Базарбаева Нургайса Умирхановна «Приурал «мектеп -бөбекжай – балабақша» кешені» кмм

«Қазақстан Республикасының 2015 жылға дейінгі білім беруді дамыту тұжырымдамасы» мемлекеттік тәуелсіздікті қалыптастыруды, нығайтудың елдің прогресшіл дамуының негізін құрайтын Қазақстан Республикасының білім беру жүйесін дамытудың мақсаттары мен міндеттерін, құрылымы мен мазмұнын және негізгі стратегиялық бағыттарын айқындайтын ғылыми-теориялық, әдіснамалық құжат болып табылады. Білім беруді дамыту тұжырымдаманың «білім берудің деңгейлері мен мазмұны» тарауында орта білім берудің мақсаты, міндеттері, сол міндеттерді іске асыру үшін қажетті мәселелер қарастырылған. Сол мәселелердің бірі - білім берудің мазмұнын дүниені тұтастай қабылдауды қамтамасыз ететін: тіл мен әдебиет, адамтану, қоғамтану, математика, информатика, жаратылыстану, өнер, технология, дене тәрбиесі сияқты білім беру салалары арқылы іске асыру.

Математика курсында теңдеулер, теңсіздіктер және олардың  жүйелері 8-11 сыныптарды оқытылады.  Мысалы, теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін 10 сыныпта оқытылуын қарастырайық. 

10-сыныпта алгебра және анализ бастамалар курсында «Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер және олардың жүйелерін шешу» тақырыбына бағдарлама бойынша 25 сағат бөлінген [2].

Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың негізгі мақсаты – оқушылардың орта буын сыныптарда алған теңдеу туралы білімдерін кеңейту, тереңдету және жалпылау, тригонометриялық теңдеулер  туралы мағлұматты жалпылау және жүйелеу, қарапайым тригонометриялық теңдеулерді және теңсіздіктерді шешу іскерлігін қалыптастыру. Ә.Н.Шыныбеков оқулығы бойынша тригономериялық теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелері төмендегі 2 тараудың 5-8 параграфтар бойынша берілген [2].

1.     Тригонометриялық теңдеулер

2.     Тригонометриялық теңдеулер жүйесі

3.     Кері тригонометриялық теңдеулер

4.     Тригонометриялық теңсіздіктер.

Математиканы тереңдете оқытатын сыныптарда тригонометриялық теңдеулер жүйелері мен кері тригонометриялық теңдеулер тақырыбы ұсынылған. Кері тригонометриялық теңдеулер  тақырыбы 4 пунктен тұрады: «Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс». Оқушылардың бұрынғы білімдеріне қарай теориялық білімдерінің рөлі күшейе түседі: түбір туралы теорема, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс ұғымдары енгізіледі, қарапайым тригонометриялық  теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу туралы түсінік беріледі. Жоғарыда айтылғандардың бәрі тақырыптың «ядролық» материалы болады.

1 пункте алдымен түбір туралы теорема беріледі. Онда былай делінген: Теорема (түбір туралы)    функциясы   аралығында өсетін (немесе кемитін) болса, онда  саны  -тің осы аралықтарда қабылдайтын мәндрінің кез келгені болсын. Сонда   теңдеуінің   аралығында бір ғана түбірі болады.

Осы теореманың дәлелдемесі оқушыларға ұсынылады және бір мысал қарастырылған. Одан кейін жаңа ұғымдарға анықтамалар беріледі: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Келесі пункте қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері енгізілген және оларға мысалдар келтірілген.

Жаттығулар қарапайым теңдеулерді шешу іскерлігі мен дағдысына бағытталған. Теңдеулер ішінде тригономериялық формулаларды қолданып шешетін теңдеулер бар.

Келесі пункт «Қарапайым тригономериялық теңсіздіктерді шешу» тәсілдерін мысалдар келтіре отырып қарастырған. Күрделі тригонометриялық теңдеулер және олардың жүйелеріне бірнеше мысалдар келтірілген. Осы параграфтан қайталауға арналған сұрақтар мен есептер беріледі.

Тақырыптың логико-математикалық талдау келесі «ядролық» материалдарды көрсетеді:

-      түбір түралы теорема;

-      қарапайы тригонометриялық теңдеулерді (теңсіздіктерді) шешу;

-      дәрежені төмендетумен шешілетін есептерді қарастыру;

-      тригонометриялық формулаларды қолдана отырып, теңдеуді (теңсіздікті) шешу;

-      біртекті теңдеулерді шеше білу.

Материалдың баяндалуы тригонометриялық теңдеулерді шешуге, функция графигін оқуы мен салуына сүйенеді [1].

Сонымен, оқушылардың алдына келесі мәселелер қойылады: тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешу және осылар арқылы есептер шешу іскерлігі мен дағдысын қалыптастыру.

«Қарапайым тригонометриялық теңдеулер»   түрдегі теңдеулердіқарапайым тригонометриялық теңдеулер деп атаймыз.

Бұл тақырыптың негізгі мақсаты – қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге дағдыландыру және теңдеуді шешу қабілеттілігін қалыптастыру, теңдеуді графиктік тәсілмен шешуге үйрету. Осы пункт алдыңғы өткен материалды меңгеруге жәнеоларды тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолдануға мүмкіндік береді.

Бұл тақырыпты өтпес бұрын алдыңғы тақырыпта өткен   анықтамаларын еске түсірген жөн. Бұл пункте алдымен   (1) теңдеуін шешу жолын көрсетеді.

 теңдеуінің шешімін табуға  үйренпестен бұрын оқушылар  -тың графигін салуды, анықталу облысын табуды білу керек.

Егер   болса, онда   теңдеуінің шешімдері болмайды, өйткені кез келген   үшін  .

Егер    болса, онда шешімдері шексіз көп.

 кесіндіде (1) теңдеуінің бір шешімі бар, ол   саны   кесіндісінде (1) теңдеуінің шешімі бар ,  ол  -    саны.

Сонымен   кесіндісінде   теңдеуінің   шешімі бар.

Осыдан дербес жағдайлар қарастырылады. Олар:

Бұдан кейін   (2) теңдеуі оқытылады. Мұның екі жағдайы қарастырылады:

1)  болса, онда (2) теңдеуінің шешімдері жоқ;

2)   болса, онда (2) теңдеудің   аралығында дәл айтқанда бір шешімі   бар және   кесіндісінде   шешімдері бар. Сонымен, (2) теңдеудің шешімі   формуласымен табылады.

Жағдайлары айтылып кетеді. Бұл түрдегі теңдеуді шешуге оқушыларды дағдыландыру үшін мәтін тақырыбында бір мысал келтірілген.

Жаттығулар жүйесінде бірінші деңгейде үш есеп берілген.

Келесі параграфта тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерінің 6 түрі қарастырылған.

1.   түріндегі теңдеулер.

2. Біртекті теңдеулер.

3. Қосымша бұрыш енгізу әдісі.

4. Белгісізді алмастыру әдісі.

5. Көбейткіштерге жіктеу әдісі.

6. Теңдеудің оң жақ және сол жақ бөліктерін бағалау әдісі.

1 пункте   теңдеулері мен

шешу әдістері қарастырылып екі мысал көрсетілген.

2 пункте   түріндегі теңдеулерді   пен  -ке қатысты  біртекті теңдеулер деп атайды. Мұнда   -берілген нақты сандар және әрбір қосылғыштағы   пен  -тың дәрежелерінің қосындысы  -ге тең. Бұл теңдеуді ,   болатын жағдайда   болатынын ескере отырып,  -ке бөлу арқылы   теңдеуіне келтіреміз. Ал   болған жағдайда бұл теңдеуді               -ке бөлу керек. 1 мысал қарастырылған.

3 пункт   теңдеуін шешудің ең тиімді әдісін түсіндіріп, 1 мысал келтірген.

4 пункте тригонометриялық теңдеулер арқылы   түріне келтірсек, мұнда   - рационал функция, онда   әмбебап алмастыруын қолданады:

 

        деп 3 мысал келтірген.

5 пунктe 1 мысал, 6 пункте 2 мысал келтіру арқылы түсіндірген. Жаттығулар жүйесі А,В,С деңгейлеріне бөлініп қойылған. А-ға 3, В-ға 14, С-ға 4 есеп  және де қосымша В-ға 9, С-ға 7 есеп берілген.

Тригономериялық теңдеулер жүйесін шешу

Алтыншы параграфында тригонометриялық теңдеулер жүйелерін шешу:

6.1.   түріндегі жүйелер (1)

Бұл жүйелерді шешу үшін олардың бір теңдеуіне екіншісін қосып, азайту арқылы

   және   жүйелеріне келтіріп аламыз. Әрине, бұл жүйелердің нақты шешімдері бар болуы үшін   теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті деп екі мысал қарастырған.

6.2.  түріндегі жүйелер.

Оларды   белгілеулері арқылы

алгебралық жүйелерге келтіріп шешеміз, 1 мысал көрсеткен.

6.3. түріндегі жүйелер.

Оларды шешу үшін бірінші теңдеуін көбейтіндіге түрлендіреміз:

6.4. түріндегі жүйелері.

Оларды шешу үшін   болғанда

Түрінде жазып, екі теңдеуді де квадраттап, қоссақ, онда

Жаттығулар жүйесінде  А деңгейіне 3, В деңгейіне 2, С деңгейіне 3 есеп берілген.

Тригонометриялық теңсіздіктер:

1. Қарапайым тригонометриядық теңсіздіктерді шешу

2. Тригонометриялық теңсіздіктерді дәлелдеу

Қарапайым тригонометриядық теңсіздіктерді шешуде бірлік шеңберді қолдану қолайлы. Кейбір жағдайларда сәйкес тригонометриялық функциядардың графигін қарастырып, бір период үшін жауабын жазып, содан кейін  алынған теңсіздіктің екі жағында   қосамыз. Мұнда  функцияның периоды,   бүтін сан [3].

Теңсіздіктерінің формулалары беріліп, 1 пунктіне 4 мысал, 2 пунктіне 3 мысал дәлелдемесімен қарастырылған. Жаттығулар жүйесі А деңгейіне 5, В деңгейіне 5, С деңгейіне 6 есеп берілген.  

Қолданылған әдебиеттер:

1        Әбілқасымова А.Е. «Алгебра және анализ бастамалары» Жалпы білім беретін мектептің 10 сыныбына арналған оқулық. -Алматы: «Мектеп» баспасы, 2007,-160 бет.

2        Шыныбеков Ә.Н. «Алгебра және анализ бастамалар»: Жалпы білім беретін мектептің  10 сыныбына арналаған оқулық. -Алматы: Атамұра , 2006,-336 б.