Қарағанды облысының білім департаменті Орта оқу орындары оқушыларының аймақтық ғылыми – практикалық конференциясы «Жоғары математика және мектеп»

10 - сурет

Осы квадраттың S ауданы (a + b )² - қа тең. Квадрат әрқайсысының 1/2аb болатын төрт тең тік бұрышты үшбұрыштан және қабырғасы с - ға тең квадраттан тұрады, сол себепті

S = 4*1/2ab + c² = 2ab + c² .

Осылайша,

(a + b )² = 2ab + c² ,

осыдан

_.

————————————————————————————————–

[5]-Геометрия 7-9.Л. С. Атанасян. Орыс аудармасы (Нүсіпбаев Т.) «Рауан» , 1992 ,125 бет.

17
2. 10. Сипаттау № 2

11 - сурет

АВ

Ал АСD тік бұрышты үшбұрышынан cos (∟А)=AD теңдігін аламыз.

Осыдан АВ ∙ АD = AC² болатынын көреміз. Осы сияқты cos (∟В)=BD = BC

BC AB теңдігінен АВ ∙ ВD = ВC² теңдігі шығады. Осы шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып, АВ + ВD = АВ екенін ескерсек,

AC² + ВC² = АВ ∙ АD + АВ ∙ ВD = АВ(АD + ВD) = АВ²

теңдігін аламыз. Теорема дәлелденді [6].

————————————————————————————————–

[6]-Геометрия 8. Ә.Н. Шыныбеков. «Атамұра», 2004, 58 – бет

18

12 - сурет

АВС — берілген тік бұрышты үшбұрыш, оның тік бұрышы С болсын Тік С бұрышының төбесінен СD биіктігін жүргіземіз (11 – сурет).

Косинустың анықтамасы бойынша cos A = AD = AC.

AC AB

Бұдан АВ ∙ АD = AC². Осылайша cos В=BD = BC .

Бұдан АВ ∙ ВD = ВC². Шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып және де

АD + ВD = AB екенін ескерсек, былай болып шығады:

АС² + ВC² = AB (AD + BD) = AB².

Теорема дәлелденді [7].

—————————————————————————————————

[7] - Геометрия 7 – 11. А.В. Погорелов. Қазақша аудармасы Қаниев С., Бөкейханов Р. және т.б. «Рауан», 1995 – 384 бет.

19

2. 12. Сипаттау № 4

13 - сурет



—————————————————————————————————————

[4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.
20

2. 13. Сипаттау № 5

14 - сурет

теңдікке келеміз, одан:

[4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші кітап,

«Мектеп» , 1970, 315 бет.

21

2. 14. Сипаттау № 6

15 – сурет

Тікбұрышты АВС үшбұрышының қабырғаларына ВСС`B``, ACC``A``, ABB`A`

Квадраттарды салайық, оларды үшбұрыштың сыртқы жағына орналастырайық. Тік бұрыштың С төбесінен гипотенузаға перпендикуляр түзу жүргізіп, оның АВ гипотенузамен қиылысатын нүктесін N әрпімен, квадраттың A`B` қабырғасымен қиылысатын нүктесін М әрпімен белгілейік. Сонда ВСС`B`` квадраттың ауданы

гипотенузадағы квадраттың бір бөлігі - ВB``МN тік төртбұрыштың ауданына,

ACC``A`` квадраттың ауданы гипотенузадағы квадраттың екінші бөлігі - AA`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады. Алдымен осыны дәлелдейік.

22
Түзулер арқылы А нүктесін B`` нүктеге, С нүктесін B` нүктеге қосайық. Мұның нәтижесінде өзара тең АВB`` және ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштар пайда болады. Өйткені:

1. 
   АВB`` үшбұрышының ВB`` қабырғасы ВСВ` үшбұрышының ВС қабырғасына тең, екеуі де а, яғни ВСС`B`` квадраттың қабырғалары,
   
2. 
   АВB`` үшбұрышының АВ қабырғасы ВСВ` үшбұрышының ВB` қабырғасына тең, екеуі де с, яғни ABB`A` квадраттың қабырғалары,
   

∆ АВB``= ∆ ВСВ`.

B``В қабырғаны АВB`` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына А төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктіктің ұзындығы ВС-ге тең болады (чертежді күрделендіріп жіберетіндіктен, биіктік көрсетілмеген, бірақ оны түсіну оңай, ол АА` МN тік төртбұрышының ішінде орналасады, ВС,

B``С` қабырғаларға параллель және тең болады). Сондықтан : АВB`` үшбұрышының ауданы :

Демек, АВB`` үшбұрышының ауданы ВСС`В`` квадраттың ауданының жартысындай.

ВВ` қабырғаны ВСВ` доғал бұрышты үшбұрыштың табаны ретінде алып, оның созындысына С төбеден биіктік жүргізсек, ол биіктік (ВN және В`М кесінділерге параллель және тең, ВСС`В`` квадраттың ішінде орналасады) ВN-ге тең болады. Сондықтан : ВСВ` үшбұрышының ауданы:

S = 1/2 ВB` * ВN.

Мұндағы ВB` * ВN көбейтіндісі ВB`МN тік төртбұрыштың ауданын өрнектейді. Олай болса, ВСВ` үшбұрышының ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданының

жартысындай болады.

Сөйтіп, ВB`МN тік төртбұрышының ауданы ВСВ` үшбұрышының ауданынан екі есе артық, ВСС`В`` квадраттың ауданы АВB`` үшбұрышының ауданынан

екі есе артық болып шықты. Ал айтылып отырған үшбұрыштар өз ара тең. Ендеше ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына тең болады.

Дәл осылай, В нүктесін А`` нүктеге, С нүктесін А` нүктеге кесінділер арқылы қосып, доғал бұрышты АВА`` және АСА` үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеуге болады.Одан әрі АСС``А`` квадраттың ауданы АВА`` үшбұрышының ауданынан екі есе артық, АА` МN тік төртбұрыштың ауданы АСА` үшбұрышының ауданынан екі есе артық болатындығын , соның салдарынан АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрышының ауданына тең болатындығын дәледеуге болады.

23

ВСС`В`` квадраттың ауданы ВB`МN тік төртбұрыштың ауданына, АСС``А`` квадраттың ауданы АА` МN тік төртбұрыштың ауданына тең болып шықты. Албұл екі тік төртбұрыштың аудандарының қосындысы гипотенузаға салынған

Теорема дәлелденді [4].

—————————————————————————————————————

[4] – Математика мен математиктер жайлы әңгімелер. М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров.

Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.

24

Қорытынды.

Сонымен, қорытындылай келе, Пифагор теоремасы көп жағдайда өте қажет. Мысалы: есептер шығаруда, үлкен құрылыстарда, теоремаларды дәлелдегенде. Сондықтан бұл теореманың қыр – сырын толығырақ әрі тереңірек білу қызығушылық тудырады.

Математика тарихшыларының зерттеулері бойынша теореманы алғаш рет

Пифагор дәлелдеген. Оның нақты дәлелдемесі бізге жетпеген. Болжам

бойынша Пифагор бұл теореманы ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеген

болу керек.

Бұл келтірілген дәлелдеулер Пифагор теоремасының сөзсіз абсолюттік шындық екенін көрсетіп, табиғаттағы теориялық есептеулер мен табиғаттағы есептеулер бір – бірімен өзара тығыз байланыста болатынына қөз жеткізеді. Табиғат пен адам санасы біртұтас принциппен байланысты болғандықтан, ежелгі ұлы ғалымдар яғни, Пифагор, Евклид, Архимед, Аристотельдердің дәлелдеген ғылым жетістіктері әлі күнге дейін адамзат баласына қызмет етіп келеді. Табиғаттың басты принциптерін түсіну арқылы бұл заңдардың табиғат пен адам санасының бір – бірімен тығыз байланыста болатынын білдім. « Байланыс » деген сөз философия категориясының құрамына кіріп, шексіз тығыз байланыста болады. Адам санасының дамуы арқылы Пифагор теоремасы дәлелденді.

Пифагор теоремасы ­– геометрияның аса маңызды теоремаларының бірі. Көптеген теоремалар мен формулалар сол арқылы дәлелденеді. Олардың кейбіреулері:

6. 
   Сүйір бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.
   
7. 
   Доғал бұрышқа қарсы орналасқан қабырға туралы теорема.
   
8. 
   Үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған Герон формуласы.
   
9. 
   Екі нүктенің ара қашықтығының формуласы.
   
10. 
    Призма, параллелепипед,пирамида жөніндегі теоремалар.
    

Осы ғалымдардың еңбектері өмірде жиі қолданылып, математика – дәлелденген ғылым болып табылды.

25

Зерттеу жұмысының ұсынысы.

1. Менің ойымша Пифагор теоремасы әлемдік құпиялардан да қызықтырақ. Пифагор теоремасына қарасақ негізі оны дәлелдеудің бірнеше тәсілдері бар.

2. Математикада жүргізілген зерттеулер арқылы мынадай қорытынды жасалынды: математика тарихшыларының зерттеулері бойынша теореманы алғаш рет Пифагор дәлелдеген. Оның нақты дәлелдемесі бізге жетпеген. Болжам бойынша Пифагор бұл теореманы ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеген болу керек. Бұл келтірілген дәлелдеулер Пифагор теоремасының абсолюттік шындық екенін көрсетіп, табиғаттағы теориялық есептеулер осы принциппен байланысты екенін білдіреді.

3. Зерттеудің басында Пифагор теоремасын бір – екі тәсілмен дәлелдеуге болады деп ойласам, зерттеудің соңында көптеген тәсілмен дәлелдеуге болатынына көз жеткіздім.

4. Пифагор теоремасы жайлы сабақ өткенде оқушыларға теореманың арифметикалық тұжырымдамасын ғана айтып қоймай, негізгі геометриялық тұжырымдамасы жайлы мәлімет беру керек деп ойлаймын.

5. Математика мен оның нақты өмірдегі құбылыстардың өзара байланысы практикада жобамен былай іске асырылады: реалды объект туралы нақты және орынды дерек жинау және оны талдау, одан математикалық модельді талдау және осы модель негізінде қорытынды шығару, одан қорытындыны талдау және заттық интерпреация жасау.

6. Математикалық теорияны берік және терең білу политехникалық білім алудың негізін (фундаментін) құрайды. Мектеп математика курсының мазмұнында қарастырылып отырған формула немесе теорема не үшін керек

екендігін оқушыларға барлық кездескен жағдайларда түсінікті болатындай етіп ашу керек.

7. Математика пәнін оқыту барысында оқушылардың логикалық ой – қабілетін дамыту.

26

Қолданылған әдебиеттер:

1992 ,125 бет.

2 - Егемен Қазақстан, жалпыұлттық республикалық газет. №336 (25733),

14 қазан, 2009 жыл,2б

3 - Исқақов М.Ө., Назаров С.Н. Математика мен математиктер жайлы

әңгімелер.Екінші кітап, «Мектеп» , 1970, 315 бет.

4 – Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной

школе // Математика в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3.

5- Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу-білімді жетілдіру арқылы білім

экономикасына // Егенмен Қазақстан, 27 мамыр, 2006, №2б

6- Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. Қазақша аудармасы Қаниев С.,

Бөкейханов Р. және т.б. «Рауан», 1995 – 384 бет.

7 -Шыныбеков Ә.Н. Геометрия 8. «Атамұра», 2004, 58 – бет

27
Қосымша 1