І текті шекаралық шарттар.
Біз деп, сым ұштарының қатты бекітілу
(3)
шарттарын табамыз.
Егер сым ұштары заңдылықтарымен қозғалса, онда шекаралық шарттар біртектес емес: (4)
ІІ текті шекаралық шарттар.
Егер десек, онда жұмсақ бекітілу
(5)
шарттарын табамыз. Бұлардың геометриялық мағынасы Ох осіне сымның бекіту нүктелеріндегі көлбеу бұрышы нөлге тең.
ІІІ текті шекаралық шарттар.
Сым ұштары серпімді бекітілген сымның сол жақ ұшы үшін ал оң жақ ұшы үшін белгілеулерін енгізсек, онда серпімді бекіту жағдайында шекаралық шарттар.
(6)
түрінде жазылады.
Сым тербелісінің біртекті
(1)
теңдеуін және бастапқы
(2)
және біртекті емес екінші
(3)
шекаралық шарттарды қанағаттандыратын үзіліссіз функциясын табу керек болсын.
(1) теңдеуді канондық түрге келтірсек, оның сипаттаушы теңдеуі
екі теңдеуге ыдырайды:
теңдеулердің интегралдары
түзулері. Жаңа айнымалылар
енгізсек, сым тербелісі теңдеуі
(4)
теңдеуіне келеді. Соңғы теңдеудің жалпы интегралын табалық. (9) теңдеудің кез келген шешімі
мұндағы - айнымалысынан тәуелді қандай да бір функция. Бұл теңдікті тұрақты мәнінде бойынша интегралдасақ,
(5)
мұндағы - және айнымалыларынан тәуелді функция. Керісінше екі рет дифференциалданатын функциялары қандай болса да, (5) формуламен анықталған функциясы (4) теңдеудің шешімі болады. (4) теңдеудің кез келген шешімі сәйкес және функцияларын таңдауда (5) түрінде болады. Сонда (5) формула (4) теңдеудің жалпы интегралы болады. Олай болса,
(5)
функциясы (1) теңдеуінің жалпы интегралы болады.
Қарастырылған есептің шешімі бар болсын, сонда ол (11) формуламен беріледі. және функцияларын (2) бастапқы шарттарды қанағаттандыратындай етіп анықтаймыз:
(6)
(7)
Екінші теңдікті интегралдасақ,
мұндағы және С тұрақтылар. Келесі
теңдіктерінен
(8)
Сонымен және функцияларын берілген және функциялары арқылы анықтадық, мұнда (8) теңдік кез келген аргумент мәнінде орындалады. Табылған және мәндерін (6) теңдікке қойсақ:
немесе
(9)
(159 формуланы Даламбер формуласы деп аталады. (9) формула қойылған есептің шешімінің жалғыздығын дәлелдейді.
Тақырыбы Дәріс №5-6. Екі айнымалы гиперболалық теңдеу үшін Риман функциясы және оның қасиеті. Коши мен Гурса есептері. Риман формулалары.
Сағат саны 2 сағ
Достарыңызбен бөлісу: |
