Бұл анықтаманы теорема түрінде жазсақ,былай болады : Үш өлшемді кеңістіктің
жүктеу/скачать 49,45 Kb.
|
1 2
Байланысты:Сөж 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Ax + By + Cz + D = 0
- A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0
- Тақырып 2 : Вектордың кеністіктегі тендеуі. Тікбұрышты O
- A, B, C
- Кеңістіктегі екі жазықтықтың ортақ нүктесі болған кезде, осы жазықтықтардың барлық ортақ нүктелері орналасқан ортақ сызық болады.
- {A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ;A2x + B2y + C2z + D2 = 0 а
| ( n →, → M0M →) = A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0)
D = - (Ax0 + By0 + Cz0) алайық, онда теңдеу келесі түрге айналады: Ax + By + Cz + D = 0. Ол бастапқы жазықтықты орнатады. Теореманың бірінші бөлімі дәлелденді. 2 Теореманың екінші бөлігі Ax + By + Cz + D = 0 түріндегі кез-келген теңдеу үш өлшемді кеңістіктің Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықты анықтайды дейді. Дәлелдейік. Теорема сонымен қатар А, В, С нақты сандары бір уақытта нөлге тең еместігін көрсетеді. Сонда координаталары Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуіне сәйкес келетін M0 (x0, y0, z0) нүктесі бар, яғни Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Теңдігі Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуінің сол және оң жақтарынан осы теңдіктің сол және оң жақтарын алып тастаймыз. Біз формуланың теңдеуін аламыз. A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0, және ол Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуіне эквивалентті болады A ( x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0 теңдеуі кейбір жазықтықты анықтайды. A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0 теңдеуі n→ = (A, B, C) және M0M→ = (x - x0, y - y0, z - z0) векторлары үшін қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Теоремаға дейінгі тұжырымға сүйене отырып, A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0 жарамды теңдік кезінде M (x, y, z) нүктелер жиынтығы, қалыпты векторы n→ = (A, B, C) бар жазықтық береді. Бұл жағдайда жазықтық M (x0, y0, z0) нүктесі арқылы өтеді. Басқаша айтқанда, A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) + D = 0 теңдеуі үш өлшемді кеңістіктің Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықты анықтайды. Сонымен, Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуі, осы теңдеуге эквивалентті, бұл жазықтықты да анықтайды. Теорема толығымен дәлелденді. Тақырып 2 : Вектордың кеністіктегі тендеуі. Тікбұрышты Oxy координаталар жүйесіндегі жазықтықтағы түзудің теңдеуі - бұл х және у айнымалылары бар, түзудің барлық нүктелерінің координаталары сәйкес келетін және кез келген басқа нүктелердің координаталары сәйкес келмейтін сызықтық теңдеу. Егер үш өлшемді кеңістіктегі түзу сызық туралы айтатын болсақ, барлығы біршама өзгеше: берілген үш түзудің нүктелерінің координаталарына ғана сәйкес келетін x, y, z үш айнымалысы бар мұндай сызықтық теңдеу жоқ. Шынында да, Ax + By + Cz + D = 0 теңдеуі, мұндағы x, y, z - айнымалы, ал A, B, C және D - кейбір нақты сандар (A, B, C бір уақытта нөлге тең емес) - жазықтықтың теңдеуі. Онда Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесіндегі түзуді қалай анықтауға болады? Түзудің теңдеуі ретінде екі қиысатын жазықтықтың теңдеуі ретінде қарастырайық Бір аксиоманы еске түсірсек : Кеңістіктегі екі жазықтықтың ортақ нүктесі болған кезде, осы жазықтықтардың барлық ортақ нүктелері орналасқан ортақ сызық болады. Тік бұрышты координаттар жүйесі Oxyz үш өлшемді кеңістікте бекітілген делік және а түзуі - бұл сәйкесінше A1x + B1y + C1z + D1 = 0 және A2x + B2y + C2z + D2 = 0 жазықтықтарының теңдеулерімен сипатталатын α және β жазықтықтарының қиылысу сызығы деп көрсетілген болсын. a түзуі α және β жазықтықтарының ортақ нүктелерінің жиыны болғандықтан, а түзуінің кез келген нүктесінің координаталары бір уақытта екі теңдеуге де сәйкес келеді. Басқа нүктелер бір уақытта екі теңдеудің шарттарын қанағаттандырмайды. Сонымен, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі а түзу нүктесінің кез-келген нүктесінің координаталары түрдегі сызықтық теңдеулер жүйесінің нақты шешімі болады A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 Теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі {A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ;A2x + B2y + C2z + D2 = 0 а түзуінің әр нүктесінің координаталарын анықтайды, яғни шын мәнінде а сызығын өзі анықтайды. Тағы,түзуді анықтау үшін оның параметрлік теңдеуін қолданады. x=x1+ax⋅λ y=y1+ay⋅λ z=z1+az⋅λ , мұндағы x1, y1, z1 - түзудің белгілі бір нүктесінің координаталары; ax, ay және az (бір уақытта нөлге тең емес) - түзудің бағыттаушы векторының координаттары. a⋅λ - кез келген нақты мәндерді қабылдайтын белгілі бір параметр. λ параметрінің кез-келген мәні кеңістіктегі түзудің параметриалық теңдеулерін қолдана отырып, түзудің белгілі бір нүктесіне сәйкес келетін үштік (х, у, z) сандарды анықтауға мүмкіндік береді (демек, осы түрдегі теңдеулердің атауы). Мысалы, λ = 0 болсын, содан кейін кеңістіктегі түзудің сызықтық параметрлік теңдеулерінен координаталар аламыз: x=x1+ax⋅0 x=x1 y=y1+ay⋅0 ⇔ y=y1 z=z1+az⋅0 z=z1 Егер сызықтың параметрлік теңдеулерінің әрқайсысын шешсек x=x1+ax⋅λ y=y1+ay⋅λ z=z1+az⋅λ ,λ параметріне қатысты кеңістігінде сызықтың канондық теңдеулеріне өтуге болады (x−x1)/ax = (y−y1)/ay = (z−z1)/az. Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулері М1 нүктесі арқылы өтетін түзу сызықты анықтайды (x1, y1, z1), және ол үшін вектор → a = (ax, ay, az) болады. Мысалы, канондық теңдеумен сипатталған түзу сызық берілген (x−1)/1= y/2 = z+√5/7 .Бұл түзу (1, 0, -5) координаталары бар нүкте арқылы өтеді, оның бағыттаушы векторында (1, 2, -7) координаталары болады. жүктеу/скачать 49,45 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2