§1. Чебышев және Марков теңсіздіктері
Кездейсоқ шамалар саны артқан сайын олардың орта мәні кездейсоқ болудан қалады. Кездейсоқ факторлардың жиынтық әсері кездейсоқтықтан тәуелсіз нәтижелер алуға мүмкіндік беретін заңдар бар. Оларды үлкен сандар заңы дейді.
1. Чебышев теңсіздігі. Егер кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы белгілі болса, онда мына теңсіздіктер орындалады:
, мұндағы >0.
Чебышев теңсіздігін кез келген кездейсоқ шамаларға қолдана беруге болады. Бірінші түрі кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуы -нен артық болу ықтималдығын жоғарыдан бағаласа, екінші түрімен ауытқудың -нен артық болмау ықтималдығын төменнен бағалайды.
1-есеп
Фермада бір күнде жұмсалатын су мөлшері 1000 л, ал осы шаманың орта квадраттық ауытқуы 200 литрден артпайды. Чебышев теңсіздігімен фермада кездейсоқ бір күнде жұмсалған су мөлшері 2000 литрден артпау ықтималдығын бағалау керек.
Шешуі. Х – фермадағы жұмсалған су мөлшері (л). Шарт бойынша М(Х) =1000, дисперсия D(X)= . интервал шектері М(Х) =1000 математикалық үмітке қарағанда симметриялы болғандықтан ізделінді шаманың ықтималдығын бағалауға Чебышев теңсіздігін қолданамыз:
яғни, бір күнде жұмсалған су мөлшері 2000 литрден артпау ықтималдығы 0,96-дан кем емес екен.
Жауабы:0,96
Марков теңсіздігі. Математикалық күтімі белгілі оң кездейсоқ шамалар үшін Марков теңсіздігі дұрыс болады:
, , мұндағы >0.
Достарыңызбен бөлісу: |
