Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі

Кейде интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген ∫f(x)dx интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыларды ауыстыру әдісі деп атайды Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады.

Теорема. Анықталмаған ∫f(x)dx интегралындағы х айнымалысының орнына x=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін

∫ f(x)dx=∫f[φ(t)]φ^/(t)dt (1)

теңдігі орындалады.

Бұл әдісті қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты.

Мысалдар:

1. 
   ∫ х√х-3dx
   

∫ x√x-3xdx= ∫ (t²+3)t2tdt= ∫ (2t⁴+6t²)dt= ^5/2+2 (x-3)^3/2+C

2. 
   ∫
   
3. 
   ∫ √sinxcosxdx= |t=sinx, dt=cosxdx|=∫√tdt=∫ t^1/2dt= t^2/3+C= sin^3/2x+C
   
4. 
   ∫ x(x²+1)^3/2dx
   
5. 
   ∫ e^sinxcosxdx
   

t=sinx , x=arcsint dx= , cosx= √1-sin²x=√1-t²

∫e^sinxcosxdx= ∫e^t√1-t² = ∫e^tdt= e^t+C=e^sinx+C

6. 
   ∫ √a²-x²dx
   

Бұл әдіс көбейтіндінің туындысы формуласына негізделген:

(uv)^/=u^/*v+v^/*u

мұндағы u=u(x) және v=v(x)-дифференциалдары үзіліссіз х-ке байланысты функциялар. Дифференциалдық түрде былай жазуға болады:

d(uv)= udv+vdu

Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ: ∫ d(uv)= ∫ udv+ ∫ vdu Анықталмаған интегралдың келтірілген қасиеттеріне байланысты шығатыны:

uv=∫udv+∫ vdu немесе ∫ udv= uv-∫ vdu (2)

(2) формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің (u және dv) кһбейтіндісі түрінде қарастырады. Сол себепті бөліктеп интегралдау әдісінің тиімділігі u және dv көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты болады.

1. 
   ∫ x²sinxdx
   
2. 
   ∫e^2xcosxdx
   
3. 
   ∫ (x-7)sin5xdx= | |= - (x-7)cos5x+ ∫ cos5xdx=- (x-7)cos5x+ sin5x+C
   
4. 
   ∫ dx