Бір айнымалысы бар көпмүшенің түбірлерін көбейткіштерге жіктеу әдісімен табу

жүктеу/скачать 23,52 Kb. Дата 12.10.2023 өлшемі 23,52 Kb. #184907

Бұл бет үшін навигация:

• Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің
• Жауабы
• Жауабы: ⠀ 3) Топтау әдісі. Мысал.
• Мысал .

Бір айнымалысы бар көпмүшенің түбірлерін көбейткіштерге жіктеу әдісімен табу P(x) = a0xn + a1xn–1 + ⋯ + akxn–k + ⋯ + an–1x + an, мұндағы a0, a1, … , an – сандық коэффициенттер, a0 ≠ 0, n – бүтін теріс емес сан болатын көпмүшені қарастыру керек. Егер x айнымалысының орнына x0-ді қойсақ x = x0 болғандағы P(x) көпмүшесінің мәні деп аталатын P(x0) = a0x0n + a1x0n–1 + a2x0n–2 + ⋯ + an–1x0 +an санын алу қажет. x = x0 болғанда P(x) көпмүшесінің мәні 0-ге тең болса, x0 саны P(x) көпмүшесінің түбірі деп аталады. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу – қосындыны бірнеше көбейткіштің көбейтіндісіне айналдыратын тепе-тең түрлендіру. Әр көбейткіш көпмүше де, бірмүше де бола алады. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің әмбебап әдісі жоқ, сондықтан бірнеше әдісті қарастыру керек. ⠀ 1) Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару. Мысал. x3 – 4x2 – 21x көпмүшесінің түбірін тап. Шешуі. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару: x(x2 – 4x – 21). Көпмүшенің түбірін табу үшін оны нөлге теңестіру керек: x(x2 – 4x – 21) = 0. Бұдан x = 0 немесе x2 – 4x – 21 = 0 болады. Квадрат теңдеуді шешу керек: x1 = –3 және x2 = 7. Жауабы: –3; 0; 7. ⠀ 2) Қысқаша көбейту формулаларын қолдану. Мысал. 8x6 – 27 көпмүшесінің түбірін тап. Шешуі. Кубтардың айырымы формуласын қолданып көпмүшені көбейткіштерге жіктеу: 8x6 – 27 = (2x2)3 – 33 = (2x2 – 3)(4x4 + 6x2 + 9). Көпмүшенің түбірін табу үшін теңдеудің түбірін табу керек: (2x2 – 3)(4x4 + 6x2 + 9) = 0. Бұдан 2x2 – 3 = 0 немесе 4x4 + 6x2 + 9 = 0. 2x2 – 3 = 0 теңдеуін шешу керек: 4x4 + 6x2 + 9 = 0 биквадрат теңдеуінің нақты түбірлері жоқ. Жауабы: ⠀ 3) Топтау әдісі. Мысал. x4 – 5x3 – 8x + 40 көпмүшесінің түбірін тап. Шешуі. Бірінші мен екінші мүшені, үшінші мен төртінші мүшені топтау арқылы көбейткіштерге жіктейміз және ортақ көбейткіштерді жақшаның сыртына шығару: x4 – 5x3 – 8x + 40 = (x4 – 5x3) – (8x – 40) = x3(x – 5) – 8(x – 5) = (x – 5)(x3 – 8). Қысқаша көбейту формуласын қолдану: (x – 5)(x3 – 8) = (x – 5)(x – 2)(x2 + 2x + 4). Көпмүшенің түбірін табу үшін теңдеуді шешу керек: (x – 5)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0. Бұдан x – 5 = 0 немесе x – 2 = 0 немесе x2 + 2x + 4 = 0. Әр теңдеуді шешу керек (квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ): x1 = 5 және x2 = 2. Жауабы: 2; 5. Л,ю 4) Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу. Квадрат үшмүше – ax2 + bx + c = 0 түріндегі көпмүше. Теорема. Егер x1, x2 сандары ax2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуінің түбірлері болса, онда оны ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) түрде жазуға болады. Мысал. x3 + x2 – 5x – 2 көпмүшесінің түбірін тап. Шешуі. Көпмүшені екі көпмүшенің қосындысына жіктеу: (x3 – 8) + (x2 – 5x + 6). Әр көпмүшені көбейткіштерге жіктеу: (x3 – 8) + (x2 – 5x + 6) = (x – 2)(x2 + 2x + 4) + (x – 2)(x – 3). Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару: (x – 2)(x2 + 2x + 4 + x – 3) = (x – 2)(x2 + 3x + 1). Енді (x – 2)(x2 + 3x + 1) = 0 теңдеуін шешу: x – 2 = 0 немесе x2 + 3x + 1 = 0. Бірінші теңдеудің түбірі: x = 2. x2 + 3x + 1 = 0: D = 5, Онда x3 + x2 – 5x – 2 көпмүшесінің түбірлері: x = 2, Жауабы: 2; ⠀ 5) Толық квадратты айыру. Мысал. x4 – 10x2 + 169 көпмүшесін көбейткіштерге жікте. Шешуі. x4 + 169 = (x2)2 + 132 болады және бұл қосындыны толық квадратқа дейін толықтыру керек: x4 – 10x2 + 169 = (x4 + 26x2 + 169) – 26x2 – 10x2 = (x2 + 13)2 – 36x2. Енді қысқаша көбейту формуласын қолданып көпмүшені көбейткіштерге жіктеу керек: (x2 + 13)2 – 36x2 = (x2 + 13 + 6x)(x2 + 13 – 6x) = (x2 + 6x + 13)(x2 – 6x + 13). x2 + 6x + 13 және x2 – 6x + 13 квадрат үшмүшелерінің дискриминанты теріс болғандықтан, оларды сызықтық көбейткіштерге жіктей алмаймыз. Жауабы: (x2 + 6x + 13)(x2 – 6x + 13). ⠀ 6) xn – an, x2n+1 + a2n+1 формулаларын қолдану. x2 – a2 = (x – a)(x + a); x3 – a3 = (x – a)(x2 + xa + a2); x4 – a4 = (x – a)(x3 + x2a + xa2 + a3) Бұл теңдіктердің жалпы түрі: xn – an = (x – a)(xn–1 + xn–2a + ⋯ + xan–2 + an–1), мұндағы n ϵ N. Дәлелдеу үшін теңдіктің оң жағындағы жақшаларды ашу жеткілікті. Осыған ұқсас төмендегі теңдіктерді тексеру керек: x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2); x5 + a5 = (x + a)(x4 – x3a + x2a2 – xa3 + a4); x7 + a7 = (x + a)(x6 – x5a + x4a2 – x3a3 + x2a4 – xa5 + a6). Жалпы түрі: x2n+1 + a2n+1 = (x + a)(x2n – x2n–1a + x2n–2a2 – … – xa2n–1 + a2n), мұндағы n ϵ N. ⠀ 1-мысал. Көпмүшесін көбейткіштерге жікте: x6 – 64. Шешуі. x6 – 64 = (x3)2 – 82 = (x3 – 8)(x3 + 8) = (x3 – 23)(x3 + 23) = = (x – 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 – 2x + 4). x2 + 2x + 4 және x2 – 2x + 4 квадрат үшмүшелерінің дискриминанты теріс болғандықтан, оларды сызықтық көбейткіштерге жіктеуге болмайды. Жауабы: (x – 2)(x + 2)(x2 + 2x + 4)(x2 – 2x + 4). ⠀ 2-мысал. n кез келген натурал сан болғанда 18n + 15n – 5n – 2n саны 13-ке бөлінетіні дұрыс па? Шешуі. Қосылғыштарын топтау: (18n – 5n) + (15n – 2n). xn – an = (x – a)(xn–1 + xn–2a + ⋯ + xan–2 + an–1), мұндағы n ϵ N. Формуланы қолдану керек: (18 – 5)(18n–1 + 18n–2 ∙ 5 + ⋯ + 5n–1) + (15 – 2)(15n–1 + 15n–2 ∙ 2 + ⋯ + 2n–1) = = 13(18n–1 + 18n–2 ∙ 5 + ⋯ + 5n–1) + 13(15n–1 + 15n–2 ∙ 2 + ⋯ + 2n–1). Қосынды 13-ке бөлінеді, себебі әр қосылғыш 13-ке бөлінеді. Жауабы: дұрыс. ⠀ 3-мысал. 222 + 333 саны 31-ге бөлінетінін дәлелде. Дәлелдеуі. 222 + 333 санын 411 + 2711 түріне келтіру керек. xn – an = (x – a)(xn–1+ xn–2a + ⋯ + xan–2 + an–1), мұндағы n ϵ N. Формуланы қолдану керек: 411 + 2711 = (4 + 27)(410 – 49 ∙ 27 + 48 ∙ 272 – … – 4 ∙ 279 + 2710)= = 31(410 – 49 ∙ 27 + 48 ∙ 272 – … – 4 ∙ 279 + 2710). Бұдан көбейтінді 31-ге бөлінетіні анық, себебі көбейткіштердің бірі 31-ге тең. Артқа жүктеу/скачать 23,52 Kb. Достарыңызбен бөлісу: