=udv+vdu болатыны белгілі. Осыдан теңдікті [а,в] аралығында интегралдасақ, онда

(4) формуласы анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады.

Мысалдар:

1. 
   = -xctgx|^π/3_π/4+ |^π/3_π/4+ln|sinx||^π/3_π/4=-
   
2. 
   ^x+lnxdxdx
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

1. 
   Анықталған интегралдың анықтамасы
   
2. 
   Ньютон-Лейбниц формуласы
   
3. 
   Анықталған интегралда айнымалыны алмастыру формуласы
   
4. 
   Анықталған интегралда бөліктеп интегралдау әдісі.
   

Деңгейлік тест тапсырмалары

Тест1

1. 
   dx
   

В) ln(3+е)

С)1+ ln3

D)3+ln3

2. dx

A)2 -2е

В) -е

С)2 -е

D)е- 2

Е) -2е

3. -6х+9)dx

A)2 В)3 С)6 D)5 Е)1,5

4. dx

A)cos1

В)-cos1

D)sin1-1

5. dx

A)

В)

С)

D)

Е)

6. dx

A)

В)32

D)64

7.

A)3

В)2

D)4

8. dx

A)-24

В)

D)

Е)

9. dx

A)

В)

С) D) Е)

10. dx

A) B) 2 C) D) 3 E)

ТЕСТ 2

1. dx

A) 9 B)-12 C) D) 12 E)-9

2. dx

A) B) 24 C) D) E)-4

3. dx

A) B) 2 C)1 D) E)

4. dx

A) B) 2 C) D) E)

5. )dx

A)-1 B) 1 C) D) E)2

6.

A)1+ B) 1 C) D) E)

7. dx

A) B) 2 C) D) E) 0

8. dx

A)e B) 2 C) -1 D) E) e-

9. ⁴ *(3 )dx

A)- B) 1 C) D) E)

10.

A)0 B) -2 C) D) E)2

2.3 Анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

2.3.1. Тікбұрышты координаталардағы аудан

а)Егер [a,b]кесіндісінде болса,онда осы кесіндіде

S(x)= dx

Интегралы қисық сызықты трапецияның ауданын өрнектейді.

Егер [a,b]кесіндісінде болса,онда қисық сызықты трапеция Ох осінің төменгі жағында орналасқан және dx 0. Бұл интеграл трапецияның ауданын «минус» таңбасымен анықтайды.

Мысалы y=sinx синусойдасымен және Ох осімен шектелген аймақтық ауданды табу керек. (0≤x≤2π)

2 cурет Функцияның графигі

[0 ] аралығында sinx 0, ал [ ] аралығында sinx 0 болғандықтан, берілген аймақтың ауданын табамыз.

S(G)= - =-cosx +cosx =-cos -cos =4

б)x=a,x=b түзулерімен және [a,b] аралығында үзіліссіз у=f₁(x), у=f₂(x) (мұндағы f₁(x) f₂(x)) функциялардың графиктерімен шектелген аймақтың ауданы мына формуламен табылады:

S(x)= dx

Мысалдар:1. y= , y=x² параболамен шектелген G аймағының ауданын табу керек.

Шешуі теңдеулер жүйесін , осы қисықтардың (0;0) және (1;1) қиылысу нүктелерін табамыз. [0;1] кесіндісінде ≥х² орындалатын болғандықтан

S(G)= dx= - = - =

4сурет. Фигураның ауданы.

2. 
   y=lnx және y= x қисықтарымен шектелген фигураның ауданын табыңдар.
   

S(x)= dxформуласын қолданамыз. S= dx

3.y=2x-x²параболасы және у=-xтүзумен шектелген фигураның ауданын табыңдар.

Шешуі : Параболаның теудеуін қарастырайық:

y= -x²+2x y=-(x²-2x+1)+1 y-1=(x-1)²

Бұл параболаның төбесі (1,1) нүктесінде және ол х=1 түзуі бойынша симметриялы орналасқан.Берілген параболаның және түзудің графигін салайық. Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп , А мен В нүктелерінің абсциссаларын табайық:

3x-x²=0 x(3-x)=0. x₁ =0. x₂=3



S= = dx= - ) = - = (кв.бірлік)

4.y=x² параболасы және y=3-x түзуімен шектелген фигураның ауданын табыңдар.

Шешуі . Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп,қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табайық:

S= dx=(3x- ) =3*1,3- - -(3*(-2.3)- )=7,84

5. у=х²-3х+5 және у=3 сызықтарымен шектелген дененің ауданын табыңдар.

Шешуі : Парабола мен түзудің теңдеулерін біріктіріп шешіп,қиылысу нүктелерінің абсцисаларын табайық:

Cонда

2. 
   Қисық доғаның ұзындығы
   

Төбелері таңдап алынған нүктелерде жататын L қисығына іштей сызылған сынықтың ұзындығын L_n деп белгілейміз.

L_n= +

қосындысының шегі L қисығының ұзындығы деп аталады.

Теорема. Түзуленетін y=f(x) функциясының [a,b] – да үзіліссіз дифференционалданатын графигі және оның ұзындығы мына формула арқылы анықталады:

l(L)= ²dx

мысалдар:

1.x=( cost+2tsint (0 t≤ )

Осы сызық доғасының ұзындығын табыңдар.

Шешуі: l= dt немесе l= dt

Формулаларын қолданамыз.

= 2tsint+( cost+2cost-2tsint) = cost

=-2tcost-(2- )sint+2sint+2tcost= sint

+( )= =

Сонымен, l= = =

2.y= қисығының координат бас нүктесінен В(4,8) нүктесінің арасындағы доғаның ұзындығын табыңдар.

Шешуі: Қисықтың теңдеуінен у¹= табамыз. Сонда

l = xdx= d( )= (1+ = (10 -1)

3. 
   l=ln (0≤x≤ ) теңдеуімен берілген қисықтың ұзындығые табыңдар.
   

l = dx= dx= )dx=(-x+ln ) = - +ln3

4. 
   y=1-lncosx (0≤x≤ ) теңдеуімен берілген қисықтың ұзындығын табыңдар.
   

l= dx= ²dx= ²dx= dx= dx=

t gx =tg -tg0=

2.3.3.Айналу денесінің көлемі

Кеңістікте Т денесі және Ох өсі берілген. Осы Т денесіне х нүктесінен өтетін Ох өсіне перпендикуляр қима жүргіземіз. Оның ауданын Ǫ(x)деп белгілейік.

Т денесінің Ох өсіндегі проекциясы [a.b] кесіндісі болсын,яғни у=Ǫ(x)функциясы осы кесіндіде анықталған. Осы Ǫ(x) функциясын [a.b] кесіндісінде үзіліссіз функция деп есептейміз.

Т денесі [a.b] кесіндісінде анықталған y=f(x) үзіліссіз функциясымен берілген қисық сызықты трапецияның Ох өсінен айналуынан шыққан дене болсын. Дөңгелектің ауданы

Ǫ(x)=πf(x)² формуласымен табылады, мұндағы f(x) дөңгелектің радиусы. Пайда болған айналу денесінің көлемі мына қатыспен анықталады:

V(T)=π (x)dx

Үзіліссіз дифференциалданатын y=f(x),(x€[a,b] және f(x)≥0) функциясының графигі Ох өсінен айналсын. Пайда болған Н- айналу бетінің ауданы

S(H)=2π )² dx

формуласымен табылады.

1. 
   Анықталған интегралды қолданып аудандарды есептеу
   
2. 
   Қисық доғасының ұзындығын есептеу
   
3. 
   Айналу денесінің көлемін есептеу
   
4. 
   Айналу бетінің ауданын есептеу
   

1. 
   x=2-y+y² және x=0 сызықтарымен шектелген фигураның ауданы
   

2.y=3x,y= , x=1, x=2 сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) В) С) D) E)

3. y= x² жәнеy=6x-x² сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) 16 B)14 C)12 D)10 E)8

4. y=x²,y=0,x=1,x=2 сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) B) C) D) E)

5.y=sinx,y=0,x= ,x= сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) B)1 C) D) E)

6.y= ,y=2 және у осі сызықтарымен шектелген фигураның ОУ осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі неге тең?

А) B) C) D) E)

7. y=lnx,x=e және х осі сызықтарымен шектелген фигураның ОХ осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) (e-1) B) (e+1) C) D)3 E)

8. y=cosx,x= , х осі және у осімен шектелген ауданның х осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) B) C) D) E)

9. y=-x² және y=x²-2 функцияларымен шектелген ауданның х осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) B) C) D) E)

10. y= параболасының мына екі нүктенің арасындағы доғаның ұзындығы:О(0,0) және

А( ; )

А) + ln( ) B) ln( ) C) +ln( ) D) E) - ln( )

1.y= ,y=0,x=1,x=0 сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А)1 B)е C)2е+1 D)е-1 E)

2. y=x²-4x+4 және y=x сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А)2 B)5 C)12 D) E)

3.y=x²-2x y=6x-x² сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) B) C) D) E)

4. y=x² және y=x сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) B) C) D) E)

5.y=x²-2x және y=-x²+2x сызықтарымен шектелген фигураның ауданы

А) B) C) D) E)

6.y=cosx және x= ,x= сызықтарымен шектелген ауданның х осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) B) C) D) E)

7.y=x²-2 және y=1 функцияларымен шектелген ауданның у осінен айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) B) C) D) E)

8.y²=4-x және x=0 сызықтарымен шектелген, у осін айналуынан пайда болған дененің көлемі

А) B) C) D) E)

9.у²=4x параболасының мына екі нүкте арасындағы доғаның ұзындығы:

О(0,0) және А( )

А) +ln( +2) B) ln( ) C) D) E) + ln( )

10.y=x²параболасының мына екі нүкте арасындағы доғаның ұзындығы О(0,0) және А( )

А) +ln( +2) B) + ln( ) C) - ln( +3) D) E) - ln( )

1. dx

А) +2x+CB) C) D) +5x+CE) +5x+C

2. (x- )dx

A) x² B) x² C) x D) x E) x

3. dx

A) +C B) +C C) +C D) +C E) +C

4. dx

A)2ln +C B)ln +C C) 2x²+C D)2x^-2+C E)2x^-1+C

5. dx

A) x⁴+C B)5x⁴+C C)5x⁶ +C D) +C E) +C

6.

A) +C B) +C C) +C D) +C E)6x⁵+C

7.

A) arctgx+C B) arcctg +C C) arctg +C D) C E) +C

8. dx

A) C+x-e^-x(x+1) B) + +arcsinx+C C) -x+arctgx+C D)C- (x+1) E) C- (x-1)

9. dx

A) 0.2(x³-8)⁵+C B)x⁴+x²+8x+C C) ( -8)^6\5+C D) 5(x³-8)^7\5+C E) 0.2(e+1)⁵

10. dx

A) arcsinx-2 +C B) arcsinx- +C C) arcsinx+ +C D) arcsinx+2 +C

E) - arcsinx+C

11. dx

A)e^x+e^-x+C B) e^x-e^-x+C C) e^-x-e^x+C D)2(e^x+e^-x)+C E) (e^x+e^-x)+C

12. (tgx)

A) x+C B) x+C C) x+C D) x+C E) x+C

13.

A) x+C B) x+C C) x+C D) x+C E) x+C

14. dx

A) 3* ln2+C B) * ln2+C C) +C D) ln2+C E) * +C

15. dx

A) +C B) +C C) +C D) E) +C

16.

A)C- B) C- C) C- D) C- E) C-

17.

A) +C B) ³ +C C) 2 ³ D) +C E) +C

18. dx

A)3cosx+12x²+C B)-3cosx+x⁴+C C)3sinx+x⁴+C D)3cosx+x⁴+C E)-3cosx+12x²+C

19. dx

A) e^3x-5+C B) 5e^3x-5+C C) 3e^3x-5+C D) e^3x-5+C E) e^3x-5+C

20.

A) +C B) +C C) +C D) +C E) +C

1. 
   Әбілқасымова А.Е және т.б. Алгебра және анализ бастамалары 11 сынып- Алматы
   
2. 
   Гусев В.А, Мордкович А.Г Математика: Анықтама материалдар. Оқушыларға арналған кітап.
   
3. 
   Анарбекова Ә, Бейсеков Ж, Назанов Ж. «Алгебрадан ҰБТ-ға дайындауға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы»
   
4. 
   П.А.Ларичев, «Алгебра есептерінің жинағы»